盤點三角函數重難點

■范運靈

一、任意角

重難點主要有任意角的概念、終邊相同的角、角的終邊對稱問題、象限角的確定、區域角的表示和任意角的應用等。

例 1 求所有與角-210°終邊相同的角的集合,并求出其中的最小正角、最大負角。

分析:寫出角的集合→給k賦值→確定符合條件的角。

因為 -210°=-360°+150°,所以與-210°終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+150°,k∈Z}。其中最小正角為150°,最大負角為-210°。

注意:①α為任意角;②k·360°與α之間是“+”號,k·360°-α可理解為k·360°+(-α);③相等的角終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數個,它們相差360°的整數倍;④k∈Z這一條件不能少。

二、任意角的三角函數

重難點主要有三角函數定義的應用、三角函數的定義域和值域、三角函數在各象限內的符號、三角函數線的應用、用單位圓解決三角函數問題等。

分析:求出sinα→分類討論各種情況。

當y=0時,sinα=0,cosα=-1,tanα=0。

①三角函數值是比值,是一個實數,其大小和點P(x,y)在終邊上的位置無關,只與角α的終邊位置有關。②符號sinα、cosα或tanα是一個整體,離開“α”,“sin”“cos”或“tan”不表示任何意義,更不能把“sinα”當成“sin”與“α”的乘積。③誘導公式的實質是說終邊相同的角的同一三角函數值相等,作用是把求任意角的三角函數值轉化為求0～2π(或0°～360°)之間的角的三角函數值。

三、同角三角函數的基本關系

重難點主要有利用同角三角函數的基本關系求值、化簡、證明,弦切互化,與sinα±cosα,sinαcosα有關的求值,與參數有關的三角函數問題。

(sinβ-cosβ)2=1-2sinβcosβ=

因為sinβcosβ＜0且0＜β＜π,所以sinβ＞0,cosβ＜0。于是sinβ-cosβ=。

①靈活運用公式(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα求解。②同角三角函數的基本關系式揭示了“同角不同名”的三角函數的運算規律,它的精髓在“同角”二字上,如sin22α+cos22α=1=tan8α等都成立。③已知角α的某一種三角函數值,求角α的其余三角函數值時,要注意選擇合理的公式。一般先選用平方關系,再用商數關系。在應用平方關系求sinα或cosα時,其正、負號是由角α所在的象限決定的,切不可憑想象亂寫公式。進行三角函數式的求值時,要細心觀察題目的特征,靈活、恰當地選用公式,統一角、統一函數、降低次數是三角函數關系變形的出發點。

四、三角函數的圖像與性質

重難點主要有正(余)弦、正切函數圖像的作法和性質,定義域、值域及正(余)弦函數的最值,與其他函數的綜合運用。

例 4 已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函數,其圖像關調函數,求ω和φ的值。

分析:求出φ值→得出k,ω的范圍→分類討論所有情況。

因為f(x)是偶函數,所以y軸是其對稱軸,即x=0時函數取得最大值或最小值。故f(0)=sinφ=±1。又因0≤φ≤π,故φ=。由f(x)的k∈Z。

①正、余弦曲線在研究正、余弦函數的性質中有著非常重要的應用,是運用數形結合思想解決三角函數問題的基礎。②“五點法”是畫三角函數圖像的基本方法,與“五點法”作圖有關的問題是高考常考的試題。

五、函數y=Asin(ωx+φ)的圖像

重難點主要有φ、ω、A(φ≠0,ω＞0且ω≠1,A＞0且A≠1)對y=Asin(ωx+φ),x∈R的圖像的影響,y=sinx的圖像與y=Asin(ωx+φ)的圖像的關系,函數y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的各量的物理意義,以及由圖像確定函數y=Asin(ωx+φ)的解析式。

圖1

(1)求函數f(x)的解析式。

(2)如何由函數y=2sinx的圖像通過適當的變換得到函數f(x)的圖像,寫出變換過程。

分析:(1)根據圖像推出ω和f(x)的解析式。(2)根據三角函數變換法則進行變換。

由y=sinx的圖像通過變換可得到函數y=Asin(ωx+φ)的圖像,其變化途徑有兩條:一y=Asin(ωx+φ)。

三角函數的重難點除上文提到的外,還有三角函數的誘導公式,也是一個難點,同學們在學習時應注意以下幾點:①明確各誘導公式的作用:公式一的作用是將任意角轉化為0～2π之間的角求值,公式二的作用是將0～2π之間的角轉化為0～π之間的角求值,公式三的作用是將負角轉化為正角求值,公式四是將角轉化為0～之間的角求值。②誘導公式的記憶口訣是“角變名不變,符號看象限”,其含義是誘導公式兩邊的函數名稱一致,符號則是將α看成銳角時原角所在象限的三角函數值的符號。將α看成銳角,只是為了方便公式記憶,實際上α可以是任意角。誘導公式可以統一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導公式。當k為偶數時,得α的同名函數值;當k為奇數時,得α的異名函數值,在前面加一個把α看成銳角時原函數值的符號。誘導公式統一成“k·±α(k∈Z)”后,記憶口訣為“奇變偶不變,符號看象限”。

提示:因為角α是第二象限角,所以k·360°+90°＜α＜k·360°+180°(k∈Z),即2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°(k∈Z),故2α是第三或第四象限角或終邊在y軸的非正半軸上。因為k·180°+45°＜＜k·180°+90°(k∈Z),當k為偶數時,在第一象限,當k為奇數時在第三象限,故為第一或第三象限角。