對2017年新課標Ⅱ文科第21題的解法探究

劉彥永

(東北師范大學附屬中學 130021)

2017年高考新課標Ⅱ文科第21題，題目雖不新穎，但是內涵豐富，引起了筆者的深入探索和思考.題目如下：

設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論的f(x)單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

一、試題分析

本題屬于傳統題，考查了函數的單調性和恒成立問題.以含參數不等式問題為載體，既考查學生的分類討論思想、等價轉化思想、數形結合思想和函數方程及不等式思想，又考查學生分析問題和解決問題的能力.本題由淺入深，對計算難度、思維深度的要求逐步提高，很好地體現了數學的科學性、應用性和創造性.

二、解法探究

本題解法很多，不同的解法體現不同的思維層次和思考角度，要求考生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.

方法一：分類討論、假設反證法

構造函數g(x)=(1-x2)ex-ax-1，則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，g″(x)=(-x2-4x-1)ex.當x≥0時，g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，故g′(x)在(0,+)上單調遞減，且g′(0)=1-a.

①當1-a≤0即a≥1，x>0時，g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a<0，g(x)在[0,+)上單調遞減，且g(0)=0，g(x)≤0，即f(x)≤ax+1恒成立.

②當1-a>0即a<1時，g′(0)=1-a>0,且x→+時，g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a→-，故存在x0>0使得g′(x0)=0，x∈(0,x0)時g′(x)>0，g(x)在(0,+)上單調遞增，且g(0)=0，有g(x)≥0，不符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是[1,+).

方法二：應用分離參數法和洛必達法則

①當x=0時，f(x)=(1-x2)ex≤ax+1即為1≤0·a+1，此時a∈R；

記p(x)=(-x3-x2+x-1)ex+1，則p′(x)=-x(x2+4x+1)ex<0，故p(x)在(0,+)上單調遞減，且p(0)=0，故p(x)<0，即在(0,+)上單調遞減.

方法三：數形結合

先畫出函數f(x)=(1-x2)ex在[0,+)上的草圖.

方法四：端點效應

構造函數g(x)=(1-x2)ex-ax-1，則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a.因為g(0)=0，故一定存在x0>0使得x∈[0,x0)時g′(x)≤0.(若不然，即任意x0>0，x∈(0,x0)時g′(x)>0，則x∈(0,x0)時g(x)>0，不符合題意.)從而有g′(0)=1-a≤0，即a≥1. 下面證明a=1時g(x)=(1-x2)ex-x-1≤0 (x≥0)恒成立.由于g′(x)=(-x2-2x+1)ex-1，g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，知g′(x)在[0,+)上單調遞減，且g′(0)=0，故g′(x)≤0，g(x)max=g(0)=0≤0， 故a的取值范圍是[1,+).

以上解法各有千秋，這樣的一題多解能夠啟發和引導學生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運算過程去分析和解答試題.

三、考題回顧

新課標Ⅱ文科第21題在2010年和2016年也均考查含參不等式恒成立問題，體現了高考試題“常考常新，推陳出新”的理念.上述四種解法對下面的高考試題均奏效，由于篇幅關系，此處不再贅述.

(2010年高考新課標Ⅱ文科第21題)已知函數f(x)=x(ex-1)-ax2.

(2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

(2016年高考新課標Ⅱ文科第21題)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

試題解法的探究僅僅是試題研究的一個開端.對解法的探索是在踐行我們所學的知識技能和思想方法，同時也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對試題本質的探源，使我們更深刻地認識問題，將新舊解題經歷跨時空貫通起來，這又是一個新的開始.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析第四版上冊[M].北京：高等教育出版社, 2010.