函數概念及其定義域的求解分析

摘 要：函數作為高等數學教學內容中的基礎部分，在整個數學知識點中占有重要地位。同時，也是后續專業課中數學知識的基石。特別是復合函數定義域的求解，歷來是專升本考試中的必考內容。在學習過程中應在理解概念的基礎上，根據具體問題，分門別類的對函數進行分析，達到融會貫通的目的。

關鍵詞：函數；定義域；表達式

1 函數的定義域

對于給定的非空實數集D，若存在一個對應法則f，使得對于D內的每一個數值x都有唯一的數值y與其對應，則這個對應法則f稱為定義在集合D上的一個函數，D稱為函數的定義域。記y=f（x），稱x為自變量，y為因變量。

函數必需具備上述兩個基本條件后，才能稱之為函數。若一個式子為y=x+2，沒有定義域，則該式子僅僅是一個y與x間的數學表達式，不能認為是一個函數。

求函數的定義域時應遵守以下條件：

（1） 分式中分母不能為零；

（2） 偶次根式內式子非負；

（3） 對數中真數大于零；

（4） 反正弦、余弦函數的自變量的絕對值不能大于零；

（5） 正切函數的自變量不能等于 ；余切函數的自變量不能等于kπ；

（6） 多個函數代數和的定義域，為各函數定義域的公共部分；

（7） 對于實際問題的表達式定義域，應保證自變量取值符合實際意義。

注意：定義域的表示形式為：集合或者是區間。

例1 求函數 的定義域。

解 因lnx≥0，則x≥1，所以，函數定義域為{x│x≥1}。

例2 求函數 的定義域。

解 因sinx≠0，則x≠kπ，k∈Z； 有意義，則-1≤x≤1。

所以，函數定義域為{x│-1≤x<0或0

例3 已知函數f（x）的定義域為[2，4]，求函數f（x-1）的定義域。

解 因f（x）的定義域為[2，4]，則f（x-1）中（x-1） ∈[2，4]，記2≤x-1≤4。所以，3≤x≤5。函數定義域為[3，5]。

2 函數的表達式

對于函數表達式的求解常用到三種形式：

（1）已知函數f（x）和g（x）的表達式，求f[g（x）]的表達式；

（2）已知f[g（x）]和g（x）的表達式，求f（x）的表達式；

（3）已知f[g（x）]和f（x）的表達式，求g（x）的表達式。

例3 設f（x）=2x，g（x）=sinx，求f[g（x）]。

解 代入法，f[g（x）]=2（xinx）=2sinx。

例4 設f（x+1）=x2+x+3，求f（x）。

解 令t=x+1，則x=t-1，將x帶入到原表達式，有f（t）=（t-1）2+（t-1）+3，

得到f（t）=t2-t+3。再令，t=x，有f（x）=x2-x+3。

例5 設f[g（x）]=x2，f（x）=x+1，求g（x）。

解 在f（x）=x+1中，令x=g（x），將x帶入到f（x）=x+1，有x2=g（x）+1，

所以，g（x）=x2-1。

3 兩個函數相同的判定

若兩個函數相同則要滿足以下兩個條件同時成立：

1）定義域相同；

2）對應法則相同。

若定義域與對應法則這兩個條件中只要有一個不同，函數就不同。

例7 判定函數f（x）=2inx，g（x）=inx2是否相同。

解 方法：判定兩個函數定義域是否完全相同。

（1）因f（x）的定義域為：{x│x>0}；g（x）的定義域為：{x│x≠0}。

因為，兩個函數定義域不相同，則f（x）與g（x）不是同一個函數。

例8 判定函數f（x）=2x， 是否相同。

解 方法：判定兩個函數對應法則是否完全相同。

（1）因f（x）的定義域為：（-∞，+ ∞）；g（x）的定義域為：（-∞，+ ∞）。

（2）因g（x）的表達式可以進行化簡，變為： 。

根據（1），（2）可知，雖然兩個函數定義域相同，但是當x<0時，g（x）=-2x，f（x）=2x。兩個函數的表達式不同，意味著當x<0時，f（x）=2x，

的對

應法則不一樣，說明兩個函數不相同。

注意：例1與例2中，均可采用特殊值法用于判定函數是否相同。對于兩個例題均可取x=-1。分別求解f（-1），g（-1）。通過兩個值函數值可以判定，兩個函數不相同。

例9 判定函數f（x）=1，g（x）=sin2x+cos2x是否相同。

解 方法：判定兩個函數定義域與對應法則是否完全相同。

（1）因f（x）的定義域為：（-∞，+ ∞）；g（x）的定義域為：（-∞，+ ∞）。

（2）因g（x）的表達式可以進行化簡，變為：g（x）=1。

因此，兩個函數的定義域與對應法則均相同，說明兩個函數為同一函數。

4 總結

對應法則和定義域是函數的概念重要因素，也是函數求解的關鍵。對于函數的定義域的求解應采用“從內到外”的方法，逐層求解。而多個函數的代數和形式的定義域則層次分別求解，最終取交集的方法。函數的表達式應針對三種不同形式的問題，分門別類進行對應化簡，得到答案。

參考文獻：

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作者簡介：

張延利（1980.9-），男，山東萊蕪人，碩士，講師，從事高等數學教學。

基金項目： 瀘州職業技術學院2015年度院級教改項目（JG-201504）；瀘州市職業教育研究中心2016年度研究課題（LZJY-2016-18）