三維落角約束自適應分數階滑模制導律設計*

劉清楷，陳堅，汪立新，秦偉偉

(火箭軍工程大學,陜西 西安 710025)

0 引言

多約束制導問題是提高精確武器打擊效能的一個重要方面[1]。Kim[2]首次給出滿足末端角度約束的次最優制導律方法以來，學者在帶有約束的制導問題上，取得了豐碩的成果。

文獻[3]將末制導問題轉化為帶約束條件的最優控制問題，但由于目標高機動性和外界擾動的影響，建立的模型誤差較大，造成制導精度較低。而滑模變結構控制對系統參數攝動具有不變性和對外部擾動的魯棒性，設計滑模面時加入角度約束約束項，得到帶角度約束的滑模制導律[4-6]。文獻[7-8]采用非奇異終端滑模控制，得到了有限時間收斂的制導律。文獻[9]提出了結合最優制導方法和變結構制導方法的復合制導律，但該方法過于復雜，難以進行工程應用。文獻[10]研究了利用高增益觀測器進行目標加速度的估計方法，取得了較好的效果。

文獻[11]將分數階微積分理論結合比例導引律得到了分數階微積分比例制導律，但未加入角度約束。屈耀紅[12]等將分數階滑模用于改進傳統比例導引，實現了無人機空中加油過程的角度約束，但其受限于加油機為勻速直線飛行的場景。

目前已有的三維制導律大多是直接忽略俯仰通道與偏航通道之間的耦合，本文建立三維彈目相對運動模型，將耦合項作為干擾項，利用擴張狀態觀測器(extended state obsrever, ESO)進行實時估計，達到解耦的目的。采用分數階積分器防止積分器飽和現象的出現[13]，引入分數階微分器來增強控制器的魯棒性以及削弱抖振。同時設計一種新的滑模趨近律，保證系統狀態能夠快速收斂到滑模面上，利用ESO對目標機動加速度進行實時估計與補償，最終得到本文的自適應分數階滑模導引律(adaptive fractional order sliding mode guidance law, AFOSG)。通過仿真驗證，說明本文所設計方法能夠削弱抖振，實現偏移量和角度約束。

1 分數階微積分基本定義

分數階微積分目前常用的3種定義為：Caputo(C)型、Grünwald-Letnikov(GL)型和Riemann-Liouville(RL)型。其中C型定義的拉普拉斯變換式最為簡潔[14]，更為常用。

連續可積函數f(t)的C型分數階微積分[15]為

(1)

以上可以看出，分數階微分與過去所有點的信息相關，即記憶性，將其引入到滑模設計中，使其穩定性更強;其次隨著時間的增加，權值不斷減小，即遺忘性，利用這一特性可減小作用到被控系統上的控制量，達到減小抖振的目的。

2 彈目相對運動模型

由于導彈飛行過程中只能控制正交于速度方向的加速度大小[16]，故先在彈道坐標系建立其動力學方程。如圖1所示，圖中OxIyIzI為參考慣性系，Mxsyszs為視線坐標系。假設導彈和目標在飛行過程中保持最大速度飛行不變。

導彈和目標在彈道系及航跡系的動力學方程和其在慣性系的質心運動方程[17]為

(2)

(3)

式中：vm為導彈飛行速度;θm為導彈彈道傾角;σm為導彈彈道偏角;vt為目標逃逸速度;φt為目標航跡傾角;ψt為目標航跡偏角。

由文獻[18]彈目相對運動模型為

(4)

(5)

(6)

因式(5),(6)形式相近，第3章制導律設計先以式(5)為基礎進行設計。

3 帶ESO的自適應分數階滑模制導律設計

3.1 自適應分數階滑模制導律設計

本文基于零化視線角速率[19]進行制導律設計。傳統整數階積分滑模面[20]為

(7)

本文為利用分數階微積分算子的記憶性和遺忘性，設計分數階滑模面如下：

(8)

式中：0<α1<1為分數階微積分算子的階次;c11,c12,c13,c14>0為待設計的增益系數。

設計一種新的自適應滑模趨近律如下：

(9)

本文采用誤差向量的2-范數作為自適應參數，保證系統的趨近速率保持較大，且避免在接近滑模面時產生抖振。由式(8)和式(9)設計帶攻擊角約束的自適應分數階滑模制導律如下：

(10)

式(10)中包含dε總擾動項，根據文獻[20]，設計擴張狀態觀測器如下：

(11)

式中：z13為dε/r的觀測值;β11，β12，β13為待設計參數;

式中：δ為線性段的長度。

綜合式(10)和式(11)得到含ESO的自適應分數階滑模制導律如下：

(12)

3.2 穩定性證明

選取Lyapunov函數：

(13)

對式(13)求導可得

2S1[c11e12+c12Dα1e12+c13Dα1e11-

將式(12)帶入上式整理得

當β11，β12，β13選取合適的值時，式(11)的觀測誤差趨于0[21]，即觀測值z13以有限時間收斂于dε/r的鄰域內，則有

由文獻[22]可得，系統狀態是有限時間收斂的，且收斂到滑模面S1=0的時間為

(14)

式中：e12≠0;S1(0)為S1的初值。

當e12=0的時，將式(12)代入式(5)整理得：

(15)

由式(15)可得，e12=0不是穩定狀態，故系統狀態能夠在有限時間內收斂到滑模面S1=0。

當S1=0時，得到滑模面動力學方程：

(16)

對式(16)進行Laplace變換[23]得到

c11E(s)+c12sα1E(s)+c13sα1-1E(s)+c14sE(s)=0.

上式可以看作是描述以e11(t)為輸出的閉環系統的方程，其開環傳遞函數可以表示為

上式中0<1-α1<1;c11，c12，c13，c14>0;開環傳遞函數的相位總是大于-π/2，且不含右半平面的極點，由Nyquist穩定判據可以得到原閉環系統是穩定的，即e11(t)是收斂的。同時由分數階系統Laplace變換的終值定理[24]，可以得到

c14s2-α1)/c11s1-α1=0.

綜上，本文自適應分數階滑模導引律能夠使系統狀態漸進收斂到滑模面，彈目視線角誤差e11(t)和視線角速率e12(t)能漸進收斂到0。

為減小抖振，將式(12)中的符號函數，用飽和函數替代，得到制導律：

(17)

式中：

ω為邊界層厚度，通過調節其值以削減抖振。

同樣由式(6)可以得到：

amzs= -cosε[c21re22+c22rDα2e22+

(18)

(19)

4 仿真驗證

為證明本文導引律的可行性，將新型自適應分數階滑模制導律與增強比例導引律(augmented propotional navigation guidance law,APNG)以及非奇異終端滑模導引律(nonsingular terminal sliding mode guidance law，NTSMG)進行對比仿真。導彈初始位置(500,0,-1 500)m，目標初始位置(3 000,5 000,1 000)m，導彈速度為vm=800 m/s，目標速度為vt=300 m/s，導彈初始彈道傾角為θm0=π/3 rad，初始彈道偏角為σm0=-π/10 rad，目標初始航跡傾角為φt0=π/4 rad，初始航跡偏角為ψt0=-π/6 rad。AFOSMG的參數為簡單起見，2個方向制導律中同一位置的參數大小相等，即c11=c21=400，c12=150，c13=300，c14=1，k11=260，k12=200，α1=0.45，β11=100，β12=300，β13=1 000，δ=0.01，ω=0.01。利用文獻[25]的FOMCON工具箱進行分數階微積分的計算。APNG定義為

(20)

(21)

式中：N=4。

由于APNG需要獲取目標的精確機動信息，本文在利用此方法仿真時認為該信息為已知。NTSMG定義為

(22)

(23)

導引律在視線系中定義，需要將其轉換到彈道坐標系中，由于篇幅所限，具體方法見文獻[26]。

4.1 仿真1

目標機動加速度為atyd=atzd=5g;期望視線角為εd=π/3 rad，ηd=-2π/9 rad。分別采用3種導引律進行仿真，得到結果如圖2～4所示。

從圖4可以看出，APNG和NTSMG得到的加速度指令均存在一定程度的跳變或振蕩，而AFOSMG的加速度指令則保持平穩變化。仿真的脫靶量和末端角度如表1所示。

導引律偏移量/m視線傾角/(°)視線偏角/(°)APNG0．15748．79-49．11NTSMG0．26558．24-41．85AFOSMG0．13359．33-39．97

從表1中可以看出在目標進行常值機動時，本文所設計的AFOSMG導引律無論是在偏移量還是角度偏差均要小于APNG和 NTSMG，證明本文導引律有較好的效果。

4.2 仿真2

當目標進行正弦機動時，atyd=80 sin 0.2t，atzd=80cos 0.2t;期望視線角為εd=π/3 rad，ηd=-π/3 rad。同樣進行仿真得到結果如圖5～7所示。

從表2中可以看出，相對于其他2種導引律,本文方法無論是偏移量還是末端角度都得到了更高的精度。而且從圖7a)和圖7b)導彈加速度指令信號變化中可以看出，AFOSMG加速度變化更為平穩，未出現抖振現象。

導引律偏移量/m視線傾角/(°)視線偏角/(°)APNG0．40448．91-49．05NTSMG0．37759．12-60．75AFOSMG0．16160．42-60．10

5 結論

本文將分數階微積分算子引入滑模面的設計，采用一種自適應趨近律得到本文三維AFOSMG，并通過理論證明和仿真實驗驗證了方法的有效性。

(1) 采用分數階微積分算子進行滑模面的設計，利用了其記憶性和遺忘性，有效削弱了滑模控制的抖振現象;選取的自適應趨近律能夠有效根據系統狀態與平衡點的距離，調節速率，并通過Lyapunov穩定性定理對本文的導引律的收斂性進行了證明。

(2) 通過仿真比較，本文的導引律能使導彈的加速度指令更為平穩，降低對導彈過載的要求。

(3) 分數階微積分的運算耗時較長，但隨著彈載機的計算能力增強，其工程應用將不再困難。

本文在制導律設計時，將導彈自動駕駛儀作為理想環節，未考慮其的動態特性，可以在下一步的工作中加以研究;其次本文只是在滑模面的設計中引入了分數階微積分算子，可以嘗試將其引入趨近律的設計中，設計一種新的分數階滑模趨近律。

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