Dirichlet定理的改進

方菲

摘 要：丟番圖逼近問題是數論研究中的一個重要課題。在流形上研究丟番圖逼近，即丟番圖逼近的測度理論或含參變量的丟番圖逼近研究是近年來活躍的研究方向之一。用動力系統的思想方法去研究矩陣的丟番圖逼近，已經取得了很多結果。本文主要研究的是在含參變量矩陣中對Dirichlet定理進行改進。討論了在Lebesgue測度下，friendly測度和Federer測度下改進的Dirichlet定理。證明了在相應條件下改進的Dirichlet定理仍然成立。

關鍵詞：丟番圖逼近；VWA；VWMA；極端；強極端；Dirichlet定理

一、引言

在自然科學的發展歷史中，出現了很多經典的研究課題，丟番圖逼近是其中非常重要的一個分支。丟番圖逼近最早可以追溯到數論。近幾十年來，隨著丟番圖理論的日趨完善，出現了一個新的數學分支，流形上的度量丟番圖逼近，即用動力系統的思想方法研究流形上的丟番圖逼近問題。

在丟番圖逼近的測度理論中，Dirichlet定理是一個重要的研究方向。本文主要討論的是在含參變量的矩陣中對Dirichlet定理進行改進。

二、丟番圖逼近的基本概念

我們先來介紹丟番圖逼近的基本理論。

定義2.1若δ>0，稱 是very well approximable（VWA）的，如果存在無窮多個 和 相應的，滿足

（2.1）

其中Mm，n是由m行n列實矩陣組成的空間， .

稱μ是極端的，若在測度μ下，幾乎所有的 都不是VWA，即μ（{ │Y是VWA}）=0。

它表明由VWA矩陣構成的集合的Lebesgue測度是0。但是，在Hausdorff維度下，它的維數卻等于矩陣Mm，n的維數。從這個角度看，滿足這樣條件的集合是相當大的。我們也注意到由Khintchine的轉化原理，可以得出Y是VWA的的充分必要條件是Y的轉置是VWA的。

對于 ，我們令 ，且

。

定義2.2（[1]）稱 是very well multiolicatively approximable（VWMA），若存在δ>0，有無窮 多個和相應的 ，滿足

（2.2）

稱μ是極端的，若在測度μ下，幾乎所有的 都不是VWMA，即μ（{ │Y是VWA}）=0。

事實上，VWA與VWMA之間存在如下關系：由于當

＼{0}時，有 ，且 ，從而得出

因此 .這表明當Y是VWA的，則Y是VWMA的。所以，當μ是強極端的時，它是極端的。

矩陣空間中極端和強極端性的基礎是非退化性，下面來介紹非退化的定義。

定義2.3設開集 ，光滑映射f=（f1，f2，…，fn）：U→Rn，稱f在 處是l-非退化的，如果f在x處的l階偏導數張成Rn。我們稱f在x處是非退化的，若對某個l使得它在x處是l-非退化的，且對幾乎所有的 都成立。

基于齊次動力系統的極端和強極端性問題已經在文獻[3]中闡述：

定理2.1設開子集 ，令光滑映射f：U→Rn，f是非退化的，則測度μ=f*λ是強極端的。

三、Good函數和非共面性

令X是一個度量空間。若 ，r>0，令B（x，r）是以x為中心，r為半徑的開球。若B=B（x，r），且c>0，cB表示B（x，cr）。對 和B上的實值函數f，令 。若X上的測度 滿足 >0，令 。

下面介紹D-Federer的定義，它為Dirichlet定理的改進提供了工具：

定義3.1（[1]）若D>0， 是開子集， 是X上的測度，稱 在U上是D-Federer的，若對任意的中心在supp 上

的球 ，有 。

測度 被稱作Federer的，若對幾乎所有的 ，存在x的鄰域U和D>0滿足 在U上是D-Federer的。

由Rd上的Lebesgue測度可以引入下面定義：

定義3.2 給定C，α>0，開集 ，稱實值函數f：U→R在U上關于測度 是（C，α）-good 的，若對任意的中心在supp

上的球 和任意的ε>0，有

若映射f=（f1，…，fN）：U→RN，我們稱 是good的，若對幾乎所有的 ，存在x的鄰域V滿足1，f1，…，fN的任何線性組合在V上關于測度 是（C，α）-good 的。

事實上，由函數的非退化性是可以得到（C，α）-good 的.

下面介紹非共面的定義：

定義3.3稱 是不共面的，若對任意的球B且

1，f1，…，fN限制在 supp 上關于數域R是線性無關的。即 不包含在RN的任何仿射子空間中。

因為不共面性可以由f的光滑性得到，從而有下述重要結論，當f是光滑映射且關于測度 是非退化的， 是good且不共面的。

在介紹了一類friendly測度：Rn上的測度是friendly的，當且僅當它是Federer的且 是good和非共面的。

對度量丟番圖逼近的研究已經擴展到映射和測度上。主要結果之一是如下定理：

定理3.1 令 是Rd上的Federer測度， 開，且f：U→Rn是連續映射，滿足 是good和非共面，則 是強極端的。

四、Dirichlet定理的改進

設 ，其中Mm，n是由m行n列矩陣組成的空間，令

對任意的 ，若存在解 和對應的 ，使得

（4.1）

給定A的一個無界子集T和0<ε<1，記所有使上述不等式關于 有解的矩陣為I（T），由Dirichlet定理，

在文獻[1]中，作者提出一個問題，上述不等式能不能進行ε改進，即存在T>0，使得對任意 ，t>T，下面的不等式

（4.2）

存在整數解（p1，…，pm）和（q1，…，qn）的Ym×n的Lebesgue測度為0.

即 ，其中 是所有滿足上述不等式關于

有解的矩陣。

其中 和VMWA有下面的關系：

引理4.1. 令 ，0<ε<1， ，

，若（4.2）有整數解，則Y是VWMA的。

證明：若Y滿足（4.2）式，即存在 滿足

因為0<ε<1，則存在 ，使得

對 ， 把代入，不等式兩邊同時乘上 ，得到

（4.3）

對于 ，把 代入，不等式兩邊同時乘上

，得到

. （4.4）

現在來證Y是VWMA的。令l是q的非零分支的個數。對（4.4）中不等式進行整理得到

或者

同時，對（4.3）進行整理得到

或者

（4.5）

所以，存在正數 滿足 。否

則，在T中令t→∞，（4.5）式有無數多個解q，則

成立。故Y不是VWMA的。

由于在Lebesgue測度下，幾乎所有的矩陣 都不是VWMA的，所以存在下面的定理：

定理4.1 令 ，T是A上的一個無界子集。對任意

，記滿足不等式組

存在整數解的所有 為 ，則

定理的證明可以直接由引理4.1和Dirichlet定理得到。

下面考慮含參變量的矩陣Mm，n，有下面的定理：

定理4.2 若 是Rd上的friendly測度，U是IRd上的一個開集，F：U→Mm，n是Cl+1階映射， 在 測度下幾乎處處是l階非退化，則

其中 是 對應在矩陣Mm，n上的測度。

證明：由定理3.1可知，若 是Rd上的friendly測度， ，

f是Cl+1階映射且 在 測度下幾乎處處是l階非退化的，則 是good的。又因為 是非退化的，故它是非共面的。即 是good和非共面的，故 是強極端的。再由引理4.1得到

五、結束語

丟番圖逼近理論已經從數的有理逼近發展到流形上的丟番圖逼近，已取得了很多結果。

本文主要研究了流形上含參變量矩陣中Dirichlet定理的ε改進。討論了在Lebesgue測度下，friendly測度和Federer測度下改進的Dirichlet定理。證明了在相應條件下改進的Dirichlet定理仍然成立。

對于改進的Dirichlet定理問題，在后續的工作中，我們可以討論的值，探討最佳的ε范圍。

參考文獻：

[1]Kleinbock D， Margulis G， Wang J. Metric Diophantine approximation for systems of linear forms via dynamics[J]. International Journal of Number Theory， 2010， 6（05）：1139-1168.

[2]Kleinbock D， Lindenstrauss E， Weiss B. On fractal measures and diophantine approximation[J]. Selecta Mathematica， 2005， 10（4）：479-523.

[3]D.Y.Kleinbock and G.A.Margulis.Flows on homogenous spaces and Diophantine approximation on manifolds， Ann. Math，148， 1998，339-360.