非倍測度空間上分數次Hardy算子的有界性

宋 帆，李 亮

(伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧 835000)

1 研究背景

Hardy算子作為一類重要的算子，在經典歐氏空間上的Fourier分析研究中得到大量的關注.1920年，Hardy[1]考慮經典的一維Hardy算子：

1976年，作為一維情形的推廣，Faris[2]首次給出了n維Hardy算子：

2009年，傅尊偉等[3-5]首次定義了如下n維分數次Hardy算子：

(1.1)

對偶算子為：

其中，-n<β

最近20余年，非倍測度函數空間上的分析在幾何分析方面取得了巨大的突破，特別是在解決著名的Painlevé問題(100年之久)和Vitushkin猜想(近50之久)中起著關鍵作用，更多的理論可參見文獻[10-11].假定d上的非負Radon測度μ滿足下面的增長性條件，即存在常數C0>0，使得對任意的x∈d和r>0，滿足：

μ(B(x,r))≤C0rn.

(1.2)

其中，0

本文主要在非倍測度下引入分數次Hardy算子的合理定義，并討論算子在Herz空間及Lebesgue空間上的有界性.

2 準備知識

本文中，所有方體Q?d均指中心在supp(μ)中且各邊平行于坐標軸的閉方體，記其邊長為l(Q).對于給定的常數α>1和β>αn，如果滿足μ(αQ)≤βμ(Q)，稱方體Q是(α,β)-倍方體，其中αQ表示與方體Q同心且邊長為αl(Q)的方體(Tolsa在文獻[11]中已證明對于僅滿足增長性條件(1.2)的Radon測度，此類倍方體是大量存在的).在下文中，如無特殊說明，所有倍方體均指(2，2d+1)-倍方體.對于d中任意兩個方體Q1?Q2，記其中NQ1,Q2是滿足l(2kQ1)≤l(Q2)的最小的正整數k.

為了書寫方便，簡記Lp(d,μ)為Lp(μ)，Bk=x∈d:x其中k∈Z.記χk=χCk(k∈Z)為集合Ck的特征函數.

顯然

在非倍測度μ下，定義分數次Hardy算子如下：

定義2 設x∈Rn/{0}，則有

(2.1)

注2 當測度μ是歐氏測度時，式(2.1)中的算子就是式(1.1)中的經典分數次Hardy算子.當β=0時，式(2.1)可視為高維Hardy算子.

3 主要結論及證明

定理1 假設1

(3.1)

(3.2)

注4 當測度μ取歐氏測度時，本文定義的算子與經典的Hardy算子一致，定理1與文獻[8]的有界性結果一致.

定理1的證明：

于是，得到

上式的估計用到α<0.

其次，考慮式(3.2)的證明.

其中，

綜上，完成了對定理1的證明.

當α=0時，考慮1

根據注1，定理2證明易得，在此省略.

[參考文獻]

[1]Hardy G H.Note on a theorem of Hilbert[J].Math.Zeit.,1920(6):314-317.

[2]Faris W.Weak lebesgue spaces and quantum mechanical binding[J].Duke Math.,1976(43):365-373.

[3]Zhao F Y,Fu Z W,Lu S Z.Endpoint estimates for n-dimensional Hardy operators and their commutators[J].Sci China Math.,2012(10):1977-1990.

[4]傅尊偉,林燕.高維分數次Hardy算子交換子的λ中心BMO估計[J].數學學報:中文版,2010(5):925-932.

[5]傅尊偉,劉宗光,陸善鎮,等.n維分數次Hardy算子交換子的特征[J].中國科學A輯：數學,2007(6):651-659.

[6]曹莎.一些分數次Hardy算子的端點估計[D].湘潭:湘潭大學,2013.

[7]武江龍,王婧敏.多線性分數次Hardy算子交換子的有界性[J].高校應用數學學報,2010(1):115-121.

[8]武江龍.分數次Hardy算子多線性交換子的有界性[J].數學物理學報,2011(4):1055-1062.

[9]Wu Q Y.Boundedness for commutators of fractional p-adic Hardy operators[J].Journal of Inequalities and Applications,2012(1):1-12.

[10]Tolsa X.Painleve’s problem and the semiadditivity of analytic capacity[J].Acta Math,2003(190):105-141.

[11]Tolsa X.BMO,Hpand Calderón-Zygmund operators for non doubling measures[J].Math.Ann,2001(319):89-149.

[12]Yang D C,Yang D Y,Fu X.The Hardy space Hpon non-homogeneous spaces and its applications[J].Eurasian Math J,2013(2):104-139.

[13]Fu X,Lin H B,Yang D C,et al.Hardy spaces Hpover non-homogeneous metric measure spaces and their applications[J].Sci China Math,2015(58):309-388.