考慮維修力量影響及載荷動態(tài)分配的k/n系統(tǒng)模糊可靠性分析

黎放，何有宸，狄鵬，陳童，尹東亮

海軍工程大學 管理工程系， 武漢 430033

工程實踐中，由于存在人員準備、故障檢測及修理設備啟動等環(huán)節(jié)，使得維修活動并不一定能立即開展，且復雜的外部環(huán)境及自身因素影響導致系統(tǒng)部件性能具有一定模糊性的同時，部件間的故障相關現(xiàn)象也對系統(tǒng)可靠性有著不可忽視的影響。

Murthy和Nguyen于1985年首次提出了故障相關這一概念[1]，隨后學者們對此開展了豐富的研究。目前，一般將故障相關分為3類[2-4]：Ⅰ類為故障傳播，即某部件失效會以一定概率引發(fā)其余工作件失效；Ⅱ類為故障率相關，即某部件失效后會引發(fā)剩余部件的失效率增大，加速劣化進程；Ⅲ類為失效沖擊損傷，即一個部件失效的瞬間對其余部件產生沖擊，且具有累積性的現(xiàn)象，累積的損傷達到閾值即引發(fā)部件失效。國內方面，高文科等[5]以部件間存在Ⅰ、Ⅲ類故障相關且存在不完全覆蓋情形的主輔并聯(lián)系統(tǒng)為對象，建立了(T,N)預防性更換策略優(yōu)化模型，并通過算例分析了故障檢測、損傷累積等因素對系統(tǒng)可靠性的影響；周金宇和謝里陽[6]對存在共因失效的串并聯(lián)不可修系統(tǒng)進行研究，分析了共因失效的發(fā)生與作用機理，采用載荷離散方法及概率發(fā)生函數(shù)相結合的思路建立了多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性定量評估模型；張卓琦等[7]在考慮Ⅱ類故障相關的基礎上，研究了兩部件系統(tǒng)的維修策略問題，運用更新過程理論建立了期望維修成本率解析模型，確定了最優(yōu)維修策略。

值得注意的是，現(xiàn)有關于故障相關問題的研究較少考慮存在故障相關閾值的情形。實際上，系統(tǒng)部件失效后并不一定引起剩余部件劣化速度的加快，而是存在一定閾值，當部件承受載荷超過閾值時才會引發(fā)故障相關，導致失效進程加快。此類問題中，載荷分配較為常見，即系統(tǒng)將承受載荷按一定策略分配給系統(tǒng)中的部件共同承擔。此類模型的特點是當某一部件失效后，系統(tǒng)會將此部件承擔的載荷重新分配給其余工作件[8]。工程實際中存在此類載荷分配機制的系統(tǒng)較為普遍，例如機械系統(tǒng)中，多機械臂搬運物體的動態(tài)載荷分配[9]、基于載荷分布的電力系統(tǒng)優(yōu)化[10]等。研究同型部件構成的k/n系統(tǒng)故障相關問題，考慮載荷平均分配的情形較為符合實際[8]。

此外，在進行常規(guī)可靠性研究的同時，學者們注意到由于長期運行導致劣化累積及外部環(huán)境等因素的制約，系統(tǒng)的狀態(tài)性能水平及參數(shù)存在一定的模糊性，使得系統(tǒng)可靠性建模較為困難。針對這一問題，國內外學者以模糊數(shù)學為基礎展開了研究。Ding和Lisnianski[11]首先提出了模糊多狀態(tài)系統(tǒng)的概念，并引入了模糊通用發(fā)生函數(shù)研究系統(tǒng)性能水平和狀態(tài)概率均為模糊數(shù)的多狀態(tài)系統(tǒng)。鄢民強等[12]針對實際工程中多狀態(tài)系統(tǒng)的性能及其概率分布無法準確獲得和不完全覆蓋的問題，利用模糊發(fā)生函數(shù)分析多狀態(tài)系統(tǒng)并用截集的形式表示元件性能。涂春泰等[13]對含有旁聯(lián)系統(tǒng)、冷貯備系統(tǒng)、熱貯備系統(tǒng)、串并混聯(lián)系統(tǒng)等子系統(tǒng)的大型復雜可修系統(tǒng)的模糊可靠性進行了研究，得到了模糊穩(wěn)態(tài)可用度和模糊可靠度，Liu和Huang[14]就多狀態(tài)系統(tǒng)部件性能和狀態(tài)轉移率均為模糊數(shù)的情況，利用模糊通用發(fā)生函數(shù)法分析了不可修模糊多態(tài)系統(tǒng)的可靠性，更進一步地，胡林敏[15]研究了部件失效轉移率、修復轉移率和狀態(tài)性能水平均為模糊數(shù)的串并混聯(lián)多狀態(tài)系統(tǒng)，并提出了評估系統(tǒng)模糊可用度的新方法，此方法不需計算系統(tǒng)模糊狀態(tài)性能水平與系統(tǒng)要求的總模糊性能水平差的隸屬函數(shù)，從而可大大簡化計算的復雜程度，Uprety和Patrai[16]運用失效次數(shù)和部件修復次數(shù)均遵循模糊指數(shù)分布的馬爾可夫模型描述可修系統(tǒng)的可靠性，使用水平截集法，從傳統(tǒng)的清晰集出發(fā)，得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)指標隸屬函數(shù)的截集區(qū)間，Garg[17]為了解決工業(yè)系統(tǒng)中存在的不確定性問題，建立了模糊狀態(tài)的馬爾可夫模型，使用Runge-Kutta方法評估了瞬時和穩(wěn)態(tài)下的系統(tǒng)模糊可靠性，并通過改變系統(tǒng)的失效轉移率和修復轉移率對靈敏度進行分析，從而找出關鍵部件。

另一方面，考慮到部件參數(shù)及狀態(tài)性能水平具有一定模糊性，可能造成故障不完全覆蓋的情形。工程實踐中，系統(tǒng)的冗余管理功能可能發(fā)生失效，導致系統(tǒng)無法正確地檢測、隔離以及調整發(fā)生失效的冗余組件，進而可能引發(fā)系統(tǒng)的整體失效。這些未被檢測出的故障即為不完全覆蓋(ImPerfect Coverage, IPC)故障。針對不完全覆蓋問題，Amari等[18-19]進行了較為深入的研究，隨后Myers[20]在研究不完全覆蓋對k/n系統(tǒng)可靠性影響時提出了4種不完全覆蓋模型下系統(tǒng)可靠度的計算方法，Peng等[21]首先采用了一種通用生成函數(shù)對故障不完全覆蓋條件下串并聯(lián)結構的階段性任務系統(tǒng)進行可靠性分析，研究了提升系統(tǒng)可靠性的最優(yōu)結構并驗證了方法的正確性及適用性。考慮到部件參數(shù)性能存在不確定性可能給故障的完全檢測帶來一定困難，因此在系統(tǒng)可靠性分析中適當考慮故障不完全覆蓋的情形是較為合理的。

基于上述分析，針對現(xiàn)有研究較少將部件性能存在模糊性及部件間故障相關現(xiàn)象同時納入建模中對系統(tǒng)可靠性進行評估，本文以k/n系統(tǒng)為研究對象，認為部件承受的載荷是動態(tài)分配的，即某一部件失效后會將自身載荷轉移到剩余工作件，超過故障相關載荷閾值時就會導致剩余工作件失效率增大。結合系統(tǒng)長期運行后狀態(tài)參數(shù)及性能水平存在不確定性的情形，將部件失效轉移率、修復轉移率均假定為模糊數(shù)的同時，考慮了維修活動具有準備期及故障不完全覆蓋這一常見情況，建立了多修理工且維修帶準備期的系統(tǒng)可靠性模型，通過逆向逐層分析的思路得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率的遞推表達式。最后運用Zadeh擴張原理分析了系統(tǒng)模糊狀態(tài)概率的隸屬函數(shù)，采用參數(shù)規(guī)劃技術得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標，并通過算例給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)指標隨部件參數(shù)模糊程度的變動情況。

1 問題描述及重要參數(shù)

本文相關參數(shù)符號的定義如表1所示。考慮k/n系統(tǒng)，系統(tǒng)共有n個部件，至少有k個部件工作時系統(tǒng)正常運行，若出現(xiàn)n-k+1個部件發(fā)生故障，則系統(tǒng)停機接受維修，此時部件不再發(fā)生劣化。

表1 參數(shù)符號及定義Table 1 Parameters and definitions

系統(tǒng)共配備有c個修理工，每個修理工一次只能修理一個故障件，且維修前需要一定時長的準備期。修理完一個部件后，若系統(tǒng)中仍有故障件，則修理工繼續(xù)進行維修，當系統(tǒng)中無等待維修的故障件時，修理工進入空閑期。系統(tǒng)各部件之間存在故障相關，且維修時存在故障不完全覆蓋的情形。下面對問題作進一步描述。

2) 某部件失效時將自身載荷轉移到剩余工作件，超過部件載荷承擔閾值時會引發(fā)故障相關。

7) 所有參數(shù)均服從指數(shù)分布且相互獨立。

2 模型構建與分析

2.1 系統(tǒng)建模

令Z(t)={0,1,…，n-k+1}、J(t)={0,1,…，c}分別表示t時刻系統(tǒng)中故障件的數(shù)量及處于工作狀態(tài)的修理工人數(shù)。系統(tǒng)中有n-k+1個故障件時停機。接到維修任務后，修理工由空閑期經(jīng)過一段隨機時間的準備后進入忙期，開始對故障件進行維修。假設每個修理工一次只能修理一個部件，系統(tǒng)的狀態(tài)轉移過程見圖1。由此可得瞬時狀態(tài)下模糊狀態(tài)概率微分方程組為

第1行：

(1)

第c行：

(2)

圖1 系統(tǒng)模糊狀態(tài)轉移圖Fig.1 Diagram for system fuzzy state transition

第2≤j≤c-1行：

(3)

2.2 逆向求解遞推關系

求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率方程組一般可以采用直接求解法，但隨著系統(tǒng)狀態(tài)及變量數(shù)目的增多，運算量會出現(xiàn)幾何式遞增，尤其是對于大型復雜多狀態(tài)系統(tǒng)，直接求解較為困難。通過建立系統(tǒng)的無窮小生成元矩陣，采用迭代的方法也可得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，矩陣幾何解法是處理此類問題的有力工具，且能將結果精確到任意程度。但是同樣的，假如系統(tǒng)較為復雜，參變量數(shù)量過多，無窮小生成元矩陣的建立本身就較為困難，同時需要經(jīng)過迭代運算，可能會出現(xiàn)運算量過大導致計算機運行負擔較重的情形。

首先根據(jù)狀態(tài)轉移微分方程組求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率方程組。由式(1)可得：

(4)

則可得:

2≤i≤c

c+1≤i≤n-k

可得:

2≤i≤c

(6)

(7)

(8)

(9)

則可得

2≤i≤c

(10)

c+1≤i≤n-k

(11)

1≤i≤n-k

(12)

由此可得

(13)

式中：Qi、Wi為常系數(shù)。又由

2≤i≤c

(14)

c+1≤i≤n-k

(15)

再次令

則可得

2≤i≤c(16)

c+1≤i≤n-k

(17)

2≤i≤c

(18)

c+1≤i≤n-k

(19)

那么可知

{Qi-1=XiQi+Yi+1Qi+1+Fi

Wi-1=XiWi+Yi+1Wi+12≤i≤c

(20)

c+1≤i≤n-k

(21)

注意到

又經(jīng)遞推式有

故可求出

則可得

(22)

c≤i≤n-k

可得

c≤i≤n-k

(23)

等價于

Ai-Ai-1=Bi+1-Bi+Ci

c≤i≤n-k

(24)

式中：

(25)

由遞推式可得

c≤i≤n-k

(26)

c≤i≤n-k

(27)

又因為

故可得

c≤i≤n-k

等價于

c≤i≤n-k

(28)

Vi-3Ki-2Ki-1Ki+Vi-2Ki-1Ki+

Vi-1Ki+Vi+…=

c≤i≤n-k

(29)

3 故障相關規(guī)則建立

部件間的故障相關現(xiàn)象大量存在，對系統(tǒng)可靠性造成一定影響。例如載荷分配系統(tǒng)中，某一部件失效會將自身載荷轉移到剩余工作件上，導致其余工作件的負擔增大，加速失效。

此類例子較為常見，如車輛超載導致大橋承重梁出現(xiàn)裂痕，繼而引發(fā)斷裂現(xiàn)象；又如颶風損毀橋梁斜拉索，導致其余鋼索承受應力增大，超過應力極限時容易出現(xiàn)裂紋，進而發(fā)生斷裂的情況；車輛系統(tǒng)中，一系彈簧、一系垂向減振器、二系空氣彈簧、二系垂向減振器均承擔著車輛垂向減振任務，若其中之一失效，將導致施加于其余工作件的應力增大，致使其失效率隨之增大。

然而值得注意的是，現(xiàn)有研究大多是在故障相關現(xiàn)象必然發(fā)生這一前提下進行的。但在工程實際中，故障相關關系雖然廣泛存在，卻大多擁有一定的發(fā)生條件。比如某一部件失效，并不一定會引發(fā)剩余工作件的失效率增大，而是存在故障相關載荷閾值，即部件承擔的載荷超過某一閾值時，才會從緩慢的自然失效過程進入加速劣化的狀態(tài)。

對于此類存在載荷動態(tài)分配現(xiàn)象的實際問題，Power Law規(guī)則常用于可靠性建模，一定程度上能夠較好地反映系統(tǒng)部件間的故障相關關系。考慮到系統(tǒng)由同型部件構成，故假設任意時刻系統(tǒng)承擔的總載荷都平均分配給工作件是較為合理的。

(30)

(31)

式中：li=W/(n-i)為系統(tǒng)中有i個部件失效時剩余每個工作件的承擔載荷，W為系統(tǒng)承受的總載荷。

4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)指標

(32)

(33)

結合各項參數(shù)，可得狀態(tài)概率的下邊界為

0≤α≤1

(34)

上邊界為

0≤α≤1

(35)

4.1 模糊穩(wěn)態(tài)可用度

又由清晰集下系統(tǒng)可用度定義，可得系統(tǒng)模糊穩(wěn)態(tài)可用度為

(36)

(37)

(38)

4.2 模糊維修忙期概率

認為只要系統(tǒng)中有一個修理工正在工作，修理工就處于忙期，則修理工繁忙的模糊穩(wěn)態(tài)概率為

(39)

(40)

(41)

4.3 忙期修理工平均人數(shù)

系統(tǒng)中正在進行維修任務的修理工平均數(shù)量為

(42)

(43)

(44)

4.4 系統(tǒng)故障件平均數(shù)量

系統(tǒng)中平均故障件數(shù)量為

(45)

(46)

(47)

4.5 系統(tǒng)平均換件數(shù)量

由部件的不完全覆蓋假設可得

(48)

(49)

(50)

5 實例分析

可靠性數(shù)據(jù)的獲得通常有兩種途徑，即可靠性試驗和現(xiàn)場收集[22]。前者需經(jīng)過大量試驗，消耗的資源、時間較多，但可信度較好。后者通過現(xiàn)場實地獲得，操作較為方便，但可能出現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)不穩(wěn)定導致數(shù)據(jù)失真的情況。

考慮到本文研究的是系統(tǒng)長期運行后處于穩(wěn)態(tài)的情形，在對歷史數(shù)據(jù)進行收集整理的基礎上，通過篩選將誤差較大的數(shù)據(jù)剔除后進行技術處理，得到系統(tǒng)部件的所有性能參數(shù)、人員維修速率及維修準備率，運用于本文算例中說明模型的適用性。

1)c

當c

運用2.2節(jié)提出的求解思路，給出系統(tǒng)的模糊穩(wěn)態(tài)指標，如圖2所示。

由圖2(a)可知考慮部件之間的故障相關性時，可用度約在0.872～0.992之間，忽略故障相關影響時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度在0.971～0.999之間，可用度區(qū)間下界差值為0.099，可以看出是否考慮故障相關性對系統(tǒng)可用度區(qū)間下界影響較大。由圖2(b)可知考慮部件故障相關性的影響，修理工繁忙的穩(wěn)態(tài)概率在0.28～0.67之間，忽略故障相關影響時，忙期概率為0.265～0.58之間。由圖2(c)可知故障相關時，系統(tǒng)中處于忙期的修理工平均人數(shù)為0.335～0.965之間，忽略故障相關時，忙期的平均人數(shù)為0.29～0.755之間。如圖2(d)，考慮載荷動態(tài)分配對部件失效率的影響，可知系統(tǒng)中故障件的平均數(shù)量在0.62～1.75之間，忽略部件故障相關性，故障部件的平均數(shù)量為0.54～1.31。根據(jù)圖2(e)可知考慮故障相關時需進行換件維修設備的平均數(shù)量為0.026～0.265，忽略故障相關時為0.025～0.198。

2)c≥n-k+1

當c≥n-k+1時，由于單個修理工每次只能對一個故障件進行維修，若c>n-k+1,則會出現(xiàn)修理工空閑的情況，此時可對空閑修理工進行其余任務的指派，以提高生產效率。因此只需考慮c=n-k+1的情形，即c=4。此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率方程組為

圖2 c

由圖3(a)可知考慮部件之間的故障相關性時，可用度約在0.922～0.996之間，忽略故障相關影響時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度在0.982～0.999之間，可用度區(qū)間下界差值為0.06，可以看出故障相關性對系統(tǒng)可靠性存在一定影響。由圖3(b)可知考慮部件載荷動態(tài)分配時修理工繁忙的穩(wěn)態(tài)概率在0.275～0.635之間，忽略故障相關影響時，忙期概率為0.26～0.57之間。由圖3(c)可知考慮部件載荷動態(tài)分配時，系統(tǒng)中處于忙期的修理工平均人數(shù)為0.42～1.35之間，忽略故障相關時，忙期的平均人數(shù)為0.26～1之間。如圖3(d)，考慮故障相關對部件失效率的影響，可知系統(tǒng)中故障件的平均數(shù)量在0.6～1.55之間，忽略部件故障相關性，故障部件的平均數(shù)量為0.54～1.24。根據(jù)圖3(e)，考慮故障相關時，系統(tǒng)中需要進行換件維修設備的平均數(shù)量為0.026 5～0.235，忽略故障相關時為0.025～0.175。

圖3 c≥n-k+1對應的系統(tǒng)模糊穩(wěn)態(tài)指標Fig.3 System fuzzy steady features with c≥n-k+1

同時，由于系統(tǒng)中部件之間的故障相關關系服從Power Law規(guī)則，因此載荷分配系數(shù)β0的變化對系統(tǒng)整體可靠性的影響也不容忽視(見圖5)。圖中載荷分配系數(shù)1為β1=1.2,系數(shù)2為β2=1.8,系數(shù)3為β3=2.4,系數(shù)4為β4=3.0。可以看出，當載荷分配系數(shù)逐漸增大時，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度降低，這與工程實際較為相符，且更進一步地，當載荷分配系數(shù)為β4=3.0,可用度區(qū)間的上下界差值達到了約0.47，反映出部件參數(shù)模糊性對系統(tǒng)可靠性評估的影響較大。從中不難得知，當系統(tǒng)的載荷分配系數(shù)逐漸增大，部件參數(shù)性能的不確定性對系統(tǒng)可用度的影響也逐漸增大，主要體現(xiàn)在可用度區(qū)間上下界差值的擴大。

通過分析可得系統(tǒng)主要穩(wěn)態(tài)指標，如用戶較為關心的穩(wěn)態(tài)可用度，管理者更為關心的修理工忙期概率和正在進行維修活動的修理工平均人數(shù)，以及備件保障方注重的故障件平均數(shù)量等。考慮到工程實際中存在一定的不確定性因素，得到的穩(wěn)態(tài)指標均為區(qū)間范圍，有利于更好地為管理層提供決策支持，合理進行任務分工及資源分配，在保證系統(tǒng)可用度的前提下盡可能降低資源消耗。例如第1個例子中考慮故障相關時處于維修忙期的修理工平均人數(shù)在0.335～0.965之間，那么從長遠考慮，只需準備最多一個修理工對應的資源或經(jīng)費即能保證維修任務的順利完成。又例如第2個例子中，考慮故障相關時故障件的平均數(shù)量為0.6～1.55之間，那么從長遠看，備件保障方確保隨時能夠提供兩臺設備的維修預算費用是較為經(jīng)濟合理的。

圖4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度隨維修準備率的變化Fig.4 Steady state availability of system vs maintenance preparation rate

圖5 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度隨載荷分配系數(shù)變化Fig.5 Steady state availability of system vs load distribution coefficient

6 結 論

長期運行的劣化累積和復雜多變的外部環(huán)境導致系統(tǒng)狀態(tài)性能存在模糊性，且部件間的故障相關問題使得系統(tǒng)可靠性建模尤為困難，本文同時考慮系統(tǒng)模糊性及部件之間的故障相關問題進行研究。

1) 通過分析修理工數(shù)量與k/n系統(tǒng)故障件數(shù)量關系對系統(tǒng)可靠性的影響，便于在保證系統(tǒng)可用的情況下合理安排作業(yè)任務。

2) 維修前存在準備期，且修理工的不同準備速率對系統(tǒng)可靠性指標具有重要影響，尤其對于維修準備速率不定的情形，模糊理論可以較好評估。

3) 將故障相關性分析及不完全覆蓋的情形納入系統(tǒng)可靠性建模之中，認為故障相關的發(fā)生存在一定閾值，以Power Law規(guī)則為基礎，考慮系統(tǒng)載荷動態(tài)分配的k/n模型，評估結果較為符合實際。

5) 最后，通過算例給出了部件參數(shù)不同模糊程度對系統(tǒng)可靠性指標的影響，并對關鍵參數(shù)進行分析，為維修力量的合理指派及降低資源消耗提供了參考，對研究復雜條件下的多狀態(tài)系統(tǒng)具有一定意義。

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