例析用導數求切線方程的幾種類型

馬涵坤

(河北省衡水第一中學 053000)

用導數求曲線的切線方程的方法為：設P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點，則以P為切點的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)．當曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))的切線平行于y軸(即導數不存在)時，由切線定義知，切線方程為x=x0．下面例析幾種常見的類型及解法.

類型一：已知切點，求曲線的切線方程

題目中點明切點，只需求出切線的斜率,并代入點斜式方程即可．

A.x-y-2=0 B.x+y-2=0

C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0

分析求出導數，求得切線的斜率，由點斜式方程可得切線的方程．

可得在點(1，1)處的切線斜率為-1.

則所求切線的方程為y-1=-(x-1)，

即為x+y-2=0．

故選B．

點評正確求導和運用點斜式方程是求切線方程的關鍵．

類型二：已知斜率，求曲線的切線方程

題目中未明確切點，需要利用題中條件求出切點，再確定切線的斜率，最后用點斜式方程加以求解．

例2 與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程是____．

分析根據導數的幾何意義求出函數f(x)在x處的導數等于切線的斜率，建立等式，求出x的值，從而求出切點坐標，最后將切線方程寫出一般式即可．

由此得到切點(1，1).

故切線方程為y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．

點評本題主要考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，同時考查化歸與轉化思想.另外此題所給的曲線是拋物線，故也可利用Δ法加以解決．

類型三：已知過曲線上一點，求切線方程

題目中給出了曲線上的任一點，但該點未必是切點，故要先求出切點，再利用斜率，就可求出切線的方程了．

例3 求過曲線y=x3-2x上的點(1，-1)的切線方程．

分析求導數，設切點坐標，利用導數的幾何意義求切線方程即可．

解設P(x0,y0)為切點，

所以切線方程為：y-y0=(3x02-2)(x-x0)，

即y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0).

又知切線過點(1，-1)，

將其代入上述方程，得

類型四：已知過曲線外一點，求切線方程

當給出的已知點不在曲線上時，需要先求出切點，再用待定切點法來求解．

分析設出切點(m,n)，求得導數，可得切線的斜率，由點斜式表示出切線方程，代入已知點，就可求出切點，從而求出切線方程．

解設P(x0,y0)為切點，

又已知切線過點(2，0)，

點評點(2，0)實際上是曲線外的一點，但在解題過程中卻無需判斷它的確切位置，只需區分“過點”與“在點”即可，這充分反映出待定切點法的高效性．

通過以上分析，希望同學們能夠掌握利用導數求切線方程的各種類型.在不同的條件下，利用不同的思路完美地解決問題.

參考文獻：

[1]桑觀賞.用導數求切線方程的四種類型[J].中學生數理化(高二版)， 2012(Z1).