含參不等式的恒成立、恰成立與能成立

楊奇華

(浙江省寧波市北侖區(qū)柴橋中學(xué) 315000)

含參不等式成立條件下，求參數(shù)取值范圍問題一直是高考及模擬考試中的熱點(diǎn)題型.但不等式成立的形式卻有不同，如果理解不透極易導(dǎo)致誤解.本文通過例子解析不等式成立的幾種不同形式，以識(shí)別題型、理清思路，正確求解.

一、f(x)≥a的恒成立與恰成立

例1 已知f(x)=x2+(m+1)x+1,x∈[0,+∞).

(1)若f(x)≥0恒成立，求m的取值范圍；

(2)若f(x)≥0恰成立，求m的取值范圍.

解(1)f(x)≥0恒成立，即x2+(m+1)x+1≥0在x∈[0,+∞)時(shí)恒成立.

①當(dāng)x=0時(shí)，上述不等式顯然成立，所以m可為任意實(shí)數(shù).

綜上①和②，要使x∈[0,+∞)時(shí)不等式都成立，則m的取值范圍是m≥-3.

注意到題設(shè)f(x)的定義域是[0,+∞),

①當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=x2+2x+1=(x+1)2，可知x=0時(shí)，f(x)min=f(0)=1，這題設(shè)的f(x)≥0恰成立不符，故m=1不合題意，應(yīng)舍去.

②當(dāng)m=-3時(shí)，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，可見x=1時(shí)，f(x)取得最小值是f(1)=0，即f(x)≥0恰成立，符合題意.

綜上①和②，得m=-3.

點(diǎn)評(píng)若f(x)≥a恰成立，則要求f(x)的最小值恰好是a;而f(x)≥a恒成立，要求f(x)的最小值大于或等于a.本例在解答時(shí)，要注意定義域的作用，應(yīng)檢驗(yàn)m的取值是否滿足定義域的要求.

解得m≥-1或-3≤m<-1，從而得m≥-3.

二、不等式的恒成立與能成立

例2 已知f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x.

(1)若對(duì)任意x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；

(2)若對(duì)x1∈[-3,3],x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范圍；

(3)若存在x∈[-3,3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；

(4)若存在x1∈[-3,3],x2∈[-3,3]，使f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范圍.

解(1)題設(shè)條件f(x)≤g(x)成立，即h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k≥0對(duì)x∈[-3,3]恒成立，故只要h(x)min≥0.不難求得h(x)在[-3,3]上的最小值h(x)min=h(-3)=k-45.由k-45≥0，得k≥45.

(2)本小題中的x1與x2并無關(guān)聯(lián)，因此f(x1)≤g(x2)恒成立?當(dāng)x∈[-3,3]時(shí)，f(x)max≤g(x)min.當(dāng)x∈[-3,3]時(shí)，不難求得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21.那么由120-k≤-21,得k≥141.

(3)存在x∈[-3,3]使f(x)≤g(x)能成立，即不等式h(x)=g(x)-f(x)≥0在[-3,3]上有解，故只要h(x)max≥0即可.不難求得h(x)max=h(-1)=k+7.由k+7≥0，得k≥-7.

(4)注意到x1與x2彼此無關(guān)，要使不等式f(x1)≤g(x2)能成立，只要有f(x)min≤g(x)max.不難求得當(dāng)x∈[-3,3]時(shí)，f(x)min=f(-1)=-8-k,g(x)max=g(3)=111.由-8-k≤111,得k≥-119.

點(diǎn)評(píng)要仔細(xì)辯別本例中4個(gè)小題的區(qū)別與聯(lián)系，才能準(zhǔn)確理解題意，避免誤解錯(cuò)答.

(1)小題屬于“任意型恒成立”問題，要求不等式永遠(yuǎn)成立，因此只要有h(x)min≥0即可.

(3)小題屬于“存在型能成立”問題，要求不等式有解即可，因此只要有h(x)max≥0.

(2)、(4)小題中的x1與x2是彼此獨(dú)立的，并不要求x1與x2是同一個(gè)值，因此不能用構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)來解答，而應(yīng)分別考慮f(x)、g(x)的最大最小值.

參考文獻(xiàn)：

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