淺析函數概念發展的幾個階段

摘 要：自17世紀近代數學產生以來，函數概念一直處于數學的核心位置。它既是數學研究的對象，又是解決數學問題的基本思想方法。本文簡單介紹函數概念的產生、發展、完善、成熟四個階段。我們希望通過研究函數概念，幫助我們領悟數學概念對數學發展的推動作用，學會用函數思想去分析和解決實際問題。

關鍵詞：函數概念；歷史；發展；階段

一、函數概念產生的歷史背景

在公元17世紀之前，數學上占統治地位的是常量數學，其特點是用孤立、靜止的觀點去研究事物。從17世紀開始，自然科學開始大踏步地前進，天文、航海和科學技術的發展，向數學提出了一系列必須從運動變化和發展的觀點來研究事物的新問題。這些問題都需要探究兩個變量之間的關系，并根據這種關系對事物變化規律作出判斷。社會多方面的實踐需要人們對各種“運動”進行研究，函數概念正是從運動的研究中引出的一個數學概念。正是在這樣的歷史背景下，促使了函數概念的逐步形成和發展。

二、函數概念的形成與發展

從歷史角度看，函數概念發展可以劃分為四個階段：產生階段、發展階段、完善階段、成熟階段。主要包括：17世紀幾何觀念下的變量說，18世紀代數觀念下的解析式說，19世紀對應關系下的變量對應說，20世紀后集合論下的集合對應說。

（一）函數概念的產生階段

17世紀幾何觀念下的變量說。在17世紀早期，意大利物理學家及數學家伽俐略在《兩門新科學》中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變量的關系這一概念。他提出：“兩個等體積圓柱體的面積之比，等于它們高度之比的平方根。”這是早期關于變量或函數概念的描述，也可以說是函數概念的起源。

1637年法國數學家笛卡爾發現了量的變化與量之間的依賴關系，并在數學中引進了變量思想。他在《幾何學》一書中指出：所謂變量是指“不知的和未定的量”，同時引入了兩個變量之間的相依關系。這便是函數概念的幾何概念，也為函數概念的產生奠定了思想基礎。可惜的是笛卡爾沒有意識到要提煉函數概念。

1673年，萊布尼茲在《有關切線的逆方法即函數》中首次使用“function”（函數）表示任一個隨著曲線上的點變動的量，并指出：“曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等，所有與曲線上的點有關的量稱為函數。”總之，17世紀出現了函數概念的一點端倪，但函數的一般定義仍沒有誕生。

（二）函數概念的發展階段

18世紀代數觀念下的解析式說。1718年，約翰·伯努利在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他把變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，并強調函數要用公式來表示。

1748年，瑞士數學家歐拉在其著名的《無窮分析引論》一書中把函數定義為：“一個變量的函數是由該變量的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。”把變量與常量以及由它們的加、減、乘、除、乘方、開方和三角、指數、對數等運算構成的式子，均稱為函數。1755年，他又給出了“依賴性”的函數定義：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數。”歐拉最大的進步就是把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，這是便是科學函數定義的雛形。

（三）函數概念的完善階段

19世紀對應關系下的變量對應說。1821年，法國數學家柯西在《分析學講義》中給出了函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。”他認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。

1837年，德國數學家狄利克雷認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y總有一個完全確定的值與之對應，那么y叫做x的函數。”這個定義徹底地拋棄了前述一些定義中解析式等的束縛，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，特別強調和突出函數概念的本質——對應思想，使之具有更加豐富的內涵。這就是人們常說的經典函數定義。并且他還構造一個以他自己名字命名的狄利克雷函數：

總之，從18世紀前后開始，經過許多數學家的不斷探索和研究函數概念有了長足的發展。但至少到19世紀前半期，關于函數概念的敘述仍是不一致的，因此函數的概念仍需進一步完善。

（四）函數概念的成熟階段

20世紀后集合論下的對應說。20世紀初，德國數學家康托爾創立了集合論。到了20世紀后半葉，集合論得到迅速發展，從集合論角度定義函數概念就更一般化了。最終給出完善的現代函數定義的是法國的布爾巴基學派，定義如下：設A和B是兩個非空集合，A中的一個變元x和B中的變元y之問的一個關系稱為一個函數關系，如果對每一個x∈A，都存在唯一的y∈B，它滿足與x的給定關系。我們稱這樣的運算為函數。我們當今高中課本的函數定義也是根據這一定義簡化而成的。

總的來說，函數概念的形成是由研究靜止現象到研究運動、變化現象的結果。縱觀300年來函數概念的發展，經歷了無數數學家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究過程，眾多數學家從幾何、代數、對應、集合的角度不斷賦予函數概念以新的思想。

通過研究函數概念，我們發現函數思想能深刻反映客觀世界的運動和實際的量之間的依賴關系，是培養高中生分析、解決實際問題的有力工具。所謂函數思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再利用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。許多問題如果能用函數的觀點去認識和處理，那么我們就容易找到解決問題的辦法和途徑。因此加強函數的教學及函數思想的滲透，使高中生樹立函數思想，具有重大的現實意義。

參考文獻：

[1]杜石然.函數概念的歷史發展[J].數學通報，1961（3）.

[2]徐品方.函數概念的產生與發展[J].數學教師，1994（1）.

作者簡介：周理園，深圳市光明新區高級中學。