基于實測應變的時域模態參與因子識別研究

胡偉鋼，劉志明，王 曦，林浩博

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044)

結構疲勞強度決定了機械系統的正常運轉及使用壽命，且關系到飛機、鐵路列車、汽車等交通工具的運行安全，在結構強度設計和運營評估中，了解結構的整體應變分布場和關鍵位置結構響應是十分必要的[1]。

結構響應一般分為非結構振動響應和結構振動響應[2]。鐵道車輛部件對非結構振動響應測試一般采用直接測試法和準靜態標定法[3-4]，對結構振動響應測試一般采用直接測試法[5-6]。目前，對于復雜結構振動響應測量一般是定性給出傳感器布置方案[7-8]，在布置傳感器過程中會有大量的經驗性和不確定性。

本文提出一種通過優化結構表面可測部位測點的方法，逆求結構動態響應模態參與因子，獲得結構整體應變響應。該方法利用應變片質量輕,在結構測試時不會改變被測結構動態參數的特點，通過在結構表面上粘貼合適數量的應變片，基于D優化理論優化最佳測點位置和方向，根據模態疊加基本原理，得到整體結構響應特征。該方法為復雜結構無法實測部位結構響應提供了一種間接測試方法。

1 模態參與因子估計基本理論

1.1 結構振動

對于一個結構可離散為N自由度的系統，其平衡運動方程為[9]

( 1 )

其中n×1的x(t)為結構振動響應。結構振動系統的振動響應可以表示為位移模態的線性組合。

( 2 )

式中：Φ=[φ1φ2…φn]，為n×n結構模態矩陣；qi(t)是模態振型φi的模態參與因子；q(t)=[q1q2…qn]為結構振型Φ模態參與因子向量。

在模態坐標下，結構運動方程可以表示為[10]

( 3 )

對于一個連續的結構體，在時域上結構變形與應變存在如下的線性微分關系

ε(t)=Dx(t)

( 4 )

式中：D是微分算子。通過微分運算對式( 2 )進行計算，對特定時間點模態的線性疊加為

( 5 )

結構模態的微分即為結構應變模態，根據式( 4 )、式( 5 )可以得到

( 6 )

式中：Ψε=[φ1φ2…φn]為結構模態應變矩陣。式( 6 )表明對于在線彈性范圍內的小變形結構上任意點的時間域應變響應可以表示為模態應變的線性疊加，即模態疊加。

1.2 模態參與估計

( 7 )

( 8 )

( 9 )

2 應變片測點布置方法

2.1 測試候選區

定義在結構表面上適宜安裝應變片的所有區域為測試候選區，在測試候選區內可粘貼應變片測點為測試候選點，測試候選點與位置和方向有關，通過優化得到參與模態參與因子估計的測點組合為優化測點組。結合文獻[3，8]所述的傳感器布置方案及結構的幾何特征，給出適宜布置應變片測試候選區的選擇原則：

(1)測試候選區應充分反映結構彈性模態變形的整體特征，特別是結構的主要模態振動方向的變形。

(2)測試候選區必須保證本區域結構為彈性變形且應變梯度變化不應過大，這些區域包括載荷激勵區、結構幾何應力集中區、結構缺陷區等。

(3)測試候選區應避開應變片安裝空間位置無法滿足區域和傳感器信號傳輸困難的區域，這些位置包括結構裝配區域，如箱體內部、結構設計孔等。

在建立由實體單元離散的有限元模型時，利用薄膜單元在結構振動中只傳遞面內力，沒有彎曲剛度的特點，在結構表面測試候選區域增加一層薄膜單元，通過薄膜單元應變信息來表達測試候選區的應變片信息。由于節點應變信息存在不唯一性，因此，選擇單元應變信息進行分析計算。

測點方向θ是測點敏感度的變量，單元在不同角度θ(0°≤θ<180°)得到各自的應變張量，應變張量由xyz坐標系轉化到任意x′y′z′坐標系[12]

式中：Tm是x′y′z′坐標系對xyz坐標系的轉換矩陣。薄膜單元的局部坐標系內，z軸方向始終垂直于單元面，其轉換矩陣為

2.2 D優化設計

由優化矩陣[ψε]opt可得優化模態參與因子估計為

3 懸臂梁模態參與因子識別

3.1 激振懸臂梁有限元模型

將懸臂梁作為工程對象進行模態參與因子識別，搭建懸臂梁試驗激振臺，如圖1所示，懸臂梁方形端后半部分固定，另一端開孔為激振桿裝配孔，激振桿與懸臂梁之間為螺栓連接，激振器通過激振桿傳遞激振力。

圖1 試驗懸臂梁

按照2.1節所述方法選擇測試候選區，如圖1中紅色區域。對懸臂梁模型進行模態分析，表1為懸臂梁前3階模態頻率。

表1 試驗懸臂梁前3階模態頻率

選擇6個測點估計懸臂梁前3階模態參與因子，按照2.2所述運用D優化法得到測試候選區內測點最佳位置和方向，圖1中給出由測點G#1～G#6組成的優化測點組，預留候選區內部測點G#7和外部測點G#8驗證模態參與因子估計。

圖2所示為懸臂梁優化測點組G#1～G#6和驗證測點G#7與G#8的前3階模態應變矩陣。

圖2 懸臂梁各測點前3階模態應變矩陣

3.2 模態參與因子識別及驗證

對激振器提供25～300 Hz的等幅值掃頻信號，同步采集各應變片信號，采樣頻率為2 000 Hz，得到各測點的應變響應，根據式(13)，采用最小二乘法估計各階模態參與因子，如圖3所示。

圖3 前3階模態參與因子估計

根據上文的模態參與因子和模態應變矩陣，由式( 6 )模態疊加原理可得各測點應變響應時域波形。圖4(a)和圖5(a)所示分別為驗證測點G#7和G#8的試驗值和反求值時域波形。為了清晰表達時域波形的重合度，將試驗信號和反求信號建立散點圖，圖4(b)和圖5(b)所示分別為驗證測點G#7和G#8的試驗值和反求值的散點圖。

圖4 測點G#7應力的試驗值和反求值

圖5 測點G#8應力的試驗值和反求值

表2所示為各測點試驗值和反求值的散點擬合相關性及RMS誤差，各測點線性擬合斜率接近1，相關性接近1，均方根誤差均較小，說明試驗應力信號和反求應力信號波形重合度高。驗證測點G#7和G#8的散點圖擬合斜率接近1，擬合相關性高，均方根誤差小，反求波形和實際測試波形重合度高，說明運用模態參與因子估計的方法估計準確度高。

表2 各測點擬合相關性及RMS誤差

4 箱體模態參與因子識別

4.1 箱體有限元模型

齒輪箱作為高速列車傳動系統重要組成部分，對于保障高鐵列車的動力傳輸具有重要作用，其主要由大小齒輪、箱體和聯軸節構成，其中，小齒輪通過聯軸節與牽引電機相連，大齒輪直接壓裝在輪軸上，齒輪箱箱體的一端通過抱軸承懸掛在車軸上，另一端通過吊桿吊掛在構架橫懸臂梁上[15]。圖6所示為齒輪箱箱體有限元模型，在箱體安裝軸承的中心建立參考點RP1、RP2、RP3和RP4，吊餅區中心建立參考點RP5，箱體和軸承的接觸面與對應參考點之間建立耦合關系，參考點RP5與吊餅面建立耦合關系，約束參考點RP5的Y和Y轉動方向，箱體通過抱軸方式懸掛在車軸上，因此，約束參考點RP1和RP2的X、Y、Z、X轉動和Y轉動方向。

圖6 齒輪箱箱體模型

對箱體進行模態分析，圖7所示為第1階模態應變響應，表3為前11階模態頻率。

圖7 第1階約束模態響應

模態階次模態頻率/Hz1659.721023.631265.241389.151826.261900.772220.382594.092631.1102813.3112890.1

按照2.1節所述方法選擇適宜的測試候選區，如圖8所示，去掉所有不適合粘貼應變片位置(包括箱蓋、吊桿、銘牌、軸承蓋等附近)。選擇22個測點估計箱體的前11階模態參與因子，按照2.2節所述D優化得到測試候選區內測點最佳位置和方向，圖8給出了由優化得到測點G&1～G&22的優化測點組。

圖8 箱體測試候選區及優化測點組測點

圖9所示為箱體優化測點組測點G&1～G&22前11階模態應變矩陣。

圖9 箱體各測點前11階模態應變矩陣

4.2 箱體模態參與因子識別

高速列車齒輪傳動系統通常采用斜齒輪單級傳動，輪齒嚙合產生軸向力、徑向力和垂向力，這三個方向的力由軸承傳遞給箱體。根據文獻[15]齒輪箱箱體軸承載荷分布關系和文獻[16]中運營工況下齒輪箱箱體載荷值，參考點RP3的縱向載荷幅值、垂向載荷幅值分別2 194、4 227 N，參考點RP4的縱向載荷幅值、垂向載荷幅值、橫向載荷幅值分別2 194、4 227、3 077 N。對RP3和RP4按照上述對應載荷幅值加載動態掃頻載荷，掃頻范圍為500～1 500 Hz，掃頻時間為1 s，運用瞬態動力學仿真模擬，提取測點G&1～G&22應變響應。

實際測試和模擬仿真一般存在誤差，如式(14)所示，對應變測點G&1～G&22理論值加15%的白噪聲幅值誤差進行模態參與因子估計，如圖10所示。

εTest(t)=εth(t)+Δε(t)

(14)

式中：εTest(t)為實際測量應變響應；εth(t)為理論應變響應；Δε(t)為誤差應變。

圖10 測點G&1理論應變響應波形和15%白噪聲幅值誤差波形

根據式(13)，運用最小二乘法估計各階模態參與因子，如圖11所示(GU1為仿真波形，MPF1為識別波形)。表4給出15%應變幅值誤差的各階模態參與因子理論值和反求值擬合相關性及RMS誤差。

圖11 第1階模態參與因子波形及散點圖

模態階次模態參與量/%斜率k擬合優度r2RMS誤差/%180.1600.99980.99961.03211.8000.99990.99593.6646.9500.99960.99812.1831.0101.00040.953711.94100.0700.99860.96809.2850.0041.00120.923622.0760.0031.00100.942418.9570.0021.00000.904224.75801.00420.3822130.2590.0011.00090.97008.801101.01520.0920171.50

由表4可知，第1、2、4階模態參與量之和占總模態的98.91%，模態參與因子的識別波形與理論波形之間RMS誤差較小，第3、10階模態參與量之和占總模態1.08%，模態參與因子的識別信號與理論信號的RMS誤差不超過12%；第5、6、7、8、9和11階模態的模態參與量之和占總模態的0.01%，對結構振動貢獻量較少，即使RMS誤差較大，對結構應變響應的能量貢獻較小，可以忽略。

箱體的第1、2、4階模態可以表達結構的整體振動特征，通過本文提出的方法可以準確識別結構振動的主要模態參與因子，說明運用有限測點測試可以識別箱體整體結構特征。

5 結論

本文提出了一種基于優化結構表面應變測點實現結構振動模態參與因子的時域識別方法，結合模態應變響應矩陣，可以獲得結構整體響應。文中將懸臂梁板作為研究對象，選擇6個應變測點對25～300 Hz的掃頻信號進行前3階模態參與因子時域波形估計，由模態疊加反求的兩驗證測點應力的RMS誤差值較小，說明該方法模態參與因子估計準確度高。

對高速列車齒輪箱箱體進行小齒輪軸承座位置500～1 500 Hz掃頻仿真，選擇22個測點的仿真應變響應并對每個測點加15%的白噪聲幅值誤差，根據模態疊加基本原理，結合模態應變響應，運用最小二乘法估計前11階模態參與因子時域波形，其中，模態參與量總和為98.9%的第1、2、4階模態參與因子估計的RMS誤差最大為3.66%，而其他階模態參與因子雖然誤差較大，但模態參與量較小，對結構振動響應誤差較小，箱體的模態參與因子識別效果好。

參考文獻：

[1]王萌,李強,孫守光.基于應力響應的多頻率激勵載荷識別研究[J].鐵道學報,2015,37(2):27-33.

WANG Meng,LI Qiang,SUN Shouguang.Study of Multi-frequency Exciting Load Identification Based on Dynamic Stress Response[J].Journal of the China Railway Society,2015,37(2):27-33.

[2]姚起杭,姚軍.工程結構的振動疲勞問題[J].應用力學學報,2006,23(1):12-15.

YAO Qihang,YAO Jun.Vibration Fatigue in Engineering Structure[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,2006,23(1):12-15.

[3]ZHU N,SUN S,LI Q,et al.Theoretical Research and Experimental Validation of Elastic Dynamic Load Spectra on Bogie Frame of High-speed Train[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2016,29(3):498-506.

[4]鄒驊,李強,孫守光.基于載荷標定的城際列車轉向架載荷及應力分布特征研究[J].鐵道學報,2016,38(10):27-33.

ZOU Hua,LI Qiang,SUN Shouguang.Study on Intercity Train Load Spectrum Distribution Estimation and Calibration Methods Based on Load Demarcation[J].Journal of the China Railway Society,2016,38(10):27-33.

[5]FU D,WANG W,DONG L.Analysis on the Fatigue Cracks in the Bogie Frame[J].Engineering Failure Analysis,2015,58:307-319.

[6]王文靜,惠曉龍,馬紀軍.高速列車設備艙支架疲勞裂紋機理研究[J].機械工程學報,2015,51(6):142-147.

WANG Wenjing,HUI Xiaolong,MA Jijun.Fatigue Crack Mechanism Research on High Speed Train Equipment Cabin Frame[J].Journal of Mechanical Engineering,2015,51(6):142-147.

[7]廖芳,高衛民,王承,等.基于模態擴展的變速器箱體振動識別及輻射噪聲優化[J].同濟大學學報:自然科學版,2012,40(11):1698-1703.

LIAO Fang,GAO Weimin,WAN Cheng,et al.Vibration Identification of Gearbox Housing by Modal Expansion and Radiation Sound Optimization[J].Journal of Tongji University:Natural Science,2012,40(11):1698-1703.

[8]張方,秦遠田.工程結構動載荷識別方法[M].北京:國防工業出版社,2011.

[9]克雷格.結構動力學[M].常玲,李振邦,譯.北京:人民交通出版社,1996.

[10]RAO S S.Mechanical Vibrations[M].5th ed.New Jersey:Prentice Hall,2010.

[11]CHATTERJEE S,HADI A S.Sensitivity Analysis in Linear Regression[M].New Jersey:John Wiley,1988.

[12]MITCHELL T J.An Algorithm for the Construction of D-optimal Experimental Designs[J].Technometrics,2000,16(2):203-210.

[13]GUPTA D K,DHINGRA A K.Input Load Identification from Optimally Placed Strain Gages Using D-optimal Design and Model Reduction[J].Mechanical Systems & Signal Processing,2013,40(2):556-570.

[14]GALIL Z,KIEFER J.Time and Space-saving Computer Methods,Related to Mitchell’s DETMAX,for Finding D-Optimum Designs[J].Technometrics,1980,22(3):301-313.

[15]黃冠華.高速列車齒輪傳動系統動態特性研究[D].成都:西南交通大學,2015.

[16]STREET T,LONDON E C.GMRT2100:Railway Group Standard-requirements for Rail Vehicle Structures PartⅡ[S].2012.