數學課堂重在學生的能力培養小議

杜小軍

高考是對學生能力的大檢閱，也是對我們教學效果的檢驗。為了鍛煉和提高學生能力，凸顯我們教學成果，我們作教師的可沒少出力，少操心，經常泡在題海里，聚精會神的撈好題，撿經驗，琢磨技巧，總結規律，可謂煞費苦心。我私自認為如果將課本的例題和習題做以拓展和延伸，也能鍛煉學生的思維能力和思考方式，提高分析問題和解決問題的能力。現將北師大版理科選修2-3，18頁的一道例題的拓展和延伸和同仁們一起做個交流和探討：

原題：（1）5個相同小球放入8個不同的盒子中，每個盒子至多放一個小球，共有多少種放法？

（2）5個不同小球放入8個不同盒子每個盒子至多放一個小球，共有多少種放法？

這個題是用來讓學生認清楚什么情況下是組合，什么情況下是排列，題型很典型，很有代表性和具有模型性，也是產生其它題型的好模板。在教學中，我對這2個題型做了拓展和變形，課堂效果不錯。課后我發現學生對這部分知識認識更深刻，知識掌握的也很牢靠，并能靈活運用這些知識解決類似問題。具體變式和拓展如下：

（1）題變式如下：

（變式1）8個相同小球放入5個不同的盒子中，每個盒子至少放一個小球，共有多少種放法？

（變式2）8個相同小球放入5個不同的盒子中，每個盒子放小球個數不限，共有多少種放法？

（變式3）8個相同小球放入編號1，2，3的3個盒子，每個盒子放入小球的個數不小于盒子的編號數，則有多少種放法？

（變式1）的解法是：由于小球相同，可以把8個相同小球依次排開，它們之間有7個空擋，用4個擋板放入7個空擋里，每個空擋只能放一個擋板，就可以分成5組，每組對應一個盒子，每種分發代表一種放法，故有 中方法。這個題目就變成了典型的“擋板法”的模型題。

（變式2）的解法：由于放球個數沒有限制，問題似乎變得復雜了，但是由于還是相同小球，我們借助第一題的模型有“擋板法”就可以巧妙解答。現將每個盒子放入一個小球，加上題目中的8個小球共有13個小球，問題就可以變成13個相同小球放入5個不同盒子，每個盒子至少放入一個小球，有多少種放法？故有 中放法。

（變式3）的解法：繼續延續變（1）的模型用“擋板法”，故先將2號盒子放入一個小球，3號盒子放入2個小球，則問題變成了，5個相同小球放入3個不同盒子，每個盒子至少放入一個小球，則有多少種放法？故有 種放法.

拓展訓練（一）：

1.滿足x1+x2+x3+x4=10的正整數解有多少組？

2. 滿足x1+x2+x3+x4=10的自然數解有多少組？

（2）題變式如下：

（變式1）8個不同小球放入5個不同盒子，每個盒子至少放入一個小球，則有多少種放法？

（變式2）8個不同小球放入5個不同盒子，每個盒子放入小球個數不限，則有多少種放法？

（變式1）的解法：這是典型的“先分組后排列”的綜合題，它的分組方式有：I按4，1，1，1，1，分組有 種方法

II按3，2，1，1，1，分組則有 種方法

III按，2，2，2，1，1，分組則有 種方法

故總的放法有 + + 種。

（變式2）的解法：這是“住店法”的一個好模型題。不同小球就是不同客人，5個不同盒子就相當于5個旅店，問題就成了：8個客人 入住5個旅店，每個旅店入住客人人數不限，有多少種入住方法？故采用分步乘法計數原理，每個客人有5種選擇方案，總的方法有58種。

拓展訓練（二）

1.將5件不同禮品分給4個人，每個人至少一件，有多少種分法？

2.將5封不同信件投入4個信箱，投入每個信箱的信件數不限，則有多少種投遞方式？

在排列組合這一章里，我認為，我們教學時不一定要找好多課本外的習題來讓學生做題海訓練，用以開拓思維，只要我們深挖教材，利用好書上的資源，給以拓展和延伸，把學生的思維引向更加廣闊的空間，就可以學好學活這一章知識，達到事半功倍的效果。這也符合新課改的要求，既減輕了學生課業負擔，又開拓了學生思維，提高了學生能力，我們也用好用活了教材。以上是我在課堂上利用和處理教材培養學生能力的一點粗淺認識，寫出來愿與大家交流和探討。

（作者單位：城固縣第二中學）