基礎沉降計算的數值積分算法

2018-05-04 02:25:30許德勝

城市道橋與防洪 2018年4期

關鍵詞：方法

許德勝

(上海同豪土木工程咨詢有限公司，上海市 200092)

0 引言

基礎在承受上部結構荷載后會發生沉降，基礎的沉降必然會引起上部結構下沉，從而影響結構的正常使用。基礎沉降對超靜定結構還會引起結構的附加內力，影響結構的安全性[1]。

基礎沉降的計算方法主要有以下三類：彈性力學方法、分層總和法和地基規范法[2,3]。彈性力學方法基于均質半空間假設的Boussinesq位移解進行計算,由于實際地基為非均質成層土，導致該方法得到的基礎沉降量比實際沉降量偏大。分層總和法把地基土視為線性變形體，假定外載作用下的地基變形僅發生在有限厚度的壓縮層，通過將壓縮層分層并求解各層附加應力，利用土的側限壓縮曲線分別求得各層的壓縮量，并將分層的壓縮量求和計算基礎的最終沉降。分層總和法通常可得到比彈性力學方法更接近實際的解答，但為保證計算精度，對土層的分層厚度有嚴格要求，計算工作量較大[4]。地基規范法是目前《建筑地基基礎規范》推薦的計算方法[5]，是對分層總和法的改進和簡化，通過采用平均附加應力系數計算基礎沉降量，該方法與實際情況吻合較好。現行規范給出了矩形基礎的平均附加應力系數表格，對任意形狀基礎的沉降計算需采用角點法，簡化為相應矩形基礎才能計算，對基礎荷載的分布情況在使用上也存在限制。

本文基于Boussinesq應力解答，通過將基礎所在區域做網格離散，利用二維高斯數值積分計算各土層的附加應力。其后，沿土層厚度方向對所得附加應力做一維高斯數值積分，可直接計算基礎沉降量，無需平均附加應力系數的計算。文中方法本質上為規范基礎沉降計算方法的數值實現，但該算法可適用于任意的基礎形式，可精確考慮任意荷載分布，更便于計算機程序的實現。

1 土層附加應力計算

圖1所示彈性半空間表面作用豎向集中力P時，半空間內任意點處豎向附加應力的彈性力學解答可由Boussinesq解答得到[3]，

圖1 集中力P作用下的彈性半空間中任意點M

對任意分布荷載p（x，y），在任意點M處豎向附加應力可通過積分表達為：

其中，Ω為荷載的分布區域，若要考慮相鄰基礎或臺背路基填土等其他荷載的影響，則這些區域也應計入該積分域。

本文采用高斯數值積分方法計算（2）式表達的附加應力。為此，將求解域Ω離散為若干四邊形單元，三角形單元可視為具有共節點的四邊形單元的退化形式，見圖2。若存在相鄰基礎或其他臨近荷載，則相鄰基礎或附加荷載所在區域同樣要做網格劃分。網格離散后引入有限單元法中平面四節點等參元的等參變換[6,7]。

其中，Nk=（1+ζkζ）（1+ηkη），k=1～4 為四節點等參單元的插值形函數，對單元域內任意點的荷載集度p（x,y）可采用相同的插值函數進行插值。

此時，任意空間點M處的附加應力可按式（4）進行計算：

式中：ne為劃分的單元數；nx和ny為單元內沿x向和y向布置的高斯點數；wj和wk為求積系數；f（ξj,ηk）為式（2）中在積分點位置的被積函數；J1為式（3）坐標變換所定義的雅可比矩陣。利用式（4）即可計算得到任意分布的基底壓力p（x,y）作用下，在不同位置處的附加應力值。

2 基礎沉降計算

《建筑地基基礎設計規范》給出的基礎沉降量計算公式為[5]：

式中：s為地基最終沉降量;ψs為沉降計算經驗系數，可由當量壓縮模量確定；n為地基沉降計算深度范圍內的土層數；p0為準永久組合時的基底壓力分布；Esi為第i層土壓縮模量，可由土的壓縮曲線得到；zi和zi-1為基礎底面至第i層土和第i-1層土底面的距離；αi和αi-1為基礎底面至第i層土和第i-1層土底面范圍內的平均附加應力系數。

根據平均附加應力系數的定義[3,8]，式（5）可表達為下述積分形式：

對任意給定的基礎沉降計算點S（x,y），其下任意深度z處的附加應力σz（z）可由式（4）進行計算，而任意深度z處的壓縮模量Es（z）可直接由土的側限壓縮曲線得到，為準確計算積分點位置的壓縮模量，本文采用了文獻[9]中的非線性擬合方法。

為計算式（6），引入一維等參變換[6,7]，

其中，插值形函數 Nj=（1+ζjζ）/2；不難看出，該插值形函數與兩節點桿單元的形函數完全相同。式（6）的積分同樣可用高斯積分表達為：

其中，J2為式（7）坐標變換定義的的雅可比矩陣。需要指出，上式中沉降計算經驗系數ψs需采用壓縮模量當量值查規范表格得到，而當量壓縮模量的計算表達式同樣可通過高斯積分計算，過程與式（8）的推導類似，不再贅述。

3 程序實現流程

為考核本文計算方法的有效性，按圖3所示流程編制了相應的計算程序。需要指出，在深度方向僅設置一個高斯積分點時，本文方法可直接退化為規范給出的計算方法，即使對厚度比較大的土層也無需對土層進行細分，只需按照土層的天然分層性，沿深度方向適當提高積分點數即可獲得滿意的計算精度。本文在分析時在平面和深度方向均采用了兩點高斯積分進行計算。

4 算例

基礎沉降量的計算依賴于其下臥層附加應力的確定，附加應力的計算能否適應任意的基礎形狀以及任意分布的荷載情況是本文基礎沉降算法具有廣泛適應性的前提。為考察本文方法的適用性及計算效率，選取相關文獻中的若干算例[2,3]進行計算，并與參考解進行比較。

4.1 圓形基礎附加應力分析

考察半徑為2 m的圓形基礎，其上作用中心荷載Q=150 kN，計算基礎邊緣下的豎向附加應力分布。采用本文方法計算時共劃分了360個單元，表1給出了采用不同高斯積分點數時附加應力σz的分布。本例用于考察本文方法對任意形狀基礎的適用性以及算法的收斂性。

圖3 基礎沉降計算流程

表1 圓形基礎邊緣點附加應力分布 kPa

4.2 三角形分布荷載下的附加應力分析

圖4所示尺寸為5 m×3 m的矩形基礎上作用三角形分布荷載，荷載最大值p=100 kPa，計算在矩形面積內o點下深度z=3 m處M點的豎向應力σz值。本例用于考察本文算法對任意分布荷載的適用性。

圖4 三角形分布荷載作用下的矩形基礎

為計算M點的附加應力，文獻[2]中進行了兩次疊加計算：第一次是荷載作用面積的疊加，將基礎轉換為4個矩形計算域；第二次是荷載分布圖形的疊加，將三角分布荷載轉換為1個均勻分布的荷載和2個三角形荷載，計算過程相當繁瑣，且不便于編制程序利用計算機求解。本文計算時，僅需將基礎離散為16個三角形單元即可。計算結果見表2，可見本文算法具有較高的計算精度。