空中大機動目標跟蹤算法研究*

呂梅柏，趙小鋒，劉廣哲

(1.西北工業大學，陜西 西安 710072；2.航天飛行動力學國防重點實驗室，陜西 西安 710072；3.海軍駐西安導彈設備軍事代表室，陜西 西安 710065)

0 引言

隨著現代空戰中目標機動性的增強及機動方式的增多，對導彈末制導階段的目標準確跟蹤提出了嚴峻的挑戰。當目標機動較大時會大大降低導彈的攔截精度，需要對目標運動參數進行濾波，選擇合適的目標跟蹤模型和濾波估計算法是提高目標跟蹤精度的有效途徑之一[1]。

在傳統的勻速(CV)、勻加速(CA)及Singer等模型中，選取的狀態變量無法對機動轉彎目標進行準確描述，而機動轉彎模型(CT)通過引入轉彎角速度，較好地解決了坐標耦合問題[2]。由于空中目標的機動具有很大不確定性，采用單一模型無法完整描述空中大機動目標的運動。交互式多模型算法(IMM)通過馬爾可夫轉移矩陣實現多個模型之間的切換，是目前解決未知機動問題的一種有效方法[3]。

在導彈末制導階段，由導引頭測量到的目標信息是在球坐標系中進行描述的，導致系統具有非線性[4-5]。常用的非線性濾波算法有擴展卡爾曼濾波算法(EKF)及無跡卡爾曼濾波算法(UKF)等。EKF算法在線性化的過程中會引入模型誤差，在系統的非線性較強時容易發散[6]，UKF在使用時需調節三個參數，且采樣點數目的增加導致計算量增大，不利于進行實時計算。容積卡爾曼濾波算法(CKF)采用一組容積點集計算隨機變量在非線性變化后的均值和協方差，具有更優的非線性逼近性能和濾波精度，且實現簡單[7]。

原始的IMM算法采用了EKF方法，部分文獻將UKF與CKF方法應用于IMM算法中，取得了較好的結果[8-10]。本文采用IMM模型及CKF算法，在導彈末制導階段對大機動目標進行跟蹤，結果驗證了該方法對空中大機動目標進行跟蹤的有效性，且在運行時間上優于IMM-UKF算法，適合用于實時計算。

1 機動目標與導彈運動模型

1.1 目標運動模型

空中目標在正常巡航狀態下，一般為勻速直線運動，可以采用(CV)模型進行描述，而當目標發現來襲導彈后，往往會采取機動進行逃逸，此時可以采用機動轉彎(CT)模型進行描述。假設目標在Oxy平面內做勻速等過載轉彎運動[11]，即

(1)

式中：vt為目標運動速度;ω為轉彎角速度。

Xk=Φk,k-1Xk-1+ΓWk-1，

(2)

(3)

CT模型中，

(4)

(5)

1.2 導彈制導模型

設(xt,yt,zt),(xm,ym,zm)分別為目標和導彈在慣性坐標系下任意時刻的坐標，則導彈與目標的相對運動方程為[12]

(6)

目標視線旋轉角速度為

(7)

(8)

采用廣義比例導引律，則導彈的制導控制方程為

(9)

1.3 導引頭測量模型

建立導引頭觀測方程

Zk=h(Xk)+Vk,

(10)

式中：觀測向量為Zk=(φ,ε,r)T;Vk是均值為0，協方差陣為R的高斯白噪聲向量;h(·)為非線性函數，且

(11)

2 IMM-CKF算法

2.1 簡化容積卡爾曼濾波算法

CKF基于三階球面徑向容積準則，通過一組等權值的容積點來近似計算非線性系統中的概率積分。采用文獻[13]中的簡化CKF算法，計算步驟如下：

(1) 時間更新

狀態預測：

(12)

預測誤差協方差矩陣：

Pk|k-1=ΦPk-1ΦT+ΓQk-1ΓT.

(13)

(2) 量測更新

權值：

(14)

容積點估計：

(15)

容積點傳播：

zl,k=h(xl,k).

(16)

量測預測值：

(17)

新息方差矩陣：

(18)

協方差矩陣：

(19)

最優增益：

(20)

狀態更新：

(21)

誤差協方差矩陣更新：

(22)

2.2 基于簡化CKF的IMM算法

基于CV,CT 2種運動模型設計交互式多模型，設計步驟如下[14-15]：

(1) 輸入交互

計算聯合概率矩陣：

(23)

將每一列相加，得到在k+1時刻模型j的預測概率：

(24)

則輸入交互概率為

(25)

根據輸入交互概率對當前狀態和估計方差進行交互計算：

(26)

(27)

(2) 濾波更新

(3) 模型概率更新

模型j的似然函數為

Λj(k+1)=

(28)

模型j的更新概率為

(29)

(4) 模型輸出

狀態估計為

(30)

誤差協方差陣為

(31)

3 仿真校驗

3.1 仿真流程及參數設置

為了驗證IMM模型及CKF算法對于導彈末制導階段對大機動目標跟蹤的準確性，采取如下仿真計算流程：

(1) 初始化導彈及目標位置、速度、加速度等運動參數，初始化濾波器參數；

(2) 根據目標運動方程計算目標當前時刻的真實運動參數；

(3) 根據上一時刻的目標運動參數估計值及導彈實際運動參數計算導彈加速度，并利用導彈運動方程計算導彈當前時刻的運動參數；

(4) 根據導引頭觀測方程產生帶有噪聲的導引頭觀測數據；

(5) 采用IMM-CKF算法估計目標當前時刻的運動參數；

(6) 判斷彈目距離是否小于給定值，若是，結束仿真，否則，返回第(2)步。

仿真參數設置如下：

目標初始位置為(8 000，2 000，8 000)，初始速度為(80，20，40)，機動轉彎角速度ω=0.5 rad/s，在0～12 s內作勻速直線運動，在12～20 s內進行機動轉彎，在20～23 s內作勻速直線運動，在23 s以后進行機動轉彎。

導彈初始位置位于原點，速度為500 m/s，初始彈道傾角θ=0，初始彈道偏角ψV=0，比例導引系數N取為3。

仿真步長T=0.02 s，過程噪聲協方差陣為Qw=diag(12,12,12)，導引頭測量噪聲協方差陣Rr=diag(0.012,0.012,1002)，濾波器初始化參數為

(32)

模型轉移概率矩陣為

(33)

采用蒙特卡羅仿真方法進行多次仿真，用均方根誤差衡量目標跟蹤偏差，位置誤差及速度誤差分別為

(34)

3.2 仿真結果

在Matlab中進行仿真，仿真結果如圖1～6所示。

由圖1中導彈與目標運動軌跡圖可以看出，盡管目標進行了多次大機動，最終導彈仍然能夠命中目標，由圖2目標真實運動軌跡與目標軌跡估計值可以看出，IMM-CKF方法能夠克服初始誤差準確跟蹤目標，在目標勻速直線運動與機動轉彎階段能夠實現平滑切換，使濾波穩定收斂。

由圖3與圖4的導彈法向加速度曲線可以看出，導彈法向加速度隨著目標運動模式的轉換而發生改變，且由于濾波誤差的存在有一定程度的抖動。

分別采用CKF與UKF方法濾波，進行100次蒙特卡羅仿真，圖5與圖6分別為目標位置估計均方根誤差與目標速度估計均方根誤差。

由估計誤差結果可以看出，在目標進行運動模式切換時，會產生較大的濾波誤差，此時IMM算法會進行運動模型切換，逐漸穩定跟蹤目標。由UKF與CKF方法的對比可以看出，2種方法在估計精度上相差不大，表1為100次仿真2種方法的用時對比，可以看出CKF方法比UKF方法所用時間更短，適合用于實時計算。

表1 IMM-CKF與IMM-UKF仿真時間對比

4 結束語

本文對空中大機動目標的運動進行了分析建模，同時建立了導彈制導模型及導引頭測量模型。結合IMM算法與簡化CKF濾波算法在導彈末制導階段對目標進行跟蹤，通過仿真驗證了估計方法的有效性。

由蒙特卡羅仿真結果得出CKF與UKF 2種濾波方法精度相當，且CKF方法在時間上更有優勢，IMM算法中對多個模型進行濾波處理的過程可以并行實現，因此本文采用的IMM-CFK非常適合用于彈載計算機，具有較好的工程參考價值。

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