灰色系統理論在用水指標預測中的應用

李驍翔

(上海市供水管理處，上海 200081)

1 國內外研究現狀

水是自然資源的重要組成部分，也是社會經濟發展的重要物質基礎。建立科學有效的水務統計方法是政府對水資源進行綜合管理的重要手段，可以為政府宏觀決策提供科學、準確的水資源基礎信息，可以建立現代水務統計體系，進而促進并服務于綠色國民經濟核算體系的建立[1-2]。

進行用水量指標預測分析是水務統計的重要工作內容。用水量指標預測的常用方法有分類用水量指標法和綜合用水量指標法[3]。通常在用水量指標的預測分析中，首先要對現狀各類用水量指標值進行測算，然后根據城市性質、發展目標和規模、經濟社會發展愿景，考慮城市水資源的實際情況，綜合確定各類用水量指標[4]。因此，用水量指標與城市經濟水平、產業結構及各類用水特點等因素息息相關[5-7]。但目前，對需水管理的認識落后于實際需要，需水預測往往偏離實際，使水資源規劃失去了對需水管理的指導作用，甚至帶來負面影響。

1.1 用水量指標預測研究現狀

用水量指標反映了用水效率和效益的高低。根據用水類別的不同，分別有反映工業用水、農業用水、生活用水及綜合用水效率和效益的指標。對于工業用水，常用指標有萬元GDP用水量、萬元工業增加值用水量、工業用水重復利用率等；對于農業用水，常用指標有農田灌溉畝均用水量、農田灌溉水有效利用系數等；對于生活用水，常用指標有人均日綜合生活用水量、人均日居民生活用水量等。

用水量指標是水務統計中極為復雜的一系列變量，具有周期性與隨機性，與社會、經濟、政治以及自然環境有著千絲萬縷的聯系。一方面，水務統計必須根據一定的社會與自然規律對用水量指標進行適度的調整；另一方面，用水量指標由于受到各種因素的影響，自然而然地會發生一些不規則的波動，從而對水務管理工作帶來困難。因此，在對用水量指標進行預測前，應該充分考慮其變化特征及其影響因素，然后選擇最為適合的預測方式，建立最為適合的預測模型。近年來，國內外學者在用水量指標、水量預測等方面的研究屢見不鮮，目前國內外應用較為廣泛的預測方法主要有人均綜合指標法、單位用地指標法、分類加和法、年遞增率法以及灰色模型關聯分析法等[8-10]。

國內外學者的研究表明，只有充分了解和掌握用水量指標變化的特點及規律，才能建立起符合實際情況的預測模型，從而提高預測精度。

1.2 灰色系統理論研究現狀

灰色系統理論是基于信息的非完全性建立的一套全新的概念和方法，其研究目的在于根據已知的信息建立數學模型，從而預測系統的未知信息。該理論認為系統內部特性確知的為白色系統，內部特性未知的為黑色系統，內部特性部分確知、部分未知的為灰色系統。經過30多年的發展，灰色系統理論已基本建立起一門新興學科的結構體系，其主要內容包括以灰色代數系統、灰色方程、灰色矩陣等為基礎的理論體系，以灰色序列生成為基礎的方法體系，以灰色關聯空間為依托的分析體系，以灰色模型(GM)為核心的模型體系，以系統分析、評估、建模、預測、決策、控制、優化為主體的技術體系。該理論已經廣泛應用于農業、經濟、醫療、生態、水利、氣象、地質、軍事、文化、交通、管理、工業控制等幾十個領域[11]。

灰色系統理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定型系統為研究對象。

(1)用灰色數學來處理不確定量，使之量化

在數學發展史上，最早研究的是確定型的微分方程，即在拉普拉斯決定論框架內的數學。他認為一旦有了描寫事物的微分方程及初值，就能確切知道事物任何時候的運動。隨后發展了概率論與數理統計，用隨機變量和隨機過程來研究事物的狀態和運動。模糊數學則研究沒有清晰界限的事物，如兒童和少年之間沒有確定的年齡界限加以截然劃分等，它通過隸屬函數來使模糊概念量化，因此能用模糊數學來描述，如語言、不精確推理以及若干人文科學。灰色系統理論則認為不確定量是灰數，用灰色數學來處理不確定量，同樣能使不確定量予以量化。

(2)充分利用已知信息，尋求系統的運動規律

研究灰色系統的關鍵是如何使灰色系統白化、模型化、優化。灰色系統視不確定量為灰色量。提出了灰色系統建模的具體數學方法，它能利用時間序列來確定微分方程的參數。灰色預測不是把觀測到的數據序列視為一個隨機過程，而是看作隨時間變化的灰色量或灰色過程，通過累加生成和累減生成逐步使灰色量白化，從而建立相應于微分方程解的模型，并做出預報。這樣，對某些大系統和長期預測問題，就可以發揮作用。

(3)灰色系統理論能處理貧信息系統

灰色預測模型只要求較短的觀測資料，這和時間序列分析、多元分析等概率統計模型要求較長資料很不一樣。因此，對于某些只有少量觀測數據的項目來說，灰色預測是一種有用的工具。

從國內外研究進展看，在用水量指標預測分析中開展灰色關聯理論研究在技術上具有一定的科學性和可行性[12]。

1.3 研究內容

本文通過運用灰色系統理論中的灰色預測模型，對某市的各項用水量指標進行預測分析，以便摸清用水量指標的變化趨勢，從而形成簡潔便捷，且長期有效的計算方法，對管理決策中涉及的用水量指標進行科學的預測分析，意圖通過新方法的應用，強化和完善原有的統計方法，為今后的水務統計管理提供新的工作思路和理論支撐。

2 GM(1,1)模型

灰色預測模型稱為GM模型，目前適用最廣泛的灰色預測模型就是關于數列預測的一個變量、一階微分的GM(1,1)模型。GM(1,1)是基于隨機的原始時間序列，按時間累加形成的新的時間序列呈現的規律可用一階線性微分方程的解來逼近。經證明，一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時間數列呈指數變化。因此，當原始時間序列隱含著指數變化規律時，建立一個一階變量的灰色系統模型[GM(1,1)模型]，包括灰色序列生成、指數規律檢驗、模型參數估計、模型誤差檢驗4個步驟，灰色模型GM(1,1)的預測將是非常成功的。灰色模型實質是對原始數據序列做一次累加生產，使生成序列呈一定規律，并用典型曲線擬合，從而建立其數學模型，其構造如下：

對已知原始數據序列X(0)={x(0)(k)}(k=1,2,…,n)，進行一階累加生成新數列X(1)。

(1)

利用X(0)構成白化微分方程，如式(2)。

(2)

其中：a、u—待定系數。

采用最小二乘法確定，如式(3)。

(3)

式(3)中，數據矩陣B與yN如式(4)和式(5)。

(4)

(5)

得出預測模型，式(6)。

(6)

使用平均相對誤差對模型進行精度檢驗，如式(7)。

(7)

若精度達不到預期要求，可通過殘差模型進行修正或對原始數據序列進行適當取舍，以提高模型精度。最后對模型算出序列進行逆運算還原，得到預測結果[13]。

3 用水量指標預測

3.1 形成預測模型

根據灰色系統理論，各用水量指標的預測是以以往用水量指標為原始序列，以時間為狀態變量，對系統行為數列的變化預測，所以可建立GM(1,1)預測模型。本節選取某市水資源公報中的用水量指標組成預測模型的原始數列。

以2004年～2013年人均年用水量，預測2014年～2016年近3年的人均年用水量變化情況。

(1)選取2004年～2013年人均年用水量為原始數列，進行一階累加生成新數列，如式(8)。

X(0)={646,617,590,568,546,512,437,

415,366,369}X(1)={646,1 263,1 853,2 421,2 967,3 479,

3 916,4 331,4 697,5 066}

(8)

(9)

(10)

最終得式(11)。

(11)

(3) 確定預測模型

根據已計算出的待定系數a、u，得出人均年用水量預測模型，如式(12)。

(12)

(4) 對預測模型進行精度檢驗

按照預測模型，各人均年用水量實際值與模擬值、兩值間的絕對誤差及相對誤差如表2所示。

表1 2004年～2013年某市主要用水量指標Tab.1 Main Water Consumption Indexes during 2004 to 2013

表2 精度檢驗計算表Tab.2 Accuracy Test Calculations

圖1 人均年用水量實際值與模擬值折線圖Fig.1 Line Chart of Actual and Analog Values for Annual Water Consumption per Capita

2004年～2013年人均年用水量的實際值與模擬值具有較好的擬合，也證明了該預測模型具有較好的預測精度，預測結果具有較高的可信度。

(5) 進行逆運算，確定預測結果

因此，運用GM(1,I)模型對人均年用水量進行預測，其結果如表3所示。

通過同樣的計算和檢驗過程，得出各用水量指標預測模型。

人均年用水量預測模型如式(13)。

(13)

萬元GDP用水量預測模型如式(14)。

(14)

萬元工業增加值用水量預測模型如式(15)。

(15)

人均日綜合生活用水量預測模型如式(16)。

(16)

人均日居民生活用水量預測模型如式(17)。

(17)

表3 人均年用水量預測結果Tab.3 Forecast Results of Annual Water Consumption per Capita

3.2 計算預測結果

根據各用水量指標預測模型，2014年～2016年某市主要用水量指標預測結果如表4所示。

3.3 預測結果精度檢驗

作為驗證，將2014年主要用水量指標的實際值與GM(1,1)模型預測結果，以及傳統預測方法的結果分別進行比對。傳統的年遞增率法主要是使用指標的當年值與上年值的增減變動比率來預估下一年的指標數值，即式(18)。

(18)

對比結果如表5所示。由表5可知，通過模型計算出的用水量指標預測值與實際值間的相對誤差均小于0.05，且優于傳統預測方法計算出的預測值與實際值間的相對誤差，擬合度更高。總體來說，各用水量指標的預測模型在實際應用方面效果較傳統預測方法更好。

表4 某市主要用水量指標預測結果Tab.4 Forecast Results of Main Water Consumption Indexes

表5 2014年主要用水量指標實際值與預測值對照表Tab.5 Comparison of Actual and Predicted Values for Main Water Consumption Indexes in 2014

4 結論

(1)本文所得預測模型和預測結果可為用水量指標預測和水務管理提供依據；灰色系統理論在用水量指標預測分析中的成功應用，也為今后水務統計管理提供了新的思路和理論支撐。

(2)灰色系統理論中的GM(1,1)模型經論證，在不掌握大數據的情況下，能夠快速、有效地形成科學的預測模型，且預測結果與實際值的擬合程度較高，具有較好的預測效果，能夠客觀反映各用水量指標的變化趨勢，強化和完善了原有的統計預測方法。

(3)本文中得出的用水量指標預測模型及預測結果雖給出了指標的相對評價，但并沒有測定各用水量指標的絕對水平，這也是本方法的不足與待改進之處，其更合理數值有待進一步研究，需在實踐過程中逐步改進和完善。

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