用概率學方法解決隨機性抽獎是否公平的問題

張道廣 劉元芬

摘 要：利用概率學解決隨機性抽獎是否公平的問題，并建立概率模型，最終結果是每個人的中獎概率相等，且公平性不會被抽獎順序、獎品個數影響。

關鍵詞：條件假設;隨機;抽中概率;中獎率

假設：從m個物體（物體和物體間不存在區別）中不放回的抽取，每次抽1個，由m個人一次抽取，并且設定其中一個物體為“獎”。

那么：m個人依次為：X1，X2，X3，...，Xm

抽中概率依次為：■，■，■，...，■，1.

取Xk（1≦k≦m）

則在前（k-1）個人都沒有抽中的情況下

第k人抽中的概率P中獎=■

前（k-1）人抽不中的概率P未中獎=■·■…■=■

即：xk的中獎率=■

由此可得：x1，x2....xm他們每個人的中獎率均為■。

我們繼續假設：原條件不變，“獎”的個數上調為n

那么：

由第一部分可得，中獎的概率與次序無關。

∴我們令m=tn+k

再將m個人分成n組

人數依次：t，t，t，.....t，t，t+k

并令每組，有且只有一人中獎

由第一部分的結論可得：每組內每人中獎概率相同為■

則每個人被分入一組并中獎的概率=■·■=■或■·■=■

共有n個分組，∴每人中獎概率=■

對于同一個問題，我們還有一種論證方法。我們將其看作一個連續進行n的，每次一人中獎的中獎，不重復中獎。這n輪抽獎中，每人抽中的概率均等

∴個人中獎率相等。

Pk=P1·P2=■

即人均中獎率=該場獎品/該場人數

在前（k-1）輪中不中P1=■·■···■

在第k輪中抽中P2=■

接下來，我們更改抽獎人數為a，且a≠m，有以下情況

①a>m ②am-n）

①a>m

我們將沒能參與抽獎的人視作參與抽獎卻未能中獎的人，即取Z，使m+z=a

我們便導出了在第二部分的結論：

人人中獎率相等且為P=■;

②a

我們將中獎人數列出：0，1，2，...，n，（n+1）種，依次分別為 B0，B1，B2，...，Bn種情況，在任意一種情況中，都可以套用第二部分的結論。即，人人中獎率相等，中獎率根據情況不同依次為：P0，P1，P2，...，Pn

每種情況中獎概率為■，且每種情況出現的概率為■。

③am-n

我們將中獎人數列出，（a-m+n），（a-m+n+1），...，n

依次分為Ba-m+n，...，Bn，共（m-a+1）種情況。

在任意一種情況中，我們都可以套用第二部分的結論：即從中獎率相等，中獎率根據情況不同依次為：Pa-m+n，Pa-m+n+1，...，Pn;并且每種情況出現的概率相等為■。

綜上所述：隨機性抽獎的公平性不會被抽獎人數，獎品個數，抽獎次順序所影響，并且，人均中獎概率與上述變量存在一定關系，同時，我們可以得到一個數學模型：

在一次有m次抽獎機會，n個獎品，a個人參與的抽獎中，根據a與m的關系，可以代入：

①Pn （a≥m）

P中獎=②（P0+P1+P2+...+Pn） ?（a

③（P0+P1+P2+...+Pn） ?（am-n）

參考文獻：

[1]李俊，中小學概率的數與學[M]，上海;華東師范大學出版社，2003.