渦旋膨脹機(jī)的性能模擬

彭 斌 李要紅 趙生顯

1.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州，7300502.蘭州理工大學(xué)溫州泵閥工程研究院，溫州，325105

0 引言

隨著全球氣候問題的日益嚴(yán)重和不可再生資源的日益短缺，節(jié)能、減排、新能源的開發(fā)利用以及提高現(xiàn)有能源的利用效率已經(jīng)成為當(dāng)今世界各國研究的重要課題之一。工業(yè)余熱、發(fā)動(dòng)機(jī)余熱、太陽能熱、地?zé)岬戎械推肺粺崮艿挠行Ю檬墙鉀Q能源問題的一個(gè)重要途徑。有機(jī)朗肯循環(huán)(organic Rankine cycle，ORC)作為一種回收中低品位熱能用于發(fā)電的技術(shù)，具有效率高、環(huán)境友好、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。ORC以有機(jī)物工質(zhì)代替水作為動(dòng)力循環(huán)系統(tǒng)，特別適合回收低品位熱能，并且采用不同的有機(jī)物工質(zhì)可回收不同溫度范圍的低品位熱能。作為ORC 發(fā)電系統(tǒng)關(guān)鍵部件的渦旋膨脹機(jī)，其性能很大程度上影響著整個(gè)系統(tǒng)的綜合性能，因此，對(duì)渦旋膨脹機(jī)性能的研究已成為工業(yè)余熱回收研究課題中必不可少的內(nèi)容[1]。

渦旋膨脹機(jī)所使用的型線主要有兩類：等截面型線和變截面型線。等截面即渦旋齒為等壁厚；變截面即渦旋齒為非等壁厚。等截面型線因其固有特點(diǎn)，具有數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)單、渦旋齒承受的氣體力波動(dòng)較小、加工較為方便等優(yōu)點(diǎn)，但不能充分利用毛坯材料，而且由于嚙合特性的限制，設(shè)計(jì)的靈活性相對(duì)較差。如果增加等截面的壓縮比，就必須增加渦旋齒的圈數(shù)，這樣就會(huì)造成整機(jī)尺寸和軸向泄漏線長(zhǎng)度增加，同時(shí)也延長(zhǎng)了工質(zhì)在工作腔中的停留時(shí)間，從而產(chǎn)生較大的泄漏。

國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)渦旋膨脹機(jī)的性能做了大量的研究工作[2-4]。對(duì)等截面型線的研究主要有：文獻(xiàn)[5]對(duì)等截面渦旋式膨脹機(jī)的數(shù)學(xué)模型及仿真進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[6-8]以圓漸開線為幾何基礎(chǔ)，對(duì)渦旋膨脹機(jī)的數(shù)學(xué)模型以及動(dòng)態(tài)仿真進(jìn)行了大量研究。變截面渦旋膨脹機(jī)的研究多是以變截面渦旋壓縮機(jī)的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，因它能以較少的圈數(shù)達(dá)到較高的壓縮比而得到國內(nèi)外學(xué)者的大量研究，而變截面渦旋膨脹機(jī)和壓縮機(jī)在型線組成結(jié)構(gòu)上是類似的。文獻(xiàn)[9]研究了基于泛函的渦旋型線共軛嚙合理論；文獻(xiàn)[10-12]以變徑基圓漸開線構(gòu)建雙渦圈型線，分析了變截面膨脹機(jī)的幾何模型和摩擦損失模型；文獻(xiàn)[13]對(duì)變基圓半徑漸開線渦旋膨脹機(jī)進(jìn)行了詳細(xì)研究。

目前對(duì)等截面膨脹機(jī)和變截面膨脹機(jī)的數(shù)學(xué)模型研究較多，但對(duì)兩者性能的比較多是定性分析，而鮮見定量分析，因此，本文以圓漸開線等截面膨脹機(jī)和組合型線變截面膨脹機(jī)為研究對(duì)象，從幾何模型出發(fā)，根據(jù)質(zhì)量和能量守恒建立渦旋膨脹機(jī)的數(shù)學(xué)模型，并通過對(duì)數(shù)學(xué)模型的求解，得出渦旋膨脹機(jī)工作腔內(nèi)工質(zhì)氣體的壓力、溫度和質(zhì)量隨主軸轉(zhuǎn)角的實(shí)際變化規(guī)律，定量地對(duì)渦旋膨脹機(jī)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。

1 渦旋膨脹機(jī)幾何模型

1.1 型線的生成

以圓漸開線作為等截面渦旋型線的基線，則渦旋齒內(nèi)外圈型線方程

(1)

式中，rb為基圓半徑；α為內(nèi)外壁漸開線起始角；φ為基線基圓半徑的展角；下標(biāo)i和o分別表示內(nèi)外壁線。

圖1所示為等截面渦旋齒型線，齒頭采用雙圓弧加直線修正的方式，增加齒頭強(qiáng)度，提高膨脹比。

圖1 等截面渦旋齒型線Fig.1 The scroll of constant thickness

圖2 變截面渦旋齒型線Fig.2 The scroll of variable thickness

1.2 工作腔容積的計(jì)算

1.2.1等截面膨脹機(jī)容積計(jì)算

在假定內(nèi)外壁線漸開角相等的情況下，對(duì)等截面膨脹機(jī)工作腔容積進(jìn)行計(jì)算[14]。

(1)等截面膨脹機(jī)吸氣容積

V0=2HS′=2H(Si-So-SL)

(2)

其中，H為渦旋齒高度；Si為渦旋盤內(nèi)壁面型線形成的面積；So為渦旋體壁厚部分投影面積；SL為兩基圓之間圍成的面積。它們的計(jì)算公式如下：

(3)

(4)

式中，Ro為公轉(zhuǎn)半徑；θ為曲軸轉(zhuǎn)角。

(2)第i(i≥1)個(gè)膨脹腔的工作容積

Vi=πPt(Pt-2t)H[(2i+1)+θ/π]

(5)

式中，Pt為渦旋體節(jié)距；t為渦旋體壁厚。

(3)等截面膨脹機(jī)排氣腔的工作容積

Vd=rbRoH[(2π-θ)(2φeπ+θ-3π)+
2(φeπ-π+α)sinθ+(π/2-α)sin2θ+2(1-cosθ)]

(6)

式中，φe為終端漸開角。

1.2.2變截面膨脹機(jī)容積的計(jì)算

由于組合型線的特殊性，所以在不同的工作過程中，工作腔的組成曲線不同[15]。

(1)工作腔完全由高次曲線組成時(shí)，工作腔的容積

V=HRo{Lh+[Rgh(φe)-Rgh(φs)]}

(7)

式中，Lh為高次曲線對(duì)應(yīng)基線的弧長(zhǎng)；Rgh(φ)為展角φ處的高次曲線展弦；Rgc(φ)為展角φ處的圓漸開線展弦。

(2)工作腔由高次曲線和圓漸開線組成時(shí)，工作腔的容積

V=HRo{Lh+Lc+[Rgc(φe)-Rgh(φs)]}

(8)

式中，Lc為圓漸開線對(duì)應(yīng)基線的弧長(zhǎng)。

(3)工作腔由圓漸開線和修正圓弧組成時(shí)，工作腔的容積

(9)

(10)

式中，γ為修正角；λ為修正圓弧中心角；θ*為開始排氣角；β為修正展角；?為齒頭與y軸夾角；R為修正大圓弧半徑；r為修正小圓弧半徑。

(4)工作腔完全由修正圓弧組成時(shí)，工作腔容積

V=H(R2-r2)(θt-sinθt)/2

(11)

式中，θt為圓心角。

2 渦旋膨脹機(jī)的性能計(jì)算模型

渦旋膨脹機(jī)的運(yùn)行工況比較復(fù)雜，為了使其數(shù)學(xué)模型在計(jì)算過程中簡(jiǎn)單易求，無論等截面膨脹機(jī)還是變截面膨脹機(jī)，模擬計(jì)算時(shí)均提出以下基本假設(shè)：①模擬計(jì)算研究的范圍從進(jìn)氣開始到排氣結(jié)束；②在任何時(shí)刻，膨脹機(jī)各工作腔內(nèi)工質(zhì)的狀態(tài)是均勻的；③工質(zhì)在膨脹腔內(nèi)無相變，工質(zhì)的泄漏量與工質(zhì)攜帶總能瞬時(shí)達(dá)到平衡；④主軸轉(zhuǎn)速恒定且工質(zhì)為理想氣體。

2.1 模擬計(jì)算控制方程

求解過程主要使用的控制方程如下[12]：

(1)膨脹腔內(nèi)工質(zhì)溫度T隨主軸轉(zhuǎn)角θ的變化為

(12)

式中，p為工作腔內(nèi)工質(zhì)的壓力；cV為工作腔內(nèi)工質(zhì)的質(zhì)量定容熱容；v為工作腔內(nèi)工質(zhì)的比容；ω為曲軸角速度；m為膨脹腔內(nèi)工質(zhì)質(zhì)量；min為流入工作腔內(nèi)工質(zhì)的質(zhì)量；mout為流出工作腔內(nèi)工質(zhì)的質(zhì)量；h為工作腔內(nèi)工質(zhì)的比焓；hin為流入工作腔內(nèi)工質(zhì)的比焓；Q為工作腔與外界的熱交換量。

(2)膨脹腔內(nèi)工質(zhì)質(zhì)量m隨主軸轉(zhuǎn)角θ的變化為

(13)

(3)膨脹腔內(nèi)工質(zhì)質(zhì)量流量

(14)

(15)

式中，ψ為流動(dòng)系數(shù)；As為面積；ρh為高壓側(cè)密度；ph為高壓側(cè)壓力；pL為低壓側(cè)壓力；γc為壓縮指數(shù)。

(4)工質(zhì)在膨脹過程中的傳熱量

(16)

式中，cp為工作腔內(nèi)工質(zhì)的質(zhì)量定壓熱容。

(5)理想氣體的狀態(tài)方程。

2.2 泄漏

渦旋膨脹機(jī)的泄漏主要包括由徑向間隙引起的切向泄漏和由軸向間隙引起的徑向泄漏。在進(jìn)行徑向和切向泄漏分析時(shí)，將間隙表示為高、低側(cè)壓力的函數(shù)，則徑向泄漏面積[16]

(17)

切向泄漏面積

Af=Hδf(ph,pL)

(18)

式中，δr(ph,pL)為徑向泄漏系數(shù)；δf(ph,pL)為切向泄漏系數(shù)；L為徑向泄漏線長(zhǎng)度。

2.3 傳熱

根據(jù)傳熱學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，有溫差的存在就會(huì)有傳熱現(xiàn)象的發(fā)生，熱傳遞主要有熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流、熱輻射三種方式。由于工質(zhì)氣體溫度和渦旋膨脹機(jī)外殼、渦旋齒、渦旋盤底部以及周圍環(huán)境的溫度之間存在一定的溫差，故在渦旋膨脹機(jī)正常工作的過程中，不可避免地會(huì)發(fā)生熱量傳遞。工質(zhì)氣體與渦旋齒之間存在較復(fù)雜的傳熱，為了簡(jiǎn)化傳熱模型，忽略導(dǎo)熱和輻射，只考慮它們之間的對(duì)流傳熱。

渦旋膨脹機(jī)進(jìn)排氣的傳熱可按照流體在圓管內(nèi)強(qiáng)制對(duì)流換熱計(jì)算，其關(guān)聯(lián)式由Dittus- Boelter[17]確定。

渦旋膨脹機(jī)主要的傳熱為工作腔內(nèi)的傳熱，其傳熱量的確定主要由三個(gè)參數(shù)計(jì)算，即傳熱系數(shù)、工質(zhì)氣體與壁面的溫差和傳熱面積。使用螺旋板式換熱器平均對(duì)流換熱系數(shù)的計(jì)算方法來計(jì)算換熱系數(shù)[18]：

(19)

式中，κ為熱導(dǎo)率；Def為當(dāng)量直徑；St為斯坦頓數(shù)；Re為雷諾數(shù)；Pr為普朗特?cái)?shù)；Rave為平均半徑；A為渦旋齒的面積。

當(dāng)量直徑定義為工作腔容積與渦旋齒壁面積之比：

Def=4V/A

(20)

平均半徑Rave由下式確定：

Rave=rb[(φk-π/2)+(φk-1-π/2)]/2

(21)

Jang等[19]通過實(shí)驗(yàn)得出，從渦旋齒中心到齒末端上的溫度隨漸開角呈線性分布，即

(22)

式中，Ts1為漸開角φ1處的溫度。

對(duì)于工作腔內(nèi)傳熱面積的計(jì)算，主要有渦旋齒壁和渦旋盤頂部或底部面積兩部分：在漸開角φk～φk-2π范圍內(nèi)，所形成的工作腔內(nèi)渦旋齒壁的面積微分

dA=Hrb(φ-φ0)dφ

(23)

式中，φ0為中心漸開線起始角。

渦旋盤底部的面積微分

(24)

式中，φi0、φo0分別為渦旋齒內(nèi)外壁漸開線發(fā)生角。

于是，傳熱量

(25)

式中，T(k,j)為第k個(gè)工作腔內(nèi)主軸轉(zhuǎn)角為θj時(shí)的溫度；Tscr(φ)為中間溫度；dA為傳熱面積(渦旋齒和渦旋盤)。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

在理論分析的基礎(chǔ)上，通過Fortran軟件對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬計(jì)算，圖3為渦旋膨脹機(jī)數(shù)學(xué)模型模擬計(jì)算流程圖。根據(jù)膨脹機(jī)幾何結(jié)構(gòu)和參數(shù)，首先求解出等截面膨脹機(jī)和變截面膨脹機(jī)工作腔的容積隨主軸轉(zhuǎn)角的變化曲線，然后由幾何模型、傳熱模型、泄漏模型以及控制方程組計(jì)算出膨脹機(jī)工作腔的質(zhì)量、溫度和壓力隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化；最后可根據(jù)求解得到的工作腔工質(zhì)壓力并結(jié)合動(dòng)力學(xué)模型和摩擦損失模型，采用Newton-Raphson 法計(jì)算膨脹機(jī)的動(dòng)力參數(shù)，并得到等截面和變截面渦旋膨脹機(jī)的排氣溫度、質(zhì)量流量和軸功率等性能參數(shù)[19]。與文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[20]相比較，渦旋膨脹機(jī)數(shù)學(xué)模型的求解結(jié)果有較高的準(zhǔn)確度，驗(yàn)證了本文數(shù)值求解的正確性，為膨脹機(jī)的選擇提供了參考依據(jù)。

圖3 求解流程圖Fig.3 Solving process

表1為渦旋膨脹機(jī)型線參數(shù)，給出了等截面渦旋齒型線參數(shù)和變截面渦旋齒參數(shù)。

表1渦旋膨脹機(jī)幾何參數(shù)

Tab.1Geometricparametersofscrollexpandermm

截面類型基圓半徑rb壁厚t公轉(zhuǎn)半徑Ro齒高H等截面23.143.1420變截面22.520

上述兩種膨脹機(jī)終端漸開角均為φe=21.46 rad，開始排氣角φd=17.055 rad，圈數(shù)N=2.5，在上述數(shù)據(jù)相等的條件下，使用Fortran軟件編程，求出兩種膨脹機(jī)的工作腔容積、壓力、溫度和質(zhì)量隨主軸轉(zhuǎn)角的變化，分別對(duì)曲線進(jìn)行分析。下面分別對(duì)兩者的容積、壓力、溫度和質(zhì)量變化進(jìn)行分析。

3.1 工作腔容積變化圖

圖4 工作腔容積隨主軸轉(zhuǎn)角的變化Fig.4 The change of various compressor chambers volume

圖4為膨脹機(jī)工作腔容積隨主軸轉(zhuǎn)角的變化曲線，可以看出，兩條曲線在吸氣階段，工質(zhì)從吸氣孔進(jìn)入渦旋膨脹機(jī)，主軸轉(zhuǎn)動(dòng)一圈后進(jìn)入膨脹階段，膨脹過程體積逐漸增大，隨著膨脹腔與排氣腔的連通，開始進(jìn)入排氣階段，直到排氣結(jié)束。變截面渦旋膨脹機(jī)吸氣容積與等截面膨脹機(jī)吸氣容積相差不大，但是在膨脹階段，由于變截面渦旋膨脹機(jī)減小了腔體數(shù)，容積小于等截面渦旋膨脹機(jī)，但是變截面膨脹機(jī)增大了膨脹終了的容積，而且吸排氣基本達(dá)到了零余隙容積，提高了膨脹機(jī)效率。

3.2 工作腔壓力和溫度變化圖

圖5為工作腔內(nèi)工質(zhì)氣體的壓力和溫度隨主軸轉(zhuǎn)角的變化曲線，可以看出，工質(zhì)在進(jìn)入膨脹機(jī)之后工質(zhì)壓力和溫度均基本趨于穩(wěn)定，之后開始膨脹，由于在進(jìn)氣結(jié)束開始膨脹之前，氣體來不及進(jìn)入膨脹腔，導(dǎo)致工質(zhì)壓力和溫度有一定的增大，隨著主軸轉(zhuǎn)角的變化，工質(zhì)的壓力和溫度逐漸減小，最后排出膨脹機(jī)。根據(jù)圖4所示工作腔容積隨主軸轉(zhuǎn)角的變化趨勢(shì)，由于變截面渦旋膨脹機(jī)工質(zhì)膨脹時(shí)體積較大且泄漏較小，故變截面膨脹機(jī)膨脹腔工質(zhì)的壓力和溫度明顯高于等截面膨脹機(jī)的壓力和溫度，能增大膨脹比，從而提高膨脹機(jī)的功率。圖5b中，在膨脹后期，變截面膨脹機(jī)溫度較高，是由于膨脹階段工作腔體積較大、壓力較高且泄漏較低，使得膨脹腔的溫度變化較為緩和；因?yàn)樽兘孛媾蛎洐C(jī)腔體數(shù)較少、泄漏低，在排氣階段，變截面膨脹機(jī)工質(zhì)的溫度高于等截面膨脹機(jī)工質(zhì)的溫度。

(a)工作腔壓力曲線

(b)工作腔溫度曲線圖5 工作腔壓力和溫度隨主軸轉(zhuǎn)角的變化Fig.5 The pressure and temperature varies with orbiting angle

3.3 工作腔質(zhì)量變化圖

圖6為工作腔質(zhì)量隨主軸轉(zhuǎn)角的變化曲線，曲線走向和容積曲線基本一致，隨著主軸轉(zhuǎn)角的變化，吸氣階段質(zhì)量逐漸增大；到膨脹階段趨于平緩；在排氣階段，由于動(dòng)渦盤轉(zhuǎn)速較高，質(zhì)量有一定的積攢(稍有上升，之后逐漸減小，直至排氣結(jié)束)。相同終端漸開角的條件下，變截面膨脹機(jī)的工質(zhì)氣體容積大于等截面膨脹機(jī)的工質(zhì)氣體容積，而且泄漏相對(duì)較小，因此，在膨脹階段，變截面膨脹機(jī)質(zhì)量較等截面膨脹機(jī)有所上升，兩者走向一致。

圖6 工作腔質(zhì)量隨主軸轉(zhuǎn)角的變化Fig.6 The mass varies with orbiting angle

3.4 膨脹機(jī)輸出功率

圖7所示為等截面和變截面渦旋膨脹機(jī)在轉(zhuǎn)速為2 500 r/min、進(jìn)氣壓力為683 kPa時(shí)輸出功率隨主軸轉(zhuǎn)角的變化對(duì)比，可以看出，隨主軸轉(zhuǎn)角的增大，膨脹機(jī)輸出功率先減小后增大。主軸轉(zhuǎn)角在0～π時(shí)，由于齒頭型線組成相同，變截面和等截面輸出功率基本相等，之后因?yàn)樽兘孛媾蛎洐C(jī)渦旋齒型線較短，泄漏較小，其輸出功率大于等截面輸出功率。

圖7 輸出功率隨主軸轉(zhuǎn)角變化Fig.7 Output power varies with orbiting angle

表2所示為等截面渦旋膨脹機(jī)和變截面渦旋膨脹機(jī)排氣時(shí)刻的容積、壓力和質(zhì)量數(shù)據(jù)對(duì)比分析，其中，ε為渦旋膨脹機(jī)膨脹機(jī)內(nèi)容積比，即膨脹終了與吸氣結(jié)束的工質(zhì)體積之比。

表2 結(jié)果對(duì)比

從表2中可以看出，兩者容積差為3 463 mm3，最大壓力差pe=49 kPa，質(zhì)量相差不大，變截面膨脹機(jī)內(nèi)容積比比等截面膨脹機(jī)要大?？梢?，相比變截面渦旋膨脹機(jī)，等截面渦旋膨脹機(jī)性能參數(shù)要好。

4 結(jié)論

對(duì)等截面渦旋型線膨脹機(jī)與變截面渦旋型線膨脹機(jī)的幾何模型進(jìn)行對(duì)比，得到兩者的工作腔容積隨主軸轉(zhuǎn)角變化規(guī)律；根據(jù)能量和質(zhì)量守恒定律，得到等截面膨脹機(jī)與變截面膨脹機(jī)數(shù)學(xué)模型，采用歐拉法和Newton-Raphson 法得到了實(shí)際介質(zhì)在工作腔中質(zhì)量、溫度和壓力的變化規(guī)律；通過對(duì)等截面膨脹機(jī)和變截面膨脹機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比，在進(jìn)氣壓力和轉(zhuǎn)速相同的條件下，分別得出等截面膨脹機(jī)和變截面膨脹機(jī)輸出功率的變化規(guī)律，變截面膨脹機(jī)通過改變渦旋齒型線的組成可減小腔體內(nèi)部泄漏，增大膨脹比，提高膨脹機(jī)的機(jī)械效率。模擬計(jì)算的求解結(jié)果表明變截面渦旋膨脹機(jī)整體性能要高于等截面渦旋膨脹機(jī)。

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