矩陣運算在Alice—Bob物理系統建模中應用

孟得新

摘 要：本文主要研究的是Alice-Bob系統建模過程中提煉出來關于矩陣運算的問題，即如何求解M和x0，使得M2=I且Mx0=-x0。對于空間變量x'和x滿足（平移的）對稱變換的情況，我們給出了計算M和x0的詳細過程。本文的計算過程體現了線性代數中分塊矩陣和相似矩陣等運算技巧在數學建模過程中起到的重要作用，說明線性代數和數學建模相輔相成，互相促進。

關鍵詞：Alice-Bob系統 矩陣運算 數學建模

中圖分類號：TP319 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）11（a）-0-03

Absrtact：Under investigated in this paper is the problem of matrix operation originated from the modeling process of Alice-Bob physical system， that is， how to solve M and x0 such that M2=I and Mx0=-x0. For the case that x' and x satisfy （shifted） parity transformation， we give the detailed process of calculating M and x0. The computational process in this paper embodies the important tole of block matrix and similar matrix in linear algebra in the process of mathematical modeling. It shows that linear algebra and mathematical modeling complement and promote each other.

Key Words：Alice-Bob physical system； Matrix operation； Mathematical modeling

人類近現代自然科學的發展史，可以認為是一部圍繞數學建模的發展史。從開普勒的行星運動三大定律、牛頓的萬有引力定律，到麥克斯韋的電磁理論、愛因斯坦的相對論理論，再到楊振寧和米爾斯的規范場理論，數學物理學家們一直致力于用新的理論和方法來描述世界，而這些新的理論都是用數學語言或者說是數學公式來描述的。這就是我們常說的數學建模，也即是應用數學方法來描述一種過程，解釋一種現象，探索一種規律，優化一種設計，等等。數學是各門科學的基礎，不僅在自然科學、技術科學中，而且在經濟科學、管理科學，甚至人文、社會科學中，為了準確和定量地考慮問題，得到有充分根據的規律性認識，數學都成了必備的重要基礎，因此解決各個學科問題的第一步，往往離不開數學建模[1-2]。本文將選取名為Alice-Bob（AB）物理系統的建模過程，舉例說明矩陣運算在數學建模過程中的具體應用應用[3-4]。本文的第二部分介紹從兩地物理系統的建模過程中提煉出的數學問題，第三部分就對稱變換和平移的對稱變換兩種情況求解該問題，第四部分是本文的結論。

1 兩地物理系統與數學問題提煉

一維物理模型通常建立在一個時間地點（x，t）。但是，不同的物理問題可能發生在有關聯的兩個地點，例如1997年的EI Nino事件引起了1998年特大洪水，例如從2007年夏天北冰洋的冰減少，到2008年中國南方有很強的凍雨、很強烈的冰雪災害，這兩件事是有關聯的，而且發生在不同的時間、不同的地點，如注明的蝴蝶效應等[3]。不同時間不同地點的事物都有關聯，專家學者經過觀察，建立模型去描述這些現象。從數學上講，當Alice的狀態A（x，t）已知時，Bob的狀態B（x'，t'）可以由一個合適的變換得到，即有B（x'，t'）=fA（x，t）。

這里f是一個算子，（x'，t'）和（x，t）不同。由A（x，t）和B（x'，t'）的等價性可知x'=（x'i，i=1，2，…，n）與x=（xi，i=1，2，…，n）的連接公式為x'=fxx=f -1x，且f和f -1形式完全相同[4]，因此有 f2=1。

對于x'和x之間具體的變換，如何求得上式的解呢？這就是我們要解決的問題。

2 問題求解

在論文文獻[3]和[4]中，樓森岳教授給出了計算結果，但未給出計算過程。作為線性代數技巧在數學建模中的應用案例，我們給出具體的計算過程如下。

我們考慮兩種簡單的情況：

如果x'和x的變換是對稱變換，即x'=-x，再設f=Mn×n，M是n階方矩，問題就轉換成如何求解一個n階矩陣M，使得M2=I，I是n階單位陣。

如果x'和x的變換是平移的對稱變換，即x'=-x+x0，x0是平移距離，再設f=Mn×n，M是n階方矩，問題就轉換成如何求解一個n階矩陣M，使得M2=I且Mx0=-x0，I是n階單位陣。

由于x0=0時，第二種情況將退化到第一種情況，因此我們只討論更一般的第二種情況。

3 結語

本文主要研究的是在兩地物理（Alice-Bob）系統建模過程中提煉出來關于矩陣運算的問題，即如何求解一個M和x0，使得M2=I且Mx0=-x0。對于x'和x滿足（平移的）對稱變換的情況，我們給出了計算M和x0的詳細過程，這些結果與文獻[3]和[4]中的結果相同。隨著科技的飛躍發展，不論是線性代數，還是其他數學分支，都在不斷吸收其他領域的新成果，同時它們在各個領域中的應用也是越來越廣泛。

參考文獻

[1] 李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2005（1）：9-11.

[2] 姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[3] LouSY，HuangFei.Alice-BobPhysics：CoherentSolutionsofNonlocalKdVSystems[J].ScientificReports，2017，7（1）：869.

[4] LouSY.Alice-Bobsystems，Ps-Td-Cprinciplesandmulti-solitonsolutions[M].Eprint arXiv，2016.