剛性圓柱體渦激振動響應模態特性研究

馮紹軍，熊友明，高 云

西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川成都 610500

圓柱體在一定的來流下，會在其尾部兩側形成交替脫落的漩渦，漩渦脫落會引起圓柱體產生周期性的振動，稱為渦激振動（Vortex induced vibration，VIV）[1]。圓柱體渦激振動現象廣泛存在于工程應用中，如處于空氣中的桅桿、煙囪、橋梁懸索以及處于水中的立管、海底管道、錨鏈等結構，均有可能出現渦激振動響應。當尾部漩渦泄放頻率靠近結構固有頻率時，便會出現鎖定現象，此時圓柱體會發生大幅的、危險的渦激振動響應，這種響應會給結構帶來很大的疲勞損傷。

圓柱體渦激振動問題是一種典型的非線性流固耦合問題，該問題的研究方法主要分為實驗方法[2-5]、計算流體動力學（Computational fluid dynamics，以下簡稱CFD） 方法[6-9]以及經驗模型方法[10-13]。實驗方法分析數據可靠、分析現象直觀，但研究成本較高；CFD方法與經驗模型方法之間最主要的一個區別在于流體力的獲取，CFD方法可通過對模型的計算實時地獲取流體力，而經驗模型方法則是基于經驗系數去近似地模擬流體力；顯然CFD方法在計算精度上占有一定的優勢，但經驗模型方法在計算資源上更占優勢，經驗模型方法由于計算時間快，更適用于實際海洋工程中的多工況問題。尾流振子模型法則是應用較為廣泛的一種經驗模型方法。

本文以揭示剛性圓柱體渦激振動響應的模態特性為出發點，基于改進的尾流振子模型對剛性圓柱體的渦激振動響應模態特性展開了數值研究。具體研究內容如下：建立了結構以及尾流振子的無量綱耦合方程；對無量綱方程進行了線性簡化，并通過解耦分析得到圓柱體渦激振動響應頻率的實部、虛部以及升力與位移之間的相位差等參數；研究了不同質量比的圓柱體在不同折合速度下的渦激振動響應模態特性。

1 圓柱體與尾流振子耦合模型

在圓柱體渦激振動響應的模態特性分析過程中通常會出現4個特征頻率[14]：第一個特征頻率為圓柱體的結構固有頻率ωn，該頻率反映的是圓柱體的結構固有屬性；第二個特征頻率為依據斯脫哈爾漩渦泄放關系式計算得到的斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf，值得注意的是該頻率僅為一參考特征頻率；第三個特征頻率為結構發生渦激振動響應時結構的真實振動頻率ωs；第四個特征頻率為結構發生渦激振動響應時尾部流場的真實漩渦泄放頻率ωw。

單位長度直徑為D的剛性圓柱體在均勻來流U作用下引起的橫流方向的渦激振動響應模型如圖1所示。

圖1 剛性圓柱體渦激振動模型

取x方向為順流方向，z方向為鉛直方向，x、y以及z三個方向形成右手直角坐標系。剛性圓柱體在y方向產生橫向位移Y，圓柱體的結構振動方程可以寫為：

式中：T為時間；FL為升力；r為結構阻尼；h為結構剛度；m為單位長度的圓柱體質量，包括結構質量ms以及附加流體質量mf，可表示如下：

式中：ρ為流體密度；CM為附加質量系數，對于圓柱體，CM=1.0。

剛性圓柱體阻尼r包括結構阻尼rs和流體阻尼rf，可表示如下：

式中：γ為黏滯力系數，γ=CD/（4πSt），St為斯脫哈爾數。式（3） 中ωf為根據斯脫哈爾關系式計算得到的斯脫哈爾漩渦泄放頻率（單位為rad/s），可表示為：

采用改進的Van der pol方程來滿足尾流振子的非線性特性，表達式如下：

式中：ε為非線性項中的小參數；A為結構對流體的耦合動力參數；q為無量綱尾流振子變量，可表為：

式中：CL為流體對結構的瞬時升力系數；CL0是對應的靜態圓柱體的橫向升力系數幅值[15]。

將方程（1）和（5）轉換成無量綱形式。令：

式中：所有的參數均為無量綱參數，其中t為無量綱時間，y為無量綱位移，ξ為圓柱體的結構阻尼比，以及μ為無量綱頻率以及質量比，可表示如下：

式中：ωn為結構的固有頻率，Ur為折合速度。式（8）中M可寫作：

2 耦合模型線性簡化

由于本文側重研究圓柱體系統響應的模態特性（頻率特性），由結構動力學基礎知識[16]可知，阻尼對系統頻率特性影響較小。因此為了方便公式推導，假設式（8）以及式（9）的第二項（阻尼項）均為0，簡化后表達式如下：

方程（12）和（13）的解表示為如下形式：

式中：y0為無量綱結構振動位移幅值，q0為無量綱升力振子幅值，φ為位移與升力振子之間的相位角；ω為無量綱頻率，可表示為：

式中：ωs以及ωw分別表示圓柱體發生渦激振動響應時結構的真實振動頻率以及尾部流場的真實漩渦泄放頻率。將式（14）代入式（12）以及式（13）得到：

式（16）恒為0可得到左邊第一項矩陣構成的行列式為恒為0，對其進行展開可得到頻率特征方程：

式（17）的解可表示為：

聯合式（18）和式（19）可知：

3 分析與討論

本文分析了質量比μ對圓柱體渦激振動響應模態特性的影響，分析過程中研究了4種不同的質量比μ，分別為2、5、30、250。對于每種質量比μ，折合速度Ur區間取為0～15。圖2到圖5分別給出了μ=2、5、30、250這四種質量比時不同折合速度Ur下的圓柱體渦激振動響應模態特性，包括頻率實部Re[ω]，頻率虛部 Im[ω]、頻率比值 -Im[ω]/Re[ω]以及升力與位移之間的相位差φ。

由圖2～5可以看出：對于某個特定質量比、特定折合速度，圓柱體渦激振動響應的頻率實部Re[ω]存在兩個值，第一個值接近圓柱體的斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf（粉紅色點劃線），為流場模態的頻率，即圖中的尾部流場的漩渦泄放頻率ωw（紅色實線）；第二個值接近圓柱體的固有頻率ωn（水平黑色虛線），為結構模態的頻率，即圖中的圓柱體的結構振動頻率ωs（藍色虛線）。當折合速度較小時，ωw小于ωs；隨著折合速度的上升，ωw會偏移斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf，而逐漸偏向圓柱體固有頻率ωn，該現象便是鎖定現象，當折合速度處于鎖定區間時，ωw等于ωs且出現在ωn附近；隨著折合速度的進一步上升，ωw會再次偏移到斯脫哈爾漩渦泄放頻率ωf附近，從而進入非鎖定區間。針對鎖定特性的研究主要有三方面：鎖定開始點、鎖定結束點以及鎖定區間寬度。

圖2 圓柱體渦激振動響應模態特性（μ=2）

圖3 圓柱體渦激振動響應模態特性（μ=5）

圖4 圓柱體渦激振動響應模態特性（μ=30）

圖5 圓柱體渦激振動響應模態特性（μ=250）

表1給出了四種質量比情況下圓柱體渦激振動響應發生鎖定的開始點、結束點以及鎖定區間寬度。

表1 不同質量比下的圓柱體渦激振動鎖定響應特性

由表1可以看出：隨著質量比的增加，鎖定開始點逐漸延后，鎖定結束點逐漸提前，鎖定區間逐漸變窄。表1同樣給出了當折合速度處于鎖定區間時的圓柱體渦激振動響應頻率的最小值以及最大值?？梢钥闯觯寒斦酆纤俣忍幱阪i定區間時，此時結構振動頻率ωs（尾部漩渦泄放頻率ωw）會出現在固有頻率ωn附近，但是并不完全吻合。對于質量比較大（μ=250、300） 的圓柱體，ωs以及ωw與ωn吻合非常良好；但對于質量比較?。é豱=2、5）的圓柱體，ωs以及ωw明顯偏移ωn，此時鎖定區間的最小頻率為0.8 ωn，而最大頻率達到了 1.5 ωn。針對這種偏移現象，Sarpkaya給出了很好的解釋[17]：圓柱體固有頻率是處在靜止流體中的結構固有頻率。但當圓柱體發生振動時，結構的真實固有頻率會逐漸偏移靜止流體中的結構固有頻率，這會導致與結構真實固有頻率吻合的結構振動頻率逐漸偏移靜止流體中的結構固有頻率，偏移量會隨著質量比的減小而呈現上升趨勢。對處于高質量比流體（如空氣）中，偏移量可以忽略[18]，這就會出現結構的振動頻率非常接近結構在靜止流體中的固有頻率；但當結構處在低質量比流體（如水）中，這個偏移量則較為明顯[19]。

圖2到圖5同樣給出了頻率的虛部Im[ω]，頻率虛部反映了振動的特性?？梢钥闯觯涸阪i定區間內，頻率虛部存在一個正值以及一個與正值相反的負值。對于本文中的y=y0eiαt形式，頻率虛部為正值（圖中虛線）意味著圓柱體渦激振動響應為衰減振動，反應結構模態特性；頻率虛部為負值（圖中實線）意味著圓柱體渦激振動響應為不穩定振動，反應流場模態特性。鎖定區間內，流場模態導致的振動為不穩定振動，且占主導。當折合速度歷經鎖定區間時，相位角φ由0逐漸變為π（圖中實線）。當折合速度處于非鎖定區間時，此時頻率虛部為0，意味著結構模態以及流場模態均為穩定振動。

4 結論

本文基于改進尾流振子模型對剛性圓柱體的渦激振動響應模態特性進行了研究，研究了質量比對剛性圓柱體渦激振動響應模態特性的影響。通過研究得到如下結論：

（1）圓柱體的渦激振動響應模態可分為結構模態和流場模態兩種。結構模態頻率靠近圓柱體固有頻率，而流場模態頻率則靠近斯脫哈爾漩渦泄放頻率。

（2）根據結構模態頻率與流場模態頻率是否相互吻合可以將渦激振動響應區間分為鎖定區間以及非鎖定區間。鎖定區間寬度隨著質量比的增加逐漸變窄。折合速度無論是處于鎖定區間還是非鎖定區間，流場模態均占主導。

（3）當折合速度處于非鎖定區間時，由流場模態所產生的主導頻率分布在斯脫哈爾漩渦泄放頻率附近；當折合速度進入鎖定區間時，主導頻率會明顯偏移斯脫哈爾漩渦泄放頻率，而轉移到結構固有頻率附近。

[1]BLEVINS RD.Flow-induced vibration[M].Second ed.Malabar/Florida：Krieger Publishing，Inc，2001.

[2]張永波，郭海燕，孟凡順，等.基于小波變換的頂張力立管渦激振動規律實驗研究 [J].振動與沖擊，2011，30（2）：149-154.

[3]康莊，賈魯生.圓柱體雙自由度渦激振動軌跡的模型試驗[J].力學學報，2012，44（6）：970-979.

[4]高云，劉黎明，付世曉，等.柔性立管渦激振動響應軌跡特性研究 [J].船舶力學，2017，21（5）：563-575.

[5]CHEN W L，ZHANG Q Q，LI H，et al.An experimental investigation on vortex induced vibration of a flexible inclined cable under a shear flow [J].Journal of Fluids and Structures，2015，54：297-311.

[6]唐友剛，樊娟娟，張杰，等.高雷諾數下圓柱順流向和橫流向渦激振動分析 [J].振動與沖擊，2013，32（13）：88-92.

[7]ZHANG H，FAN C F，CHEN Z H，et al.An in-depth study on vortex-induced vibration of a circular cylinder with shear flow[J].Computers and Fluids，2014，100：30-44.

[8]ZHAOM，CHENGL，ANHW，et al.Three-dimensional numerical simulation of vortex-induced vibration of a elastically mounted rigid circular cylinder in steady current[J].Journal of Fluids and Structures，2014，50：292-311.

[9]高云，王盟浩，宗智，等.高雷諾數時分離盤長度對圓柱繞流特性的影響 [J].上海交通大學學報，2017，51（4）：504-512.

[10]陳偉民，張立武，李敏.采用改進尾流振子模型的柔性海洋立管的渦激振動響應分析 [J].工程力學，2010，27（5）：240-246.

[11]鄭中欽，陳偉民.結構與尾流非線性耦合渦激振動預測模型[J].海洋工程，2012，30（4）：37-54.

[12]GROUTHIERC，MICHELINS，BOURGUETR，et al.On the efficiency of energy harvesting using vortex-induced vibrations of cables[J].Journal of Fluids and Structures，2014，49：427-440.

[13]XUK，GE Y，ZHANG D.Wake oscillator model for assessment of vortex-induced vibration of flexible structures under wind action[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2015，136：192-200.

[14]GAO Y，FU S X，WANG J G，et al.Experimental study of the effects of surface roughness on the vortex-induced vibration response of a flexible cylinder [J].Ocean Engineering，2015，103：40-54.

[15]FACCHINETTI M L，de LANGRE E，BIOLLEY F.Coupling of structure and wake oscillators in vortex-induced vibrations[J].Journal of Fluids and Structures，2004，19：123-140.

[16]張亞輝，林家浩.結構動力學基礎[M].大連：大連理工大學出版社，2007.

[17]SARPKAYA T.Fluid forces on oscillating cylinders[J].ASCE Journal ofWaterway，Port，Coastal，and Ocean Division，1978，104：275-290.

[18]FENG C.The measurement of vortex-induced effects in flow past a stationary and oscillating circular cylinder and D-section cylinders[D].Vancouver：University of British Columbia，1968.

[19]KHALAKA，WILLIAMSONCHK.Motions，forces and motion transitions in vortex-induced vibration at low mass-damping[J].Journal of Fluids and Structures，1999，13：813-851.