雙曲流上成對周期軌道的分布

劉萌

摘 要：研究黎曼曲面上的雙曲流上周期軌道的分布是一個經典的問題，閉測地線的分布及漸進逼近是其中一個特例。雙曲流上成對周期軌道的分布已經成為一個重要的研究方向。本文主要解決了負的截面曲率流形上的成對周期軌道計數問題。研究了成對周期軌道的長度差固定在區間[z-a，z+a]上，其字長小于定值的黎曼曲面雙曲流上周期軌道的分布情況。

關鍵詞：雙曲流；Fourier反變換；符號動力學；強l-可比較函數

1 引言

動力系統與遍歷理論是20世紀數學史上最具影響力的分支之一。動力系統的研究可追溯到歷史上著名的“三體問題”的研究， 1969年，Marguls[10]發表論文研究Anosov流的周期軌道長度小于T的數量估計的公式，

。其中h>0，h表示相應測地流的拓撲熵。

關于雙曲流上成對周期軌道的研究，是目前主要研究方向之一。2010年，Richard Sharp[8]發表論文研究有固定同調類差異的一對周期軌道計數問題

可以轉化為 來求解。研究黎曼曲面上的雙曲流上周期軌道的分布是一個經典的問題，成對周期軌道的分布已經成為一個重要的研究方向。本文主要解決了黎曼曲面上的雙曲流上成對周期軌道的分布問題。主要通過符號動力學來研究雙曲流上封閉軌道的漸進公式。

2 問題的提出

V是光滑的Riemannian流形，其截面曲率為負值，l（γ）表示雙曲流上周期軌道的長度。字符長|.|與Riemannian度量下的l（.）類似，即 ，有c1 l（γ）≤|γ|≤c2 l（γ），其中γ表示雙曲流上的周期軌道。函數ω：p→R，其中p是V上周期軌道的集合， ， ， 使 c1l（γ）≤ω（γ）≤c2l（γ） ，稱ω是l-可比較函數。函數ω：p→R ， ， ，使得

以指數的形式趨于0，則稱ω是強l-可

比較函數。

V是光滑的Riemannian流形，給出一個序列∈n>0，z∈R， a>0，I（z）=[z-a，z+a]，其中l（γ）表示周期軌道的長度， 函數ω：p→R，

定理 雙曲流ψt：M→M，其中M=SV是緊的負的截面曲率V上的單位切叢，V是1/4-pinch流形，存在一個強l-可比較函數ω：P→Z，則

3 雙曲流與符號動力學

令X是緊致的Hausdorff空間，G是拓撲群，連續映射ψ：G×X→X，滿足： ，使得ψ（e，x）=x，e為G的單位元； ，

，使得ψ（g1，ψ（g2 ））=ψ（g1 g2x ）成立。則稱（X，G，ψ）是拓撲動力系統。若G=R是一個加群，則稱（X，G）為流。

令（X，G）是動力系統， 。若ψx=x，稱x是其不動點。 ，使ψnx=x，則稱x是周期點，ψnx=x成立的最小整數n，稱其周期為n。下面我們定義雙曲流：M是緊的，光滑，Remannian流形，C1流ψt：M→M，則稱ψt是雙曲流。

引理1[2] ω：p→Z是強l-可比較函數。

證明：顯然函數ω（γ）≥0，有下界，則ω是強l-可比較函數成立.若ω（γ）=n，l（γ）=rn （x），則，

算子σ：∑→∑，給定連續函數G：Σ→R，定義壓力P（G）=sup{h（m）+∫Gdm ： m∈σ -不變概率測度}，其中Σ=Σ×Σ， σ=σ×σ。若G是H■lder連續函數，則上確界就是G的平衡態。函數s→P（sR），s∈R是實解析函數，s=0有

；

引理2 若|t|充分小，使得P（itR），P（itr），P（-itr）確定，P（itR）是實值函數， ， 使，

證明： 由變分原理知

因為 ， 實值函數，則P（itR）也是實值函數

引理3 ，使得函數 ，對于t∈（-∈，

∈），函數g有Taylor展開式： ，

并且在（-∈，∈）存在一個平滑變化的坐標v=v（t），使得eP（itR） =λ2 （1-v2 ）成立。

證明：首先根據式子（1）和式子（2）知函數g：t→eP（itR）在[5]有如下性質： ， 。對于式子eP（itR）=λ2（1-v2）可以根據Morse引理來給出合適的坐標變換結果見[6]。

4 定理的證明

可積函數φ：R→C，其傅里葉變換 是緊支撐

。不妨設，使得 的支撐集 [-M

， M]。定義兩個函數： ；

由傅里葉反變換公式，

由引理1，引理2，引理3知

其中函數G（μ）是光滑的，且G（0）=0

性質1[6]

其中 。綜上所述：

。給定一個連續、非負、緊支撐函數φ：R→R，定義：

。 WN 函數估計為：

其中：

因為

顯然下式成立：

令 ，則

當令α→1時，由不等式（3）和（4），則

，N→∞

又因為

因此，

性質

最后，為了證明定理，要用定義在區間[-1，1]的指示函數φ[-1，1] ，取代光滑的支撐函數φ。給定∈>0，則存在緊的、光滑、支撐函數φ[-1，1]，滿足φ-≤φ[-1，1]≤φ+，使得

則我們可以推斷出：

5 總結與拓展

遍歷理論和拓撲動力系統是上世紀以來的最具影響力的數學研究之一，黎曼曲面上雙曲流的封閉軌道的分布是經典的問題，本文討論的是負截取率上的雙曲流的性質。

本文只是研究了負截取率上的雙曲流上的特定區間的性質，這方面的研究還遠遠不夠。譬如我們是否可以增加限制條件，得到在其限制條件下雙曲流的封閉軌道的分布。我們可以考慮雙曲流上同調類下成對周期軌道的分布問題，這都是后續可以研究解決的問題。

參考文獻：

[1]Risager，Morten S，Sharp，Richard. Pairs of periodic orbits with fixed homology difference[J].Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society，2010，53（3）：799-808.

[2]Pollicott M，Sharp R.Correlations of Length Spectra for Negatively Curved Manifolds[J].Communications in Mathematical Physics，2013，319（2）：515-533.

[3]Kenison G，Sharp R.Orbit counting in conjugacy classes for free groups acting on trees[J]. Mathematics，2015.

[4]Margulis G A. On Some Aspects of the Theory of Anosov Systems[M]. Springer， 2004.

[5]D.Ruelle，Thermodynamic formalism[M].Addison-Wesley，1978.

[6]Katsuda A， Sunada T. Closed orbits in homology classes[J]. Publications Mathématiques De Linstitut Des Hautes tudes Scientifiques，1990，71（1）：5-32.

[7]Pollicott M，Sharp R.Periodic orbits and holonomy for hyperbolic flows[J].Contemporary Mathematics，2009.