慣性導(dǎo)航系統(tǒng)標(biāo)定濾波方法研究

姜雪梅 車轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

摘要：捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)標(biāo)定技術(shù)對提高導(dǎo)航精度十分必要，而慣性導(dǎo)航系統(tǒng)標(biāo)定選擇的濾波方法直接影響到標(biāo)定的精度。本文對不同狀態(tài)的濾波估計方法進(jìn)行了理論分析，利用不同標(biāo)定仿真環(huán)境下所采用的卡爾曼濾波及其他濾波方法，對慣性器件誤差及安裝誤差進(jìn)行了估計，并通過仿真分析比較了慣性導(dǎo)航標(biāo)定中各種濾波算法的特點(diǎn)及適用范圍，得出了算法的應(yīng)用建議，對慣導(dǎo)誤差模型標(biāo)定具有一定的工程指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：慣性導(dǎo)航；標(biāo)定；濾波；有色噪聲；自適應(yīng)

中圖分類號：V249.32+2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2018.01，046

慣性器件（陀螺和加速度計）誤差會引起慣性導(dǎo)航（慣導(dǎo)）系統(tǒng)（Inertial Navigation System，INS）隨時間累積的導(dǎo)航誤差，影響導(dǎo)航精度。為了提高INS的導(dǎo)航性能，需要對INS進(jìn)行標(biāo)定。系統(tǒng)級標(biāo)定濾波方法是設(shè)計一種合適的濾波器，將慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差參數(shù)作為濾波器的狀態(tài)變量，通過對導(dǎo)航誤差的量測，實現(xiàn)各誤差模型參數(shù)的標(biāo)定。由于它可以降低對轉(zhuǎn)臺精度的要求，因此受到研究人員的廣泛關(guān)注。

INS誤差模型參數(shù)的標(biāo)定，Blanchard、Grewal分別設(shè)計了不同維數(shù)的狀態(tài)濾波器，估計陀螺誤差參數(shù)和加速度計（加計）誤差參數(shù)。S.P.Dmitriyev對慣導(dǎo)誤差模型標(biāo)定中的非線性濾波技術(shù)做了研究，提出一種優(yōu)于卡爾曼濾波算法（KF）的算法。楊華波采用擴(kuò)展卡爾曼和迭代卡爾曼實現(xiàn)平臺式INS誤差模型參數(shù)的標(biāo)定。王新國利用星光觀測在線估計彈載光纖陀螺捷聯(lián)慣導(dǎo)的陀螺零偏標(biāo)度因數(shù)和安裝誤差，設(shè)計了無跡卡爾曼濾波器UKF。

上述所述主要是針對INS的確定性誤差模型或非線性模型參數(shù)的標(biāo)定進(jìn)行分析和研究。而在實際的慣導(dǎo)誤差模型中，誤差中往往含有有色噪聲等統(tǒng)計特性未知的噪聲，單純采用確定性誤差建模以及非線性模型的濾波器，會引起對誤差的估計偏差，進(jìn)而影響慣性器件的標(biāo)定精度。

本文首先選擇慣導(dǎo)誤差模型，分析各模型存在的問題，進(jìn)而給出相應(yīng)的解決方法。針對有色噪聲誤差，采用擴(kuò)維等方法實現(xiàn)誤差模型參數(shù)標(biāo)定；針對噪聲統(tǒng)計特性未知或時變誤差，采用自適應(yīng)濾波等方法實現(xiàn)誤差模型參數(shù)標(biāo)定。最后，對多種仿真條件下不同濾波方法的估計性能進(jìn)行分析比較，得出INS標(biāo)定濾波方法的應(yīng)用建議。

1慣導(dǎo)誤差模型分析與解決方案

1.1慣導(dǎo)誤差模型

INS誤差模型是建立濾波方程的基礎(chǔ)。慣性器件主要的誤差源包括陀螺和加計的刻度因子誤差、安裝誤差角和零偏。本文所采用的陀螺誤差模型為：式中：Cnb為姿態(tài)陣，[δKG]，[δG]分別為陀螺刻度因子誤差和安裝誤差，δb為陀螺零偏在載體坐標(biāo)系的投影。wbib為載體系相對慣性系的角速率在載體系的投影，v為噪聲項。

加計誤差模型為：式中：[δKA]，[δA]分別為加計刻度因子誤差和安裝誤差，▽b為加計零偏在載體坐標(biāo)系的投影。fb為加計的量測在載體系的投影，η為噪聲項。

1.12慣導(dǎo)誤差傳播模型

慣導(dǎo)誤差傳播方程描述的是慣導(dǎo)解算誤差與真實導(dǎo)航信息以及慣性器件誤差之間的模型。

1.2.1姿態(tài)誤差方程式中：φ為姿態(tài)誤差角矢量，δwnib為陀螺誤差，wnin為導(dǎo)航坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的角速度，@為四元數(shù)乘法。

式（3）為非線性姿態(tài)誤差方程，略去二階小量，可得線性速度誤差方程：

1.2.2速度誤差方程式中：δVn為速度誤差，φn為姿態(tài)誤差角矢量，δKA為加計刻度系數(shù)誤差，δA為加計安裝誤差角，▽b為加計零偏，wnie為地球自轉(zhuǎn)角速度，wnm為導(dǎo)航坐標(biāo)系相對于地球坐標(biāo)系的角速度。

式（5）為非線性速度誤差方程，由于g的誤差量很小，忽略δg的影響，并略去二階小量，可得線性速度誤差方程：

1.2.3位置誤差方程式中：δL為經(jīng)度誤差，δλ為緯度誤差，δh矗為高度誤差。

1.3模型分析與解決方案

1.3.1有色噪聲及解決方案

陀螺和加計的測量誤差用式（1）、式（2）表示，式中的隨機(jī)誤差項一般呈現(xiàn)有色噪聲特性，不能簡單地用高斯白噪聲表示。隨機(jī)漂移大致可以概括為三種分量：逐次啟動漂移、慢變漂移和快變漂移。在標(biāo)定過程中，對陀螺和加計的隨機(jī)誤差進(jìn)行準(zhǔn)確建模，有利于提高確定性誤差的標(biāo)定精度。

卡爾曼濾波要求系統(tǒng)驅(qū)動噪聲和量測噪聲都必須是白噪聲，當(dāng)出現(xiàn)有色噪聲時，卡爾曼算法估計精度會下降甚至失效。針對有色噪聲系統(tǒng)，本文采用擴(kuò)維卡爾曼濾波器和H無窮濾波器對有色噪聲下的誤差進(jìn)行標(biāo)定。

擴(kuò)維卡爾曼濾波器有三種：狀態(tài)擴(kuò)維卡爾曼濾波器、量測擴(kuò)維卡爾曼濾波器和擴(kuò)維卡爾曼濾波器”，可以分別解決系統(tǒng)噪聲、量測噪聲以及系統(tǒng)噪聲和量測噪聲為有色噪聲問題。該方法是將濾波方程中的有色噪聲部分?jǐn)U維到狀態(tài)中，使擴(kuò)維后的噪聲滿足白噪聲特性，再進(jìn)行卡爾曼濾波。

H無窮濾波器是在系統(tǒng)噪聲協(xié)方差、量測噪聲協(xié)方差以及狀態(tài)初始協(xié)方差陣未知的情況下，將噪聲以及狀態(tài)初始值的不確定性對估計精度的影響降低到最低程度，使濾波器在最惡劣條件下的估計誤差達(dá)到最小。H無窮濾波是在嚴(yán)重干擾下的最優(yōu)濾波，濾波魯棒性是其最顯著的特點(diǎn)。

1.3.2噪聲統(tǒng)計特性未知或時變問題及解決方案

慣導(dǎo)誤差模型參數(shù)標(biāo)定過程中，經(jīng)常會存在系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計特性或量測噪聲統(tǒng)計特性不準(zhǔn)或時變的問題，本文采用自適應(yīng)卡爾曼濾波器解決。自適應(yīng)濾波一方面利用量測不斷地修正預(yù)測值，同時也對未知的或不準(zhǔn)確已知的噪聲統(tǒng)計參數(shù)進(jìn)行估計，即在濾波的同時實時估計噪聲的統(tǒng)計特性，從而提高濾波精度。

Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法簡單且具有良好的估計性能，是一種次優(yōu)無偏極大后驗估值器，但它只能解決噪聲統(tǒng)計特性固定但未知的問題。基于漸消記憶指數(shù)加權(quán)的改進(jìn)Sage-Husa噪聲統(tǒng)計估計器，強(qiáng)調(diào)了新近數(shù)據(jù)的作用，對陳舊數(shù)據(jù)漸漸遺忘，因此，可處理時變噪聲統(tǒng)計估計問題。由于噪聲是不能直接采樣的，因此，該濾波器本質(zhì)上是采用基于白噪聲采樣估值的噪聲統(tǒng)計估計器，用噪聲估值器近似代替噪聲采樣值。本文采用了基于噪聲濾波器和平滑器的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法與Sage-Husa自適應(yīng)濾波進(jìn)行對比。

2試驗分析

對慣性導(dǎo)航標(biāo)定中的模型含有色噪聲、噪聲統(tǒng)計特性未知或時變、高維系統(tǒng)引起的濾波發(fā)散等問題，采用了不同濾波方法進(jìn)行仿真試驗，分析算法性能。狀態(tài)估計的流程如圖1所示。

首先，利用龍格一庫塔數(shù)值積分方法仿真生成真實軌跡和真實的比力角速率，再根據(jù)慣性器件誤差模型、誤差模型參數(shù)以及真實的軌跡信息和比力角速率信息生成慣導(dǎo)誤差，設(shè)定噪聲仿真生成量測，進(jìn)行狀態(tài)估計，最后根據(jù)估計結(jié)果分析濾波器性能。

試驗參數(shù)設(shè)置：姿態(tài)誤差：O.Olrad，加計、陀螺刻度因子誤差：500ppm （10-6）；加計、陀螺安裝誤差：300"，加計零偏：1×l0-4g，陀螺零偏：o.1（°）/h，加計噪聲方差：1xlO-6g，陀螺噪聲方差：0.001（°）/h。轉(zhuǎn)臺位置誤差：O.lm，速度誤差：O.Olm/s，角度誤差：10"。轉(zhuǎn)速：10（°）/s；仿真時間：216s（一個編排周期）。初始協(xié)方差矩陣為：經(jīng)度、緯度（lx10-3rad）2，高度（lOm）2，速度（1m/s）2，角度（lrad）2，辨識參數(shù)（1×10-2）2。

標(biāo)定性能評價標(biāo)準(zhǔn)：使用相對誤差、均方根誤差（RMSE）和相對均方根誤差（RMSE_rela）衡量標(biāo)定精度，使用標(biāo)準(zhǔn)化估計誤差平方（Normalized Estimation ErrorSquared，NEES）衡量濾波一致性。一致性是為了描述濾波器給出的P陣是否能夠準(zhǔn)確描述狀態(tài)估值的不確定性，通過狀態(tài)估值的概率分布函數(shù)來定義。假設(shè)k時刻的狀態(tài)參數(shù)估計誤差VXk和對應(yīng)的協(xié)方差矩陣為∑Xk，定義NESS=VXk∑-1XKCVTXb，若濾波結(jié)果一致，并為近似線性高斯，則NESS滿足X2分布，可通過假設(shè)檢驗的方法檢驗濾波結(jié)果是否一致，若檢驗結(jié)果為1，表示一致性好，0表示一致性差。

2.1含有色噪聲模型下的濾波方法試驗分析

2.1.1參數(shù)設(shè)置

擴(kuò)維KF（狀態(tài)和量測擴(kuò)維KF）狀態(tài)參數(shù)設(shè)置為：加計零位方差1×l0-5g，隨機(jī)游走10ug√Hz；陀螺零偏方差0.01（°）m，一階馬爾可夫相關(guān)時間為1s，均方值0.0001（（°）/h2，角度隨機(jī)游走系數(shù)0.00015/√h，其他參數(shù)設(shè)置同KF。

擴(kuò)維KF量測參數(shù)設(shè)置為：量測噪聲為一階馬爾可夫過程，相關(guān)時間為ls；轉(zhuǎn)臺誤差標(biāo)準(zhǔn)差：位置O.Olm2，速度0.0001（m/s）2，角度100（"）2，其他參數(shù)設(shè)置同KF。

擴(kuò)維KF的參數(shù)設(shè)置是將上述兩種算法的參數(shù)設(shè)置結(jié)合。H無窮算法的參數(shù)設(shè)置同狀態(tài)和量測擴(kuò)維KF。

2.1.2仿真試驗

首先采用KF和狀態(tài)擴(kuò)維卡爾曼濾波對系統(tǒng)噪聲是有色噪聲的慣導(dǎo)誤差模型參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，為防止濾波發(fā)散，設(shè)置系統(tǒng)噪聲方差陣為高斯白噪聲方差陣和一階馬爾可夫過程均方值之和；其次對量測噪聲是有色噪聲模型的量測擴(kuò)維卡爾曼濾波與卡爾曼濾波結(jié)果進(jìn)行對比；最后對系統(tǒng)噪聲和量測噪聲都是有色噪聲時的濾波結(jié)果與卡爾曼濾波結(jié)果進(jìn)行對比。由于篇幅限制，這里僅列出系統(tǒng)和量測噪聲均為有色噪聲時的濾波結(jié)果，如圖2所示。H無窮中θ設(shè)置為0.2，KF與H無窮濾波結(jié)果對比如圖3所示。擴(kuò)維KF與H無窮算法的精度對比如圖4所示。

以KF、擴(kuò)維KF為例分析算法與模型匹配的重要性。采用真實的誤差傳播方程得到狀態(tài)真值，再分別采用KF和擴(kuò)維KF來實現(xiàn)參數(shù)標(biāo)定，蒙特卡羅仿真結(jié)束時，濾波估計誤差以及濾波給出的理論3σ（其中σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差）邊界圖如圖5、圖6所示，其中3σ值由濾波結(jié)束時的誤差協(xié)方差陣給出的狀態(tài)誤差方差值得到，圖中用兩條直線表示，黑點(diǎn)為每次仿真結(jié)束時的誤差點(diǎn)。若誤差點(diǎn)落在3σ邊界線之間，則說明濾波算法與真實模型匹配，否則不匹配。表1和表2中列出了KF和擴(kuò)維KF的其他指標(biāo)對比（這里僅列出x軸），NEES表示算法的一致性。0表示一致性差，1表示一致性好，說明濾波算法與慣導(dǎo)誤差模型類型一致。

從圖4可以看出，同時采用狀態(tài)擴(kuò)維和量測擴(kuò)維法可有效實現(xiàn)狀態(tài)噪聲和量測噪聲為有色噪聲時的最優(yōu)濾波，與卡爾曼濾波相比，估計精度有所提高。

由于一階馬爾可夫有色噪聲被認(rèn)為是介于高斯白噪聲和隨機(jī)常值之間的一種噪聲，相關(guān)時間分別為采樣時間和無窮大。實際建模中，是否需要針對一階馬爾可夫單獨(dú)建模以及建模后能否估計出來，這與相關(guān)時間及慣導(dǎo)工作時間有關(guān)系。

因此，在工程上可遵循以下建議：

（1）若相關(guān)時間很短（采樣時間的10倍以內(nèi)），可直接將一階馬爾可夫噪聲等價為高斯白噪聲，不必單獨(dú)建模，即使單獨(dú)建模，也不易與高斯白噪聲分離開。

（2）若相關(guān)時間較長（大于采樣時間的50倍），且慣導(dǎo)工作時間小于相關(guān)時間，n倍（n一般大于10），可針對一階馬爾科夫噪聲單獨(dú)建模，但此種情況下，隨機(jī)常值和一階馬爾可夫不易分離，只能估計出兩者之和。

（3）若相關(guān)時間較長（大于采樣時間的50倍），且慣導(dǎo)工作時間大于相關(guān)時間n倍（n一般大于100），必須對一階馬爾可夫噪聲單獨(dú)建模，此時，隨機(jī)常值和一階馬爾可夫易分離，采用狀態(tài)擴(kuò)維或量測擴(kuò)維法可比較準(zhǔn)確地估計出隨機(jī)常值和一階馬爾可夫噪聲。

（4）若相關(guān)時間特別長，遠(yuǎn)大于采樣時間和慣導(dǎo)工作時間，可直接將一階馬爾可夫噪聲等價為隨機(jī)常值，不必單獨(dú)建模，即使單獨(dú)建模，也不易與隨機(jī)常值分離開來。

由圖5可看出，H無窮濾波估計精度較高，當(dāng)θ為0.2時，與直接采用卡爾曼濾波相比，精度稍有提高。但在濾波環(huán)境很差、系統(tǒng)噪聲和量測噪聲沒有很明顯的規(guī)律可循時，可使用H無窮濾波，并通過參數(shù)的調(diào)整自適應(yīng)改變?yōu)V波的精度和魯棒性。因此，從工程應(yīng)用角度考慮，若系統(tǒng)滿足標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波條件，濾波環(huán)境較好時可直接采用卡爾曼濾波，若濾波環(huán)境較差，采用H無窮濾波能保證性能較穩(wěn)定，不易發(fā)散，但在精度方面會有一定的損失。

通過對比表1和表2中的參數(shù)精度，可以看出，在含有色噪聲的模型中，擴(kuò)展KF的濾波精度比KF高；NEES顯示擴(kuò)展KF一致性好，KF一致性差，說明擴(kuò)展KF與含有色噪聲的誤差模型匹配。

為此，含有色噪聲模型下濾波算法綜合評價見表3，分為好、一般、差三個等級。

2.2噪聲統(tǒng)計特性時變?yōu)V波方法試驗分析

2.2.1參數(shù)設(shè)置

Sage-Husa自適應(yīng)濾波的參數(shù)設(shè)置與KF相同；改進(jìn)的自適應(yīng)濾波采用線性系統(tǒng)模型，參數(shù)設(shè)置同KF。由于實際中的噪聲變化規(guī)律不能得到，所以對初始系統(tǒng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)三種變化規(guī)律：正弦變化、線性變化和指數(shù)變化。其中，系統(tǒng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為正弦變化和線性變化時，設(shè)置自適應(yīng)濾波的遺忘因子為0.85；系統(tǒng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為指數(shù)變化時，設(shè)置自適應(yīng)濾波的遺忘因子為0.7。

2.2.2仿真試驗

對漸消記憶指數(shù)加權(quán)Sage-Husa自適應(yīng)濾波的100次蒙特卡羅仿真中，兩次發(fā)散，對其他98次統(tǒng)計，結(jié)果見表4。對改進(jìn)的自適應(yīng)濾波算法的仿真試驗結(jié)果如圖7所示。

從表7可看出，采用改進(jìn)Sage-Husa自適應(yīng)濾波方法誤差較大，并不能達(dá)到預(yù)想的效果。分析原因，這是因為改進(jìn)Sage-Husa自適應(yīng)濾波存在噪聲統(tǒng)計特性估計和狀態(tài)估計之間耦合性太強(qiáng)。初始條件下，噪聲統(tǒng)計特性估計不準(zhǔn)確，就很大程度影響了狀態(tài)估計的準(zhǔn)確性，進(jìn)而相互影響，導(dǎo)致估計結(jié)果惡化或濾波發(fā)散。因此，在實際慣導(dǎo)誤差模型參數(shù)標(biāo)定過程中，改進(jìn)Sage-Husa自適應(yīng)濾波效果不理想。

從圖9 （a）可以看出，當(dāng)初始系統(tǒng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差滿足正弦變化時，采用自適應(yīng)濾波的標(biāo)定結(jié)果相比于卡爾曼濾波精度較高。從圖9 （b）可以看出，當(dāng)初始系統(tǒng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差滿足線性變化時，采用自適應(yīng)濾波的標(biāo)定結(jié)果相比于卡爾曼濾波精度較高。從圖9 （c）可以看出，當(dāng)初始系統(tǒng)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差滿足指數(shù)變化時，采用自適應(yīng)濾波的標(biāo)定結(jié)果相比于卡爾曼濾波精度較高。

這是因為自適應(yīng)濾波利用了噪聲濾波器和平滑器作為噪聲統(tǒng)計估計器。因此，在實際工程應(yīng)用中，若未知系統(tǒng)和量測噪聲統(tǒng)計特性，不能采用卡爾曼濾波時，可采用改進(jìn)自適應(yīng)濾波方法以達(dá)到相對較高的估計精度。

噪聲統(tǒng)計特性未知或時變模型下濾波算法綜合評價簡述見表5。

3結(jié)束語

本文研究了慣性導(dǎo)航系統(tǒng)誤差模型標(biāo)定中不同的濾波方法。首先對不同條件下的濾波算法進(jìn)行理論分析與總結(jié)，進(jìn)而通過仿真驗證多種濾波算法在慣導(dǎo)誤差模型標(biāo)定中的有效性及其適用條件，得出算法的應(yīng)用建議，為慣導(dǎo)誤差模型標(biāo)定濾波方法選擇提供了一定的工程應(yīng)用指導(dǎo)，這對提高慣導(dǎo)誤差模型標(biāo)定精度具有較強(qiáng)的借鑒意義。