車輛-軌道系統激振源隨機分析

徐 磊，陳憲麥

(1.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031；2.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

對于車輛-軌道耦合系統(本文簡稱此系統)而言，隨著確定性計算理論的不斷完善[1]，車線工況及激勵形態確定的系統振動分析不再是困擾鐵路工作者的主要問題。此系統本質上是隨機動力系統，激振源的隨機性是其隨機振動的重要原因，國內外對此系統的隨機振動研究尚不充分。一般將隨機激振源取為軌道隨機不平順[1]，文獻[2]另辟蹊徑，取構架蛇形波為此系統的橫向激振源。

總結國內外關于此系統激振源隨機分析的研究，以下幾個問題有待深入探討：

(1)激振源時變性考慮不足。按功率譜(或能量)等效原理反演的軌道隨機不平順或構架蛇形波樣本，均來自此系統某一概率水平或某一時間點下的實測譜(或標準差)，其動力計算結果實為此系統沿線路的空間隨機結果[2-3]。

(2)激振源的時-空隨機模擬方法尚未提出。此系統的激振源既有沿線路空間的分布隨機性，又有隨時間的演變隨機性，所以此系統的激振源具有時-空隨機特征。若不進行此系統的時-空隨機計算，就無法統計振動響應的概率分布，則涉及此系統可靠度的問題均無法妥善解決。

(3)自文獻[2]提出采用構架蛇形波作為此系統橫向激振源，已近30年。未見針對此激振源合理性進行全概率的理論論證，并與車輛-軌道耦合動力學[1]計算結果進行對比驗證的相關文獻。

本文以軌道隨機不平順的時-空隨機性為基礎，闡述其隨機反演方法；結合車輛-軌道耦合動力學模型[1]，分析時-空隨機不平順輸入下此系統構架蛇形波的隨機分布特性及模擬方法；進一步建立車輛-軌道動力計算模型，以構架蛇形波譜的隨機反演樣本為激振源，通過兩種激振源在兩種計算模型下的動力響應，相互驗證此系統兩種激振源的概率轉換關系及合理性。

1 軌道隨機不平順時-空隨機反演方法

軌道不平順的空間隨機表現為其幅值及相位沿線路隨機分布(一般通過功率譜表征)，其時間隨機表現為譜線以不同的概率上、下波動。

圖1為武廣高速鐵路2013年高低不平順實測譜分布。圖1表明，時-空域內的隨機譜線在較廣的范圍內波動，極大極小譜值相差超過3個數量級。而國內外經常使用的平均譜，僅是眾多統計譜線中的一條，其出現概率及激勵形態均十分有限，將平均譜作為激振源計算出的響應并不完備。只有從此匯總譜圖中還原出線路隨機不平順的所有激振形態及其出現概率，才能計算出此系統的所有振動響應(包括最不利極值響應)及其概率分布，并開展可靠性研究。

圖1 軌道高低不平順實測譜

1.1 軌道不平順譜的概率特征

軌道不平順的時-空隨機反演重在遍歷軌道隨機不平順所有激振形態，并賦予其概率性質。計算表明，圖1中的所有譜線均對應確定的概率水平，即在某一確定時-空隨機域內，不同波長的譜密度值與其出現概率一一對應。

文獻[4]研究表明，當取樣足夠長時，對于任何一個分布函數F(x)，上極限分布H(x)必收斂為與原始分布有關的3種形式，并可統一為廣義極值分布[5]，其分布函數為

( 1 )

式中：μ，σ分別為位置參數和尺度參數；ξ為形狀參數；I(x)為示性函數，即

( 2 )

當ξ=0時，式( 1 )為Gumbel分布，即極值Ⅰ型；當ξ>0時，式( 1 )為Frechet分布，即極值Ⅱ型；當ξ<0時，為Weibull分布，即極值Ⅲ型。計算得到式( 1 )的參數后，可根據給定的概率水平H′求解對應的逆函數

( 3 )

文獻[6-7]采用參數估計及假設檢驗方法，計算獲得不同類型不平順不同波長譜值的概率分布參數(μ、σ和ξ值)，并驗證了線路不平順譜服從廣義極值分布。圖2為實測90百分位數譜與廣義極值分布90百分位數譜的比較圖。

圖2 90百分位實測譜與廣義極值分布轉化譜比較

從圖2可知，線路實測譜與概率分布擬合譜能較好吻合，證明了用廣義極值分布進行軌道隨機不平順概率分析是可行的。

1.2 基于譜密度的隨機反演方法

令軌道不平順譜密度值為波長和概率水平(用百分位數表示)的函數，即

PSD(ζ,λ)={Pζi,λj|ζi=ζl～ζu；λj=λl～λu}

( 4 )

式中：P為譜密度值；ζi為波長，ζu、ζl分別為上、下限截止波長；λj為百分位數，λu、λl為上、下限截止百分位數。

式( 4 )包含了不同頻率、不同概率下的譜密度值，而單邊功率譜密度序列G(ω)與軌道不平順反演值之間存在下列關系

( 5 )

從式( 5 )可知，軌道不平順反演值與功率譜密度值存在概率信息的轉換關系，在頻率與百分位數確定的情況下，G(ω)的概率密度是可以確定的。

( 6 )

式中：Pr(·)表示概率密度。

采用諧和函數[8]模擬軌道不平順

( 7 )

從式( 7 )可知，每條隨機不平順序列X(t)的出現概率可由Ai的概率決定，基于式( 6 )，可得

( 8 )

可進一步假定線路譜線均按百分位譜形式排列，形成百分位譜密度矩陣

( 9 )

式( 9 )中矩陣的每一列滿足如下關系

(10)

即每個頻率與其對應譜密度值序列構成獨立的概率子集，在這里若考慮線路譜線的百分位形式，則其不再獨立，可進一步將不同不平順類型的百分位概率密度矩陣構建為一個二維聯合概率密度集，即

(11)

可以獲得任意百分位譜G(λi)的出現概率為

(12)

由G(λi)反演獲得的軌道隨機不平順序列Xλi(t)具有與G(λi)相等的出現概率，這便完成了具有概率特征的隨機不平順反演工作。

根據不同百分位譜線出現的概率，通過超立方抽樣方法[9]隨機提取m個譜線樣本，統計m個樣本軌道不平順幅值的概率密度分布，即獲得每個不平順幅值在整個線路中出現的近似概率。通過試算，可取m范圍為300～500。圖3為m=300時，不平順幅值反演概率密度分布與實測概率密度分布的比較；圖4為不同累計概率下譜線的概率分布。

圖3 高低不平順反演概率分布與實測概率分布的比較

圖4 不同累計概率下譜線的概率分布

由圖3可知，反演獲得的概率密度分布與實測十分接近，證明本文提出的具有概率特征的隨機不平順反演方法是可行的。由圖4可知，概率水平最高的軌道不平順譜線出現在較低百分位數下，此概率分布曲線與廣義極值分布較相似。

其他類型的不平順均可參照上述方法進行時-空隨機模擬。對于不同類型不平順樣本的組合問題，文獻[10]基于華羅庚和王元分圓域思想，提出一種隨機變量空間選點的數論方法，可供參考，這里不再贅述。

2 構架蛇形波譜計算與統計

將上述軌道不平順隨機樣本輸入經過驗證的車輛-軌道耦合動力學模型[1]，進行軌道隨機不平順激振下此系統振動響應的計算。結果表明，計算獲得的構架橫向振動加速度譜仍然可用廣義極值分布進行概率分析，如圖5所示。

圖5 構架橫向蛇形波計算譜和轉換譜比較注：1、2、3、4分別表示10、30、70、90百分位數譜。

從圖5可知，采用廣義極值分布能良好擬合構架橫向蛇形波在不同累計概率水平下的功率譜線。振動主頻主要分布在14～42 Hz范圍內，且存在34 Hz及其倍頻譜峰，這些計算結果與文獻[1]中給出的實測結果吻合良好。

根據構架蛇形波譜，可以依據功率譜等效算法[1]模擬構架加速度響應，采用基于卡爾曼濾波的狀態空間方法[11]估計其位移響應，對位移關于時間一次差分計算對應的速度響應。計算結果表明，此方法效果良好，不會產生時域積分時的漂移現象，如圖6所示。

圖6 模擬速度時程與計算速度時程對比

從圖6可知，按上述模擬思路，模擬結果與實際計算結果較一致，模擬方法可行。

圖7為99百分位數構架蛇形波譜的振動響應模擬時程。

(a)構架橫向加速度

(b)構架橫向速度

(c)構架橫向位移圖7 構架蛇形波99百分位數譜的振動響應模擬時程

將圖7所示模擬結果與實際動力計算結果最大值進行比較，發現此模擬值與計算值基本吻合，如模擬和計算位移最大值分別為0.012 7和0.012 4 m。

3 動力計算模型

3.1 模型簡介

以軌道不平順為激振源的車輛-軌道耦合動力學模型在文獻[1]中有詳細介紹，不再論述。本文介紹以軌道垂向不平順和構架橫向蛇形波為此系統垂、橫向激振源的車輛-軌道動力計算模型。

不考慮風、地震等外部激勵，此系統是自激系統，其空間振動方程為

(13)

基于彈性系統動力學總勢能不變值原理[12]和形成矩陣的“對號入座”法則[2]，將此系統視為一個整體系統，輪軌界面不是此系統的邊界條件，而是作為系統的內部環境考慮。除車輛自重外，此系統荷載列陣來自振動參數的已知響應，輪軌相互作用力已等效計入系統能量位移變分后的動力矩陣之中，無需顯式計算。

無論采用何種動力計算模型，輪軌接觸幾何關系均無法回避。根據文獻[13-14]，在本文計算模型中考慮車輪爬軌和跳軌，將輪軌位移銜接條件(輪軌位移=鋼軌位移+軌道不平順+輪軌相對位移)作為輪軌接觸幾何關系的基本條件。在計算中，輪軌相對位移通過能量變分導入系統動力矩陣之中，無需計算。

采用文獻[15]的車輛模型，但考慮輪對的搖頭振動。采用文獻[16]的板式軌道結構模型。用Wilson-θ法求解式(13)，積分步長為0.005 s。

3.2 模型驗證

本文將動力計算模型的驗證分成兩個部分：

(1)與車輛-軌道耦合動力學模型[1]的計算結果進行對比。

(2)基于列車脫軌能量隨機分析理論[17]，計算車輛-板式軌道系統的極限抗力做功值，與文獻[16]的計算結果進行對比。

3.2.1 驗證一

采用相同的計算條件，以高速無砟軌道譜90百分位數譜為車輛-軌道耦合動力學模型[1]的激勵輸入，計算此系統振動響應(包括構架蛇形波)。將構架蛇形波及軌道隨機不平順輸入本文模型，再次計算此系統的振動響應，表1為計算響應最大值的對比。

表1 計算響應最大值對比

由表1可知，對于各項動力指標的計算最大響應，本文所構建的動力計算模型與車輛-軌道耦合動力學模型的計算結果基本接近，從而驗證了本文計算模型的可靠性，也側面驗證了不同激振源在不同動力模型中相互轉換計算的可行性。

3.2.2 驗證二

根據列車脫軌能量隨機分析方法[16]，取車輪抬升量27 mm為脫軌幾何限值。采用試算法，計算出此系統時速350 km的脫軌極限抗力做功σc=6.12 m/s2，略高于文獻[16]的計算結果，因為本文所取的車輪抬升量限值大于文獻[16]的25 mm。圖8為部分指標的脫軌計算時程。

由圖8可知，輪對爬軌一般伴隨較強烈的車輪減載現象(圖8(c))，由此車輛系統橫向搖擺劇烈、車輛系統側向傾覆所致；同時，車輪脫軌必然伴隨輪緣撞擊鋼軌，引發輪軌撞擊，對于不同側輪軌，此輪緣撞擊力方向相反；在輪軌反復撞擊過程中，單側輪對的脫軌系數一般呈現非對稱性(圖8(d))。

(a)車體橫向加速度

(b)第四輪對左輪抬升量

(c)第四輪對左輪輪重減載率

(d)第四輪對左輪脫軌系數圖8 車輛脫軌動力指標計算時程曲線

4 激振源的對比驗證

本文開展激振源的時-空隨機分析工作，重新審視將構架蛇形波作為系統激振源的合理性，目的在于細化激振源的隨機振動分析，對不同激振源在動力分析中的作用展開細致研究。在以上工作基礎上，可以通過兩種激勵源下的系統動力響應概率極值分布進行兩種激振源可行性對比驗證。計算流程如下：

(1)以本文反演出的軌道不平順時-空隨機樣本(第1章)為激勵輸入，采用車輛-軌道耦合動力學模型[1]計算動力響應指標在不同累計概率下的振動響應極值。

(2)提取不同累計概率下的構架蛇形波百分位數譜，模擬出對應的振動響應時程(第2章)，此為橫向激振源；垂向激勵則取軌道垂向不平順百分位數譜。采用本文建立的動力模型(第3章)，再次計算動力響應指標在不同累計概率下的振動響應極值。

(3)將(1)和(2)中計算響應的累計概率-響應極值分布對比驗證。

篇幅所限，僅給出車體橫向加速度、輪軌橫向力及鋼軌橫向位移的極值分布對比，如圖9～圖11所示。

圖9 車體橫向加速度累計概率-響應極值分布

圖10 鋼軌橫向位移累計概率-響應極值分布

圖11 輪軌橫向力累計概率-響應極值分布

由圖9～圖11可知，通過構建不同的動力計算模型，發現在不同的概率水平下，兩種激振源下此系統理論計算結果較吻合。此吻合是指此系統響應的全概率吻合，該計算結果說明：

(1)此系統激振源與其振動響應之間存在概率轉換關系，例如軌道隨機不平順與構架蛇形響應存在的概率轉換關系，此關系可通過車輛-軌道耦合動力學[1]理論計算和統計分析獲得。

(2)將構架蛇形波作為橫向激振源計算系統最大響應是可行的，圖9～圖11的計算結果證明了這一點。關鍵是用于動力計算的理論模型是否合理描述了該系統的物理、力學關系。

5 結論

(1)簡述軌道不平順的時-空隨機特性，并給出了相應的時-空隨機模擬方法。以往的研究多對線路的單一統計譜線進行動力計算與分析，未考慮線路譜隨時間和空間的隨機波動性。隨著鐵路大系統動力學非確定性計算工作的不斷深入，應該深入考察此隨機性，為時-空隨機激振下的車輛-軌道系統動力演化特性分析奠定基礎。

(2)本文較多從理論層面探討軌道隨機不平順時-空隨機樣本的概率計算及反演方法。大量基礎檢測數據和資料積累、此系統基礎部件性能演化規律及完善的車輛-軌道耦合動力模型等研究工作的展開，是此方法應用于工程實際的關鍵。

(3)不同計算理論的對比證實了將構架蛇形波作為激振源具有合理性。實際上，若將系統動力學的基本思想拓展至車輛-軌道耦合系統之中，即系統內部各組成要素的動力反應不是獨立的，而是具有互為因果的反饋特性，便不難理解其合理性。若研究者掌握了與此激振源相符的動力模型構造原理及方法，便能獲得與實際吻合的計算結果。

(4)采用激振源時-空隨機分析方法，利用車輛-軌道動力計算模型，可以計算出不同動力指標在不同概率水平下的響應，為此系統可靠性計算奠定了基礎。

參考文獻：

[1]翟婉明.車輛-軌道耦合動力學[M]. 4版. 北京：科學出版社，2015.

[2]曾慶元，郭向榮. 列車橋梁時變系統振動分析理論與應用[M].北京：中國鐵道出版社，1999.

[3]陳果，翟婉明，左洪福. 車輛-軌道耦合系統隨機振動響應特性分析[J]. 交通運輸工程學報，2001，1(1)：13-16.

CHEN Guo, ZHAI Wanming, ZUO Hongfu. Analysis of the Random Vibration Responses Characteristics of the Vehicle-track Coupling System [J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering, 2001, 1(1):13-16.

[4]FISHER R A, TIPPETT L H C. Limiting Forms of the Frequency Distribution of the Largest or Smallest Members of a Sample[J]. Mathematical Procceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1928, 24(2): 186-193.

[5]COLES S. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values [M]. New York: Springer Verlag, 2001: 36-78.

[6]楊謀存，聶宏.三參數Weibull分布參數的極大似然估計數值解法[J].南京航空航天大學學報，2007，39(1)：22-25.

YANG Moucun, NIE Hong. Advanced Algorithm for Maximum Likelihood Estimation of Three Parameter Weibull Distribution [J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2007, 39(1): 22-25.

[7]王梓坤.概率論基礎及其應用[M]. 3版. 北京：北京師范大學出版社，2007：283-284.

[8]陳建兵，李杰.隨機過程的隨機諧和函數表達[J].力學學報，2011，43(3)：505-513.

CHEN Jianbing, LI Jie. Stochastic Harmonic Function and Spectral Representations [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(3): 505-513.

[9]MCKAY M D, BECKMAN R J, CONOVER W J. Comparison of Three Methods for Selecting Values of Input Variables in the Analysis of Output from a Computer Code [J]. Technometrics, 1979, 21(2): 239-245.

[10]陳建兵，李杰.結構隨機響應概率密度演化分析的數論選點法[J].力學學報，2006，38(1)：134-140.

CHEN Jianbing, LI Jie. Strategy of Selecting Points via Number Theoretical Method in Probability Density Evolution Analysis of Stochastic Response of Structures [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2006, 38(1): 134-140.

[11]LEE J S, CHOI S, KIM S S, et al. Waveband Analysis of Track Irregularities in High-speed Railway from On-board Acceleration Measurement [J]. Journal of Solid Mechanics and Materials Engineering, 2012, 6(6): 750-759.

[12]ZENG Q Y, LOU P, XIANG J. The Principle of Total Potential Energy with Stationary Value in Elastic System Dynamics and Its Application to the Analysis of Vibration and Dynamic Stability [J]. Journal of Huazhong University of Science & Technology:Urban Science Edition, 2002, 19(1): 7-15.

[13]陳果，翟婉明，左洪福.新型輪軌空間動態耦合模型[J].

振動工程學報，2001，14(4):23-29.

CHEN Guo, ZHAI Wanming, ZUO Hongfu. The New Wheel/rail 3-dimensionally Dynamically Coupling Model [J]. Journal of Vibration Engineering, 2001, 14(4):23-29.

[14]向俊，曾慶元. 直線貨物列車脫軌過程計算[J]. 鐵道學報，2002，24(2)：104-108.

XIANG Jun, ZENG Qingyuan. Simulation of the Derailment Courses of Freight Train on Tangent Track [J]. Journal of the China Railway Society, 2002, 24(2): 104-108.

[15]李德建，曾慶元.列車-直線軌道空間耦合時變系統振動分析[J]. 鐵道學報，1997，19(1)：101-107.

LI Dejian, ZENG Qingyuan. Dynamic Analysis of Train-tangent-track Space-coupling Time-varying System[J]. Journal of the China Railway Society, 1997, 19(1): 101-107.

[16]赫丹. 客運專線無碴軌道高速列車走行安全性分析理論與應用研究[D]. 長沙：中南大學，2009:7.

[17]曾慶元，向俊，周智輝，等.列車脫軌分析理論與應用[M]. 長沙：中南大學出版社，1970.