錐面共形陣列非圓信號2D-DOA估計

張 羚, 郭 英, 鄒 峰, 齊子森

(1. 空軍工程大學信息與導航學院, 陜西 西安 710077; 2. 中國人民解放軍駐西飛公司軍事代表室,陜西 西安 710089; 3.中國人民解放軍94826部隊, 上海 200433)

0 引 言

“智巧蒙皮”的共形陣列天線在天線需求領域中有著廣闊的市場,如航空航天、彈載雷達、聲吶設備、移動通信等。近些年,就共形陣列天線的波束成形,測向以及優化布陣問題的研究已成為熱點[1-6]。其中,極化參數與波達方向(direction of arrival, DOA)耦合,是共形陣列天線DOA估計與經典線陣、面陣DOA估計的主要區別與關鍵難點。

針對共形陣列的DOA估計問題,國內外學者已展開大量研究,相關成果主要集中在共形陣列快拍數據建模,盲極化DOA估計[1-3]以及信源方位與極化參數的聯合估計[4-5]。其中,未利用非圓信號橢圓協方差非零特性的共形陣列天線的DOA盲極化算法[1-3]方面的研究已經相對成熟,算法通過對共形載體上陣元的優化布設并結合旋轉不變子空間思想,劃分可構成幾何關系的幾個距離矢量子陣對,在不需要或者獲取不了極化參數參數的情況下得到角度參數的解析解。然而此類算法的空間譜估計能力的提升是以增加信噪比、獲取更多采樣數、增加陣元數為代價獲得的,實際環境下較難實現。針對經典線陣、面陣,充分利用某些復隨機信號如二進制相移鍵控(binary phase shift keying,BPSK)、幅移鍵控(amplitude shift keying,ASK)、振幅調制(amplitude modulation,AM)等調制信號的“非圓”性質來提高空間譜估計精度的研究已取得豐碩成果[7-12]。利用非圓信號[8]特性,將陣列虛擬擴展的思想從普通形式陣列引入到共形陣列,在同等條件下,比未利用非圓信號特性的算法估計效果要好,但該算法僅適用于柱面共形載體,存在著很大的局限性[6]。在實際應用中,如彈載導引頭、機載首部等錐面結構,是更加常見的共形載體結構,然而已有算法并不適用于錐面共形陣列。所以,利用信號統計特性,提升共形陣列DOA估計效果的研究并不充分。

本文針對錐面共形陣列天線的DOA估計問題,利用非圓信號橢圓協方差矩陣不為零特性,對陣列進行虛擬擴展,并建立陣列天線的數據模型。通過全局以及局部坐標系的建立,合理的陣元布局,實現極化參數、陣元方向圖與角度參數“去耦合”。在對獨立信源進行二維角度估計過程中,創新性地將非圓-旋轉不變子空間(non-circular estimation of signal parameters via rotation invariant technique, NC-ESPRIT)算法“移植”到具有多極化特性的共形陣列算法;在估計相干信源時,分別對真實陣元和虛擬陣元進行空間平滑預處理,擴展了算法的適用范圍。最后通過計算機蒙特卡羅仿真實驗驗證錐面共形陣列非圓信號二維DOA(two dimensional-DOA,2D-DOA)算法的可行性和優越性。

1 錐面共形陣列數據模型

1.1 錐面共形陣列結構設計

圖1 陣列結構設計Fig.1 Design of array structure

上述陣列布局具有以下幾個方面的優勢:

(1) 由于信號的“非圓”虛擬擴展性,真實陣元和虛擬陣元是鏡像對稱的,所以按上述布局可使虛擬陣元與真實陣元置于一條母線上,可視為線陣,便于接收模型的建立。

(2) 由于窄帶遠場信號的假設前提,在同一母線上的陣元可以忽略其方向圖指向的差異性。同一母線上布設的陣元響應同一來波信號的差別僅來自于相位差,從而可以構造適用于經典陣列天線非圓旋轉不變技術估計信號參數算法的子陣對,簡化了整體算法的復雜度。

(3) 在所構造的5個不同位置矢量的子陣對是利用NC-ESPRIT算法實現二維角度參數估計的關鍵,由于對導向矢量模型沒有要求,因而有效克服共形載體的多極化特性。每對子陣對之間的距離矢量只包含信源的二維角參數,而對極化參數沒有要求。因此基于上述陣元布局結構,應用NC-ESPRIT算法可實現對角參數信息和極化參數信息的去耦合,從而實現盲極化DOA估計。

(4) 在平面陣中[13]已經有利用子陣之間距離矢量的特殊性成功實現二維參數估計的案例,并給出了參數估計的解析解。盡管本文中子陣對之間的距離矢量并不是特殊值,但是可以利用錐面載體上設置的5條母線夾角之間的關系,結合l1,l2,l3子陣對的數據,可以獲得二維角參數估計的解析解。再利用母線l4,l5子陣對的數據對多個來波信號進行參數配對。

1.2 錐面共形陣列非圓信號數據建模

由圖1(c)可知:由于共形陣列天線的全局坐標系與局部坐標系并不一致,因此陣元方向圖的指向也不同,所以需通過陣元方向圖旋轉[14]來完成共形虛擬擴展陣列DOA估計的第一步。m元共形陣列,n個窄帶、最大非圓率點源以平面波入射(波長為),且在的情況下,以全局坐標系中的原點為參考點,共形陣列天線導向矢量:

(1)

u=sinθcosφX+sinθsinφY+cosθZ

(2)

|gi||pl|cosθigk=gi·pl=giθkθ+giφkφ

(3)

式中,u為信源單位矢量于全局坐標系的坐標表達形式;θ為來波俯仰角,表示來波位置矢量與全局坐標系中Z軸的夾角;φ為來波方位角,表示DOA矢量在XOY面上的投影與X軸的夾角;ri表示子陣中第i個陣元響應單位信號的表達式;gi為第i個陣元的方向圖表示式;giθ,giφ分別為第i個陣元在信源構成的矢量基uθ,uφ上的單位矢量;kθ,kφ表示來波信號的極化狀態;pl為來波信號的電場矢量;θigk為gi與pl之間的夾角;Pm是相對于坐標原點陣元位置矢量表達式。

將式(3)代入式(1)有

a(θi,φi)=aiθ(θi,φi)kiθ+aiφ(θi,φi)kiφ

(4)

當有n個入射信號時,可得流形矩陣為

A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θn,φn)]=AθKθ+AφKφ

(5)

式中

Aθ=[aθ(θ1,φ1),aθ(θ2,φ2),…,aθ(θn,φn)]

Aφ=[aφ(θ1,φ1),aφ(θ2,φ2),…,aφ(θn,φn)]

Kφ=diag(k1φ,k2φ,…,knφ)

Kθ=diag(k1θ,k2θ,…,knθ)

疊加噪聲后的非圓虛擬擴展快拍數矩陣可表示[8]為

(6)

由于最大非圓率信號具有關系[8,15]為

(7)

將式(7)代入式(6),得

AncS+Nnc=X0(nc)+Nnc

(8)

X=AS+N=(AθKθ+AφKφ)S+N

共形陣列天線陣元輸出數據的協方差矩陣定義為

(9)

式中,(·)H表示取(·)的共軛轉置;RS=E[SSH]為多個來波信號組成信源矢量的協方差矩陣;I2m為2m維單位矩陣;σ2為噪聲功率。

然后,進行協方差矩陣Rnc特征值分解,即

(10)

式中,將特征值分解后得到的特征值按從小到大排序,取后n個值為主對角線元素的對角陣ΣS,并且將對應的特征矢量作為矩陣US的列向量;取前2m-n個值為主對角線元素的對角陣ΣN，并且將對應特征矢量作為矩陣UN的列向量；US代表的是協方差矩陣Rnc的信號子空間;UN則是噪聲子空間。

取有限次快拍數,Rnc一致估計值為

(11)

2 非圓信號盲極化2D-DOA估計算法

本節分別針對獨立信源、相干信源情況下,理論推導錐面共形陣列天線非圓信號盲極化2D-DOA估計算法的適用性。在陣列結構以及數據模型建立的基礎上,利用各母線陣元非圓旋轉不變性原理,建立同一母線上的陣列流形,由于各母線上陣元排布相同,因此可以將流形矩陣的理論推導過程推廣到所設置的其他幾條母線上。然后,利用非圓信號的虛擬擴展性對陣列接收模型進行陣元的虛擬加倍。最后根據解析解公式實現二維角度參數的分維估計。

2.1 基于NC-ESPRIT 錐面共形非圓信號算法

NC-ESPRIT算法[8]利用了旋轉不變的信號子空間特性進行空間譜估計。該算法每構造一個結構完全相同且具有一定距離的子陣對可以估計一個參數。每條母線上的子陣對劃分如圖2所示。陣元1～m-1,m+1～2m-1和陣元2～m,m+2～2m構成一對子陣對,并且兩陣列間隔0.5λ。盡管5條母線的距離矢量(陣元1與陣元2之間構成的距離矢量)的長度一致,但方向不同,理論上是可以估計5個參量,而本章只需要估計兩個方位參數,但是由于3條母線之間的夾角不是特殊角,因此需要多增加一對子陣對,從而可以得到二維角參量的解析解。為應對多個來波信號,再增加兩對子陣對用于參數配對。

圖2 子陣劃分圖Fig.2 Partition of subarray

子陣對1中的子陣1設為l11, 其接收數據為

X11=A11S+N11=(A11θKθ+A11φKφ)S+N11

(12)

子陣對1中的子陣2設為l12, 其接收數據為

X12=A12S+N12=(A11θKθ+A11φKφ)Φ1S+N12

(13)

Φ1=diag[exp(-jw11),exp(-jw12),…,exp(-jw1n)]

(14)

w1i=(2π/λ)dv1·ui=πv1·ui=

π[sinθv1cosφv1sinθicosφi+

sinθv1sinφv1sinθisinφi+cosθv1cosθi]

(15)

母線l1上,真實陣元的快拍數據為

X1=A1S+N1=(A1θKθ+A1φKφ)S+N1=

[X11;X12(m-1,∶)]

(16)

特別地,NC-ESPRIT利用了非圓信號的特征,虛擬擴展陣列的同時,接收數據維數也相應加倍,即

(17)

將式(8)代入式(17),可得

(18)

由式(10)和式(11)可得子陣對1輸出數據的協方差矩陣為

(19)

子陣對1的流形矩陣張成的子空間與特征值分解處理后得到的信號子空間是相同的,即

span{A1(nc)}=span{US1}

(20)

因此,有且只有一個非奇異矩陣T1,使得

A1(nc)=US1T1

(21)

由于A1(nc)的ESPRIT特性,因此有

J1(nc)A1(nc)Φ1=J2(nc)A1(nc)

(22)

式中,選擇矩陣[16]J1(nc),J2(nc)為

式中,I(m-1)(m-1)是一個(m-1)×(m-1)維單位陣,0(m-1)(m-1)是一個(m-1)×(m-1)維的零矩陣,0(m-1)1是一個(m-1)×1維的零向量。

根據式(21)的ESPRIT關系,式(22)以信號子空間作為表達方式為

(23)

(24)

(25)

exp(-jwli)=tli

(26)

結合關系α1=π-α3,α2∈(α1,α3)解式(27)～ 式(29)有

φi=

(27)

(28)

zji=angle(tli)/(2πd)，j=1,2,3

(29)

式中,θi,φi分別表示第i個來波信號在全局坐標系下的俯仰和方位角;θv b,φv b(b=1,2,3;i=1,2,…,n)分別表示子陣對b的距離矢量在全局坐標系中的俯仰角和方位角;angle(·)表示求復數(·)的相位角。

exp(-jw5i)=exp(-jw1i)exp(-jw2i)

(30)

exp(-jw4i)=exp(-jw1i)exp(-jw3i)

(31)

借鑒式(15)可知

wli=(2π/λ)ΔPl·ui=

(2π/λ)|ΔPl|(sinθΔPlcosφΔPlsinθicosφi+

sinθΔPlsinφΔPlsinθisinφi+cosθΔPlcosθi)

(32)

min{|t5i-t1jt2k|,i,k=1,2,…,n}

(33)

t1j與滿足式(34)的t3k相對應,即

min{|t4i-t1jt3k|,i,k=1,2,…,n}

(34)

綜上可以完成滿足當入射信號為獨立信源時,錐面共形虛擬擴展陣列算法的理論推導,將算法步驟總結如下:

步驟4根據式(33), 式(34)實現參數的配對;

步驟5結合式(26)～式(29),求得最終的二維角參數φi,θi。

2.2 錐面共形陣列非圓信號解相干預處理

當入射信號為相干信源時,信號協方差矩陣(式(9)中的RS)的秩受到損耗,不再等于信源個數,且信號子空間維數降低,不再等于陣列流形矩陣的秩。因此通過特征值分解得到信號子空間與流行矩陣所張成的信號子空間不一致,這導致了特征值分解類DOA算法無法適用于相干信源情況。

就上述情況,擬采用空間平滑算法對入射的相干信號進行解相干,具體思路如下:

空間平滑算法主要運用于均勻線陣,是因為利用了均勻線陣的平移不變性。方法是將均勻線陣劃分成相互重疊且結構完全相同的L個子陣,因此每個子陣陣元數相同(這里設為q個)且每個子陣包含的方位信息也是一致的,將各子陣的自協方差矩陣進行算數平均得到q階子陣列協方差矩陣。當子陣中所包含的陣元個數大于所需探測的信源個數時,經空間平滑算法處理得到協方差矩陣分解后得到的信源協方差矩陣恢復為滿秩。錐面共形虛擬擴展陣列由于同時受到共形載體曲率以及建立虛擬擴展陣列數據矩陣特殊性的影響,在“移植”空間平滑算法時存在一定難度。本節通過合理的陣元布局,將同一母線上真實陣元部分以及虛擬陣元部分分別進行子陣劃分,又由于同一母線上的陣元對同一來波信號而言陣元方向圖響應是近似一致的,可以克服由共形載體曲率所帶來的影響,此時空間平滑算法將得以適用。

同一條母線上真實陣元構成的子陣接收數據矩陣為

XlR=AlRS+NlR

(35)

AlR=[alR(θ1,φ1),alR(θ2,φ2),…,alR(θn,φn)]

(36)

(37)

同樣,同一條母線上虛擬陣元構成的子陣接收數據矩陣為

XlI=AlIS+NlI

(38)

AlI=[alI(θ1,φ1),alI(θ2,φ2),…,alI(θn,φn)]

(39)

(40)

由于圓錐面上同一條母線的曲率不發生變化,因此同一母線上陣元方向圖指向一致,所以

rl1=rl2=…=rlm=rlR

(41)

rlm+1=rlm+2=…=rl2m=rlI

(42)

結合式(37)與式( 41),得到

(43)

所以有

AlR=rlR[alR0(θ1,φ1),alR0(θ2,φ2),…,alR0(θn,φn)]=rlRAlR0

(44)

同理,結合式(40)與式(42),得到

AlI=rlI[alI0(θ1,φ1),alI0(θ2,φ2),…,alI0(θn,φn)]=rlIAlI0

(45)

式中,AlR0和AlI0可視為均勻線陣的流形矩陣。將同一母線上的真實陣元和對應母線上的虛擬陣元構成的陣列分別平滑處理為L個子陣,每個子陣的陣元數為q,第i個真實子陣和虛擬子陣接收數據的協方差矩陣分別是

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

將式(44)和式(46)代入式(49),得

(51)

所以有

(52)

同理將式(45)和式(47)代入式(50)后有

(53)

(54)

本節完成了錐面共形陣列天線非圓信號的空間平滑解相干算法的理論推導,將算法步驟總結如下:

步驟1求同一條母線上真實陣元構成的子陣接收數據矩陣Xlr和虛擬陣元構成的子陣接收數據矩陣XlI；

步驟2根據同一母線圓錐面載體曲率不變的特點,獲得簡化后得流形矩陣矩陣AlR0和AlI0;

步驟5后續步驟同獨立信源時步驟3～步驟 5。

3 仿真驗證

本節就所提算法的有效性,精確度等性能指標進行蒙特卡羅仿真實驗,并和相同真實陣元布局的非擴展錐面陣列天線DOA估計算法進行對比,驗證相關結論。這里進行對比的算法是基于圖1(a)中真實陣元部分,即無虛擬擴展步驟的算法 (第2.1節算法的對比算法是文獻[1],除了將文獻[1]中的母線數目設置為5條,其他仿真條件皆與所提算法一致,前3條用于參數估計,額外2條母線用于參數配對;第2.2節算法對比算法是文獻[2]),圖3～圖8中無NC標注是對比算法,標注NC的為本文所提算法。

在本文蒙特卡羅仿真實驗中,將估計值與真值的偏差小于2°的情況認定為估計成功。將主要性能指標列舉如下:

估計偏差=abs(估計均值-真值)

式中,n為成功估計的實驗次數。

3.1 仿真實驗1

(1)仿真條件

仿真結果如圖3～圖5所示。

圖3 獨立信源成功率分析Fig.3 Success rate analysis of independent signals

圖4 獨立信源估計偏差分析Fig.4 Estimation deviation analysis of independent signals

圖5 獨立信源估計方差分析Fig.5 Estimation variance analysis of independent signals

(2) 結果分析

當來波信號是獨立信源時,第2.1節所提算法中在SNR較低(0～10 dB)的情況下,成功率隨SNR成正比,并趨于100%,在SNR較低(0～15 dB)的情況下,參數的估計方差隨SNR呈反比的趨勢,俯仰角的方差從整體上看要小于方位角。在與文獻[1]算法比較中:SNR<10 dB時,所提算法探測來波信號俯仰角和方位角的成功率皆高于文獻[1]算法;所提算法估計偏差的波動幅度要小于文獻[1]算法;非虛擬擴展陣列天線(文獻[1])的二維角參數估計方差大于虛擬擴展陣列天線(本文所提算法)。

3.2 仿真實驗2

(1)仿真條件

來波信號是相干信源,其余條件同實驗1。

仿真結果如圖6～圖8所示。

圖6 相干信源成功率分析Fig.6 Success rate analysis of coherent signals

圖7 相干信源估計偏差分析Fig.7 Estimation deviation analysis of coherent signals

圖8 相干信源估計方差分析Fig.8 Estimation variance analysis of coherent signals

(2) 結果分析

當來波信號是相干信源時,第2.2節所提算法探測信源方位、俯仰角的成功概率與信噪比呈正比,并且趨向于100%,在SNR較低(0～5 dB)的情況下,二維角參數的估計方差隨SNR成反比。其次,在SNR<10 dB時,第2.2節所提算法對相干信號俯仰角和方位角的探測成功率要高于文獻[2]算法的成功率。第2.2節算法的估計偏差的波動幅度要小于文獻[2]中的波動幅度。非擴展陣列天線對相干信源的二維角參數估計方差要明顯大于虛擬擴展陣列天線。

4 結束語

錐面共形載體合理的陣元布局,以及利用非圓信號虛擬擴展性,成功建立對應的數據模型,算法基于NC-ESPRIT思想,在無需任何極化參數和陣元方向圖[18-20]參數信息的情況下,利用母線陣元具有不同距離矢量的性質,得出俯仰角和方位角的解析解,實現角度參數的分維估計。針對相干信源而言,增加空間平滑算法步驟,實現了錐面共形虛擬擴展陣列情況下的角度參數盲估計,擴展了本文所提算法的使用范圍。同時,所提算法估計性能在較低SNR的情況下,較之非擴展陣列有很大的提升,算法實現簡單,硬件開銷小。

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