平面向量相關(guān)題目解題方法

魏玉婧

摘 要：平面向量既有大小又有方向，關(guān)于向量運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算差別很大，這一定程度上加大了向量題目的難度，但平面向量廣泛運(yùn)用于物理學(xué)和數(shù)學(xué)，因此熟練掌握平面向量的解題方法必不可少。目前，各類教輔資料上所總結(jié)的解題方法魚龍混雜，讓處于學(xué)習(xí)階段的學(xué)生整理出適合自己的解題方法難度較大。針對(duì)這種現(xiàn)象，作者整理出四種常用且通俗易懂的解題方法，并以解題思路的形式來(lái)展現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：平面向量;解題方法

一、坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是所有方法中適用范圍最廣，最容易操作的方法。先建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，再利用已知條件構(gòu)造一個(gè)圖形，標(biāo)記圖中特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出向量，根據(jù)已知條件列出方程進(jìn)行計(jì)算。但其實(shí)較難的題目的方程并不可以直接得出答案，這就要求我們?cè)俅谓Y(jié)合坐標(biāo)系二次解答。值得一提的是，當(dāng)題目中的三角形、四邊形等多邊形沒有規(guī)定圖形時(shí)，可以構(gòu)造一個(gè)特殊的圖形。

例題1：已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且■=x■，AN=y■，則■的值為（ ? ）

A.3 ? B.■ ?C.2 ? D.■

題目分析：本題的條件較少，若要在有限的的時(shí)間里取得更高的分?jǐn)?shù)，可以選擇建立坐標(biāo)系以及特殊三角形來(lái)“以偏概全”，因?yàn)檫@種類型的題目一般都是對(duì)于任何三角形都適用的結(jié)論。

解題過程：

設(shè)△ABC是正三角形，G是△ABC的重心，AB=AC=BC=2

∵■=（-1，■） ■=（1，■）

∴■、■、■共線

∵■=（-x，-■x） ■=（y，-■y） ■=（0，-■）

∴■=？姿■+（1-？姿）■

∴0=-？姿x+（1-？姿）y-■=--■？姿x-（1-？姿）■y ∴x=■yy=■

答案為B

二、合成法

合成法可以適用于有圖像的題目，兩個(gè)向量可以合成特殊的向量或圖中已知的向量，也可以適用于純向量計(jì)算，如向量AB與向量BC可以合成向量AC，首先可以減少題目中的向量數(shù)目，使題目更加簡(jiǎn)潔，其次可以更清晰直觀的看出向量之間的聯(lián)系，是解決這一類題目很好的方法

例題2：如圖所示在正六邊形ABCDEF中，若AB=1，則|■+■+■|等于（ ? ）

A.1 ?B.2 ?C.3 ?D.2■

題目分析：因?yàn)槭钦呅危⑶蚁蛄慷际窃趫D中可以找到，所以利用合成的方法，將AB和FE合成，再用新的向量與CD合成，最后求模，如圖

解題過程：

已知AB=1，則DH=2DC=2AB=2，答案選B

三、圖像法

圖像法是最快的方法，因?yàn)樗械南蛄慷际墙⒃趫D像的基礎(chǔ)上，圖像可以清楚的展示出各個(gè)向量之間的聯(lián)系，同時(shí)也是判斷向量之間夾角大小的“捷徑”，利用圖像可以大致判斷夾角的余弦正負(fù)，以及夾角的位置

例題3：已知■⊥■，|■|=|■|=1，|■-■-■|=1，求|■|的范圍

題目分析：已知■， ■的夾角和模，且題目中隱含■+ ■的條件，可以使用圖像法

解題過程：

題目中的|■-■-■|可轉(zhuǎn)變?yōu)閨■-（■+■）|，所以就轉(zhuǎn)變?yōu)榍驩點(diǎn)到圓上距離的范圍，半徑為1，取值范圍是（■-1，■+1）

四、分解法

分解法在數(shù)學(xué)題中一般以用不共線的兩個(gè)向量為基底來(lái)分解的形式出現(xiàn)，將不熟悉的向量分解為熟悉的兩個(gè)向量再來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，思路會(huì)更清晰。在物理學(xué)中分解法又稱為正交分解，常運(yùn)用于解決牛頓三定律相關(guān)問題，且經(jīng)常是將一個(gè)力分解為水平與豎直，利用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來(lái)確定該物體在水平和豎直方向的受力問題，從而列出相關(guān)方程解得答案。

五、結(jié)論

這四種方法常用于解平面向量問題，一個(gè)看似很難的題目，若選擇對(duì)的方法即可“化難為易”，再輔助一些其它定理如：重心比例、角平分線比例、正弦定理、余弦定理等方便解題的定理，一個(gè)難題就可成功解決。