跳出排列組合的“誤區陷阱”

張津航

(河北省樂亭縣第一中學 063600)

排列組合問題雖然種類繁多,稍不注意就會產生這樣或那樣的錯誤,但只要能把握住最常見的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯的地方就能夠以不變應萬變，把排列組合學好下面我們給出一些排列組合問題的一些典型錯例解析,以期能夠幫助大家起到防微杜漸的作用.

一、沒有理解兩個基本原理出錯

排列組合問題基于兩個基本計數原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.

例1 從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種

錯解因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.

錯因分析誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.

二、重復計算出錯

在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等,這些問題要注意避免重復計數,產生錯誤.

例2 5本不同的書全部分給4個學生,每個學生至少一本,不同的分法種數為( ).

A.480 種 B.240種 C.120種 D.96種

錯因分析設5本書為a、b、c、d、e，四個人為甲、乙、丙、丁按照上述分法可能如下的表1和表2：

表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書a給甲的情況這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況.正好重復了一次.

三、忽視題設條件出錯

在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.

例3 如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有____種(以數字作答).

錯因分析據報導,在高考中有很多考生填了48種這主要是沒有看清題設“有4種顏色可供選擇”,不一定需要4種顏色全部使用,用3種也可以完成任務.

四、未考慮特殊情況出錯

在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.

例4 現有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數是( ).

A.1024種 B.1023種 C.1536種 D.1535種

錯解因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有210-1=1023種.

錯因分析這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成 4 種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.

正解除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有29×3-1=1535種.

參考文獻：

[1]張明艷.排列組合問題中的思想方法[J].課程教育研究,2015(09):204-205.

[2]馮芮.排列組合解題的常用策略[J].科教文匯(下旬刊),2014(05):137-138.