幾何直觀讓計算邁入深刻

林 芬

（廈門市同安區第一實驗小學，福建廈門 361100）

數學知識的形成依賴于直觀，數學的發展過程也表明，再抽象的數學知識總能找到相對直觀的表征和揭示，很多重要的數學內容、概念，不僅具有“數的特征”，也有“形的表征”。在數的計算教學中，對于一些抽象的數學計算，不妨充分利用圖形的幾何直觀，通過數形結合的方法，幫助學生理解和接受抽象的內容與方法，把握計算的本質，促進學生的數學思維，讓計算學習邁入深刻[1]。

1 結合直觀，讓算理一目了然

事實上，無論是生活中還是課堂學習中，從開始認數，就在不斷使用幾何直觀。認識小數、分數，理解整數、小數、分數的四則運算，也在大量地使用幾何直觀。例如：分數乘法的幾何模型，為什么分母相乘、分子相乘，所得結果，有的也可化為最簡分數，采用數形結合，算理一目了然。如的分數乘法計算，要使學生意識、體會到結合直觀的作用，很重要的一條策略是激活學生的主觀能動性，讓學生自己畫圖探索的結果，比起只觀察、不動手，效果要好得多。

2 圖形演繹，突顯定律的本質

課堂上，學生對抽象的運算定律理解往往停留在模仿與生搬硬套的層面上，這給孩子的學習帶來了記憶的負擔，在實際應用中又容易產生運算定律之間的混淆運用，錯誤頻頻，讓師生煩惱不已。如在教學乘法分配率后，學生會出現許多的“（a×b）×c”與“（a+b）×c”混淆，“（a+b）×c”變成“a+b×c或a×c +b”等此類錯誤。究其原因，其實是學生對運算定律的感悟不足，只建立的表象，沒有深入了解其內在的本質。

其實數與形之間是相互依存的共同體，存在著一一對應的關系。在教學中，將直觀的“形”與抽象的“數”一一對應，以形表數理解運算定律的直觀模型，使學生掌握抽象的運算規律[2]。如在教學中可以利用長方形周長的計算經驗引出抽象的乘法分配律。先讓學生用兩種方法求出長方形的周長，“5×2+4×2=18”，“（5+4）×2=18”，從形到數，利用已有的解決問題經驗得出算法。再讓孩子“指一指”式子中每一步運算表示的是圖上的哪一部分，經歷數與形的一一對應過程，明晰每一步運算代表的直觀意義，理解“5×2+4×2=（5+4）×2”的意義。隨后隱去圖中的具體數據變成字母a、b，讓學生再算周長。利用學生的錯誤質疑“（長+寬）×2=長+寬×2”？讓學生作圖辨析，在這數形對應的過程中，讓乘法分配率的抽象模型有了更深刻的了解。

3 借助直觀，解題思路更簡潔

幾何直觀解題的最大優勢是將抽象問題形象化，將數字信息反映在圖形上，直觀地表現數量關系，從而獲得解題思路。例如求的和”這樣一道復雜的分數連加計算題。學生通常是用“通分”進行計算，伴隨著加數的增加，學生會因為“通分比較復雜”，而減少對數學學習的興趣。因此，我啟發學生嘗試把算式轉化成圖形，在一個正方形中把所有加數所代表的區域都涂上顏色，二全部加數的和就是用整個正方形的面積減去空表部分的面積（即1－）。這樣簡便而直觀的教學方法，凸顯了數學的本質特征，提高了學生的思維能力，拓展了解題思路。

適時借助直觀幾何，滲透“數形結合”的思想，讓信息得到呈現與轉化，讓計算解題更簡便直觀，解題思路更多元。

4 巧借幾何直觀，拓展復習內涵

復習課就像一根“雞肋”，總感覺單調乏味，復習了感覺也就是走過場，學生毫無興趣。特別是計算課的復習，學生只停留在“知識層面”上，嚴重影響了學習效果。如果顛覆以往復習方式，巧妙借助幾何直觀，幫助學生梳理知識，構建知識框架，會大大提高學生的學習興趣并深化知識內涵。

例如“運算定律與簡便計算單元復習”的教學片段：①教師出示圖形（如圖一），問學生你想到了什么？

生1：周長C=（12+25）×2，生2：面積S=12×25。②課件展示：25×12和12×25，生：這個是我們學過的乘法交換律a×b=b×a。③師：如果把這長方形平均分成3份（如圖二），那么25×12=25×（4×3）……，這個等式運用了學

過的什么性質？生：乘法結合律（a×b）×c=a×（b×c）。

③師：如果是這樣的情況呢？（如圖三），你能求出長方形的面積嗎？生：能25×6＋25×6，也可以25×（6+6）。那就是用了……。

利用幾何直觀貫穿復習內容主線，巧妙溝通了運算定律的產生與以往知識的聯系，讓學生感悟到運算定律的產生及其應用，體會了數學的變化之美、簡約之美。

數與代數的教學領域中，如果與幾何直觀有效結合，就能使知識點的學習環環相扣，形成一個網狀的知識結構，使學生在理解形與數的基礎上，有效提取并建構抽象數的計算算理與規律。

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版本）[S]北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 曹培英.“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[J].上海：上海教育出版社，2017.