三角函數(shù)常見典型考題賞析

■翟新超

題型1:角的集合表示及象限角的判斷

(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,其方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值求得所需角。(2)利用終邊相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí),只需把這個(gè)角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和,然后判斷角α所在的象限。

圖1

在0°～360°范圍內(nèi),終邊落在射線OA上的角是60°,終邊落在射線OB上的角是240°,所以以射線OA,OB為終邊的角的集合分別為S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z}。

故角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+k·180°,k∈Z}。

跟蹤訓(xùn)練1:若α是第二象限的角,則下列結(jié)論一定成立的是( )。

題型2:三角函數(shù)的取值符號(hào)的判斷

熟練掌握三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的取值符號(hào)是學(xué)好三角函數(shù)的基礎(chǔ)。可借助口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,來加深對(duì)三角函數(shù)取值符號(hào)的理解。

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解:由sinαtanα＜0,可知sinα,tanα異號(hào),則α為第二或第三象限角;

綜上可知,α為第三象限角。應(yīng)選C。

A.第一象限

B.第三象限

C.第一或第三象限

D.第二或第四象限

提示:因?yàn)閟inα＞0,cosα＜0,所以α為第二象限角,即+2kπ＜α＜π+2kπ,k∈Z,+kπ,k∈Z。當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),為第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)為第三象限角。應(yīng)選C。

題型3:關(guān)于sinα，cosα的齊次式問題

形如asinα+bcosα和asin2α+bsinα·cosα+ccos2α的式子分別稱為關(guān)于sinα,cosα的一次齊次式和二次齊次式,對(duì)涉及它們的三角變換問題通常可轉(zhuǎn)化為正切來求解。

因?yàn)?cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=

所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=

題型4:利用誘導(dǎo)公式化簡與求值

三角函數(shù)的化簡和求值問題,遵循誘導(dǎo)公式先行的原則,即先用誘導(dǎo)公式化簡變形,達(dá)到角的統(tǒng)一,再進(jìn)行三角函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化,以保證三角函數(shù)名稱最少。

題型5:三角函數(shù)的定義域與值域

求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)圖像來求解。求解三角函數(shù)的值域(最值)常見以下幾種類型的題目:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù),可化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù),可設(shè)sinx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sinx±cosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)。

故此函數(shù)的定義域?yàn)?

題型6:三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性

求解三角函數(shù)的奇偶性和周期性問題時(shí),一般先要進(jìn)行三角恒等變換,把三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù),再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解。正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形,正切函數(shù)的圖像只是中心對(duì)稱圖形,應(yīng)熟記它們的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

例 6 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)的 最 小 正 周 期 為4π,且f()=1,則函數(shù)f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是( )。

題型7:三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用

求形如y=Asin(ωx+φ)+k的單調(diào)區(qū)間時(shí),只需把ωx+φ看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可。若ω為負(fù)數(shù),則要先把ω化為正數(shù)再求解。

解:f(x)=sinωx(ω＞0)的圖像過原點(diǎn)。

題型8:三角函數(shù)的圖像變換

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的圖像的兩種作法:①五點(diǎn)法:主要是通過變量代換,設(shè)z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π來求出相應(yīng)的x值,通過列表,計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖像。②圖像變換法:主要途徑有“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。

例8 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),ω＞0,|φ|＜在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表1所示。

表1

(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式。

(2)將y=f(x)圖像上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ＞0)個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖像。若y=g(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為求θ的最小值。

(3)作出函數(shù)f(x)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖像。

表2

由函數(shù)y=sinx圖像的對(duì)稱中心為(kπ,0),k∈Z,可令2x+2θ-=kπ,k∈Z,

(3)由表2可作出此函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像,如圖2所示。

圖2

跟蹤訓(xùn)練8:函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的圖像如圖3所示,為了得到f(x)的圖像,則只需將函數(shù)g(x)=sin2x的圖像( )。

圖3

題型9:求三角函數(shù)的解析式

求函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的解析式的一般步驟:①由A=,B=,求A,B的值,其中M 為函數(shù)的最大值,m為函數(shù)的最小值。②由ω=π,求ω的值。③由圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)可求φ的值,或利用“五點(diǎn)法”中的對(duì)應(yīng)點(diǎn),也可求φ的值。

例 9 設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0＜φ＜)的部分圖像如圖4所示,直線x=是它的一條對(duì)稱軸,則函數(shù)f(x)的解析式為 。

圖4

圖5

A.1 B.2

C.3 D.4

將函數(shù)f(x)的圖像向右平移t(t＞0)個(gè)單位長度,所得的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析

題型10:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

高考對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題的考查主要有以下四種命題角度:①圖像變換與函數(shù)性質(zhì)。②恒等變換與函數(shù)性質(zhì)。③三角函數(shù)性質(zhì)與平面向量。④三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形。

(1)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí),求φ的值。

跟蹤訓(xùn)練10:下列函數(shù)同時(shí)具有性質(zhì)“①最小正周期是π,②圖像關(guān)于直線x=上是減函數(shù)”的是( )。