變質量-負剛度動力吸振器試驗研究

劉 剛 鄭大勝 丁志雨 姚紅良

東北大學機械工程與自動化學院，沈陽，110819

0 引言

動力吸振是振動抑制的典型方法，利用動力吸振器可以“吸收”主系統的振動，其力學原理是通過相對運動產生慣性力作用在主系統上，從而抑制主系統振動。傳統的動力吸振器有效頻率范圍較窄，不適合于激勵頻率經常變化的工況。為克服這一缺點，研究者研發了各種頻率可調的動力吸振器[1]。

改變吸振器的連接剛度是改變吸振器固有頻率的主要方法，一般采用智能材料或者可變結構來實現，例如文獻[2-3]采用磁流變彈性體、文獻[4]采用磁流變液、文獻[5]通過改變連接梁截面矩來調節剛度等。改變吸振器的質量是另外一種主要方法，人們研究了各種變質量吸振器。文獻[6]針對兩自由度系統提出了慣性可變的動力吸振器；文獻[7]提出了變質量的顆粒阻尼吸振器，并研究了其寬頻減振性能；文獻[8]通過微型泵控制懸臂梁型吸振器的質量，能夠使吸振器前兩階固有頻率的可調范圍達到38%和35%。

頻率可調動力吸振器設計的一個難點是低頻段的頻率調節性能的保證。采用剛度改變的方式，一般需要較低的連接剛度，這可能導致吸振器在重力作用下變形較大[9]；采用質量改變的方式，需要的質量很大，這樣又增加了吸振器的體積。為此，本文提出在變質量動力吸振器的基礎上增加負剛度機構，形成變質量-負剛度動力吸振器，從而可以使吸振器具有較好的低頻有效性。

1 負剛度變質量動力吸振器原理

1.1 傳統變質量動力吸振器

傳統的變質量動力吸振器動力學模型如圖1所示。列振動微分方程如下：

(1)

式中，m1、m2分別為主系統和吸振器的質量；m′為吸振器的可調質量；k1、k2分別為主系統和吸振器的剛度；x1、x2分別為主系統和吸振器的振動位移；F1、ω分別為外激勵的幅值和頻率。

圖1 傳統變質量動力吸振器Fig.1 Traditional variable mass dynamic vibration absorber

當阻尼可以忽略時，由式(1)可知，當

(2)

時，主系統的振幅為0。因此，在激勵頻率發生變化時，只要相應地改變可調質量m′使其滿足式(2)，即可達到最佳抑振效果。但是，當激勵頻率較低時，需要很大的可調質量才能達到效果，這會帶來成本問題、空間安放問題等很多問題。

1.2 變質量-負剛度動力吸振器

為解決上述問題，本文提出在變質量吸振器的基礎上增加負剛度機構，使之成為變質量-負剛度動力吸振器。具體方法是在圖1的基礎上增加負剛度，形成圖2所示系統，其中k3是增加的負剛度，c3是增加的阻尼。

圖2 變質量-負剛度動力吸振器動力學模型Fig.2 Dynamic model of the variable mass negative stiffness vibration absorber

圖2所示系統的振動微分方程如下：

(3)

當阻尼可以忽略時，由式(3)可得主系統和吸振器的振幅分別為

(4)

因此，當k2+k3-(m2+m′)ω2=0時，有

(5)

很明顯，當k3為負值時，ω可以取很小值。

2 懸臂梁式變質量-負剛度吸振器結構及負剛度實現方法

懸臂梁式變質量-負剛度吸振器具體的結構如圖3所示，由剛度為k1的懸臂梁和質量塊m1組成主系統，由剛度為k2的懸臂梁和質量塊m2、剛度為k3的負剛度機構組成吸振器。

圖3 變質量-負剛度動力吸振器Fig.3 The variable mass negative stiffness vibration absorber

負剛度機構由矩形永久磁鐵產生，其結構如圖4所示，詳細原理見文獻[9]。這里僅做簡單介紹：該結構中外磁鐵與地相連，內磁鐵與吸振器相連，內外磁鐵磁極相反，因此內外磁鐵之間形成相斥力，該相斥力可以形成負剛度，而剛度的大小與磁鐵距離h有關系。該負剛度具有一定的非線性，可以用多項式擬合來描述其非線性關系：

k3=km1+km2x2

(6)

式中，km1為線性剛度系數；km2為非線性剛度系數。

圖4 負剛度機構原理圖Fig.4 Structure of the magnetic spring with negative stiffness

當取內外磁鐵的尺寸為20 mm×40 mm×5 mm，選用NdFeB永久磁鐵(剩余磁感應強度Br=1.34 T)組成負剛度機構，且h為20 mm時，km1=-2.397×103N/m，km2=0.024 N/mm3。可以看出km2很小，因此可以僅考慮線性剛度km1，即k3=km1。

3 數值仿真分析

3.1 參數取值

為了分析變質量、負剛度動力吸振器減振性能，對圖2所示系統進行動力學仿真，所選取的參數如表1所示。

表1 仿真參數

3.2 仿真結果

通過MATLAB數值仿真來求解主系統的振動響應，采用增量諧波平衡法分析主系統的穩態響應。先對無負剛度情況進行分析，吸振器可變質量取不同值，即m′為0.12 kg、0.22 kg、0.32 kg時，主系統的振動頻率響應如圖5a所示。再對有負剛度情況進行分析，當m′為0.12 kg、0.22 kg、0.32 kg時，主系統的振動頻率響應如圖5b所示。

(a)未加負剛度

(b)加負剛度圖5 主系統振動頻率響應Fig.5 Frequency response of primary vibration system

由圖5可以看出，增大吸振器可調質量m′，主系統的前兩階固有頻率向左移動，即固有頻率變小，減振效果明顯。加了負剛度后，主系統的前兩階固有頻率向左移動更明顯，即減振效果更好。

4 試驗

4.1 試驗臺結構及控制系統簡介

為了研究變質量-負剛度動力吸振器的實際減振性能，搭建了試驗系統如圖6所示。試驗系統由激振器、加速度傳感器、主系統和吸振器四部分組成。其中激振器采用B&K公司生產的電磁激振器，通過信號發生器、功率放大器進行驅動；由剛度為k1的懸臂梁和質量塊m1組成主系統，由剛度為k2的懸臂梁、質量塊m2、剛度為k3的負剛度機構組成吸振器。一個加速度傳感器置于主懸臂梁上，用來采集主系統振動信號。另一個加速度傳感器用來采集吸振器懸臂梁的振動信號。

圖6 變質量-負剛度吸振器試驗臺Fig.6 The variable mass negative stiffness absorber test bed

這里用水作為變質量介質，通過水泵向玻璃瓶中抽水來改變玻璃瓶中的水量，從而改變吸振器質量。

水泵的PID控制部分主要由PC機、CompactRIO系列控制卡、水泵、變質量-負剛度機構等組成。其中PC機用于顯示和存儲數據；CompactRIO系列控制卡通過程序編寫實現數據采集、PID控制過程運算并且輸出信號控制水泵；水泵通過軟橡膠管向固定在懸臂梁上的玻璃瓶里面增減水，從而控制懸臂梁的振幅。

4.2 變質量-負剛度試驗驗證

首先，進行激振頻率為20～160 Hz的掃頻試驗，測得吸振器玻璃瓶空、玻璃瓶加半瓶水和玻璃瓶加滿瓶水三種狀態下的幅頻特性曲線，如圖7、圖8所示。從圖中可以看出,隨著水的質量的增大，該系統的前兩階固有頻率向左移動，即固有頻率變小，減振效果明顯，驗證了通過調整吸振器質量以跟蹤外界激振力頻率的方法可以達到吸振器寬頻帶減振的目的。

圖7 未加負剛度的主系統頻率傳遞函數Fig.7 Acceleration vibration transmission of primary vibration system without negative stiffness

圖8 未加負剛度的吸振器頻率傳遞函數Fig.8 Acceleration vibration transmission of absorber vibration system without negative stiffness

圖9 加負剛度的主系統頻率傳遞函數Fig.9 Acceleration vibration transmission of primary vibration system with negative stiffness

圖10 加負剛度的吸振器頻率傳遞函數Fig.10 Acceleration vibration transmission of absorber vibration system with negative stiffness

在加了負剛度機構的狀態下，進行激振頻率為20～160 Hz的掃頻試驗，測得吸振器玻璃瓶空、玻璃瓶加半瓶水和玻璃瓶加滿瓶水三種狀態下的幅頻特性曲線，如圖9、圖10所示。從圖中可以看出，在加了負剛度機構之后，該系統的前兩階固有頻率向左移動更明顯，即固有頻率變小更明顯，減振效果非常明顯。驗證了負剛度機構可以使吸振器具有較好的低頻有效性。

將試驗得到的主系統頻率響應函數與前文通過MATLAB數值仿真得到的主系統的振動響應函數進行對比可知，該試驗結果與MATLAB仿真結果的趨勢完全相同，從而在仿真和試驗兩個方面都驗證了變質量-負剛度動力吸振器能夠在更寬的頻帶上明顯減小主系統振動。

為了更加直觀地看出吸振的實際效果，試驗測試了變質量-負剛度動力吸振系統在頻率為50 Hz下的時域信號，如圖11、圖12所示。未加負剛度時，空瓶狀態下主系統振幅高達450 μm，加滿水之后主系統振幅降低至100 μm。安裝負剛度機構后，空瓶狀態下主系統振幅約為220 μm，加滿水之后主系統振幅降低至50 μm，驗證了變質量-負剛度動力吸振器具有非常好的減振效果。

圖11 未加負剛度主系統的時域圖Fig.11 Time response of primary vibration system without negative stiffness

圖12 加負剛度主系統的時域圖Fig.11 Time response of primary vibration system with negative stiffness

最后，進行了PID控制系統下的連續控制。本系統的被控量為水的質量，結合被控對象的特點選取液位控制。液位控制的目的就是為了使得水瓶中的水位保持在期望的位置，當懸臂梁振幅大于期望值時，水泵打開往水瓶中抽水，通過控制水的質量來控制懸臂梁的振幅。調整PID控制系統的參數可以使懸臂梁系統實現反共振狀態，反共振狀態就是控制效果最佳的狀態。以動力吸振系統頻率為50 Hz為例,來驗證PID控制算法對變質量-負剛度吸振系統在40～60 Hz之間任意頻率下的吸振效果。本文采用一種經驗法來調整PID控制系統的參數，先根據運行經驗確定一組調節器參數，并將系統投入閉環運行，然后人為地加入階躍擾動，觀察被調量輸出的階躍響應曲線。這樣反復試驗，當PID參數kp=10,ki=0.8,kd=0時，可以得到較好的控制結果。結果如圖13、圖14所示。

圖13 程序界面Fig.13 Program interface

圖14 PID控制過程幅值變化圖Fig.14 Amplitude changes in PID control process

由圖13、圖14可見，在PID控制之前，主系統懸臂梁的相對幅值高達5.75 mm。隨著控制過程的進行，懸臂梁的幅值逐漸減小。當幅值減小到2 mm時，相對幅值為0，此時振動達到最小值并穩定在該處,獲得了較好的振動抑制結果。因此，可以通過PID連續控制使變質量-負剛度吸振系統自動調整至反共振狀態，達到最佳振動抑制效果。

4.3 結果分析

為了更明顯地看出變質量-負剛度動力吸振器的減振性能，對主系統二階固有頻率進行了分析，結果如表2所示。從表2中可以看出，在滿瓶水情況下，未加負剛度時，主系統二階固有頻率為110 Hz，加了負剛度時，主系統的二階固有頻率降低到91 Hz,主系統固有頻率最大可以提前17.3%。通過引入負剛度，可以獲得頻帶大幅拓寬、減振效果非常好的動力吸振器。

表2 負剛度對固有頻率的改變分析

5 結論

本文提出了一種變質量與負剛度相結合的新型動力吸振器,對該動力吸振器模型及原理進行了理論分析，搭建了試驗臺和控制系統，并對吸振器的效果進行了試驗驗證，得到以下結論：①設計的吸振器有效，可以通過調整水的質量來使吸振器處于反共振狀態；②試驗表明，負剛度能夠在更寬的頻帶上明顯減小主系統振動，可使主系統固有頻率提前17.3%；③通過PID控制可以使吸振器自動調整至反共振狀態，達到最佳振動抑制效果。

參考文獻：

[1] KELA L, VAHAOJA P. Recent Studies of Adaptive Tuned Vibration Absorbers/Neutralizers [J]. Appl. Mech. Rev., 2009, 62,0608016.

[2] LIAO G J, GONG X L, KANG C J, et al. The Design of an Active-adaptive Tuned Vibration Absorber Based on Magnetorheological Elastomer and Its Vibration Attenuation Performance [J]. Smart Materials & Structures, 2011, 20(7)： 145-151.

[3] KOMATSUZAKI T, IWATA Y. Design of a Real-time Adaptively Tuned Dynamic Vibration Absorber with a Variable Stiffness Property Using Magnetorheological Elastomer [J]. Shock Vibration, 2015, 2015: 1-11.

[4] HIRUNYAPRUK C, BRENNAN M J, MACE B R,et al. A Tunable Magneto-rheological Fluid-filled Beam-like Vibration Absorber [J]. Smart Materials & Structures, 2010, 19(5): 055020.

[5] GHORBANI-TANHA A K, RAHIMIAN M, NOORZAD A. A Novel Semiactive Variable Stiffness Device and Its Application in a New Semiactive Tuned Vibration Absorber [J]. Journal of Engineering Mechanics， ASCE, 2011, 137(6): 390-399.

[6] MEGAHED S, ABOUUBAKR A K. Vibration Control of Two Degrees of Freedom System Using Variable Inertia Vibration Absorbers: Modeling and Simulation [J]. J. Sound Vibration, 2010, 329(23): 4841-4865.

[7] 趙艷青, 夏晶晶, 高強. 變質量顆粒阻尼吸振器及其寬頻減振性能 [J]. 中國機械工程, 2015,26(19): 2571-2574.

ZHAO Yanqing, XIA Jingjing, GAO Qiang.VMTPD and Its Performance of Wide Band Vibration Reduction[J].China Mechanical Engineering, 2015,26(19): 2571-2574.

[8] LEE C, CHEN C. Experimental Application of a Vibration Absorber in Structural Vibration Reduction Using Tunable Fluid Mass Driven by Micropump [J]. J. Sound Vibration, 2015, 348(5/6): 31-40.

[9] WU W, CHEN X, SHAN Y. Analysis and Experiment of a Vibration Isolator Using a Novel Magnetic Spring with Negative Stiffness[J].J. Sound Vibration, 2014, 333(13): 2958-2970.