破解“勾股弦公式”千古構(gòu)造之謎
——用代數(shù)法巧妙求出不定方程X2+Y2=Z2之通解

鄒繼芳

(撫順礦業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司機(jī)械制造廠 113001)

用代數(shù)法巧妙求出X2+Y2=Z2不定方程的非零整數(shù)之通解

解設(shè)X=μ+A,

Y=μ+B,

Z=μ+C,

式中：μ、A、B、C都為正整數(shù)，顯然C>A,C>B.

所以,X2+Y2=Z2可寫(xiě)成

(μ+A)2+(μ+B)2=(μ+C)2,

μ2+2μA+A2+μ2+2μB+B2=μ2+2μC+C2,

μ2+2μ(A+B-C)+A2+B2-C2=0.

設(shè)C-A=p，C-B=q，

因C、A、B為正整數(shù)，則p、q為正整數(shù).

則Y=μ+B,

則X=μ+A,

從C-A=p，C-B=q中得

p+A=q+B,

p-B=q-A.

則Z=μ+C,

從C-B=q中得C=q+B.

即有下列關(guān)系式

由于X、Y、Z皆為正整數(shù)，即X>0,Y>0,Z>0,

討論:由于p>0,q>0,

q>2p；

p>2q.

很容易驗(yàn)證此解是X2+Y2=Z2的不為零的整數(shù)之通解.

下面來(lái)討論此解，考察這個(gè)通解.

由于2pq必須為平方數(shù)，且2pq必須為偶數(shù),

pq=2m2,

因p、q必須為正整數(shù)，所以說(shuō)明2m2必能被q整除，也說(shuō)明2m2必含有被q整除的因子.為討論方便起見(jiàn)設(shè)m=a×b(a、b都是任意正整數(shù)),

則2m2=2×(a×b)2=2a2×b2,

即p×q=2m2=2a2×b2.

這樣，當(dāng)X、Y、Z為互質(zhì)時(shí)，只有如下關(guān)系式

上式的結(jié)果比較繁瑣，需要對(duì)其簡(jiǎn)化.

4γ=β2-4.

根據(jù)X=a2β，Y=a2γ，代入4γ=β2-4中,

X2=4a2(a2+Y),

則X=2ad,

Y=d2-a2.

4ω=[(β-2)2+4β],

4ω=(β2-4β+4+4β).

4ω=β2+4.

根據(jù)X=a2β，Z=a2ω代入4ω=β2+4中,

4Za2-X2=4a4,

4Za2-4a4=X2,

即有如下結(jié)論：

設(shè)Z-a2=e2,則

X=2ae,

Z=e2+a2.

又因X=2ae，前式中X=2ad,所以d=e.

為統(tǒng)一和書(shū)寫(xiě)方便起見(jiàn)，取X=2ad.

根據(jù)上述求證結(jié)果，可得出如下結(jié)論：

不定方程X2+Y2=Z2不為零的正整數(shù)解通解為，當(dāng)X、Y、Z互質(zhì)時(shí)(沒(méi)有公因數(shù)時(shí)),

若有公因數(shù)時(shí)，則

這樣即可獲取所有的整數(shù)解，即X2+Y2=Z2不定方程的非零整數(shù)之通解.

幾何解析：仔細(xì)分析X2+Y2=Z2這個(gè)方程，從幾何的角度來(lái)看，X、Y、Z分別代表直角三角形的三條邊，三條邊之間的關(guān)系為X2+Y2=Z2,這就是著名的勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.這個(gè)定理在中國(guó)又稱為商高定理，在國(guó)外稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”.

(勾股定理幾何關(guān)系)

若X、Y、Z都為正整數(shù)，則構(gòu)成勾股數(shù)組

(勾股數(shù)組關(guān)系) 記為(2ad、d2-a2、d2+a2)

參考文獻(xiàn)：

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[3]夏圣亭.中學(xué)數(shù)學(xué)題巧解妙法[M].上海：上海科學(xué)普及出版社，1994.