利用線性代數探討投入—產出模型

何裕平

（武漢工程職業技術學院，湖北 武漢 430080）

利用線性代數的基本知識（包括向量及線性方程組、矩陣代數、矩陣的特征值和特征向量）研究線性代數在生產管理等方面的應用。通過分析實際問題所特有的規律，建立問題的線性代數的數學模型。

本文研究由多個企業組成的經濟系統中的產品價格、企業收支、產品產量、生產需求之間的平衡關系，這種模型有多種形式，本文探討閉式投入—產出模型。

1 具體研究過程

A的元素aij滿足上面公式時，A稱為交換矩陣。

當A≥0且僅當aij≥0，i，j=1，2，3，…，k.

即AP=P，也即（I－A）P=0，這是齊次方程組，有非0解的充分條件是其系數行列式等于0。根據假釋條件可知，不僅要求有非0解，還要求Pi≥0，以滿足非負要求。利用線性代數知識可以證明：①如果A為交換矩陣，則（I－A）P=0一定有非負的非0解。②在某些情況下要求P的全部分量均大于0，我們可以根據下面的定理二判斷上述公式是否滿足要求，即對于交換矩陣A，如果存在正整數m，使得Am＞0，則（I－A）P=0只有一個線性無關解，且可以找到所有元素全大于0的解。

投入產出模型應具有以下特點：①在該系統中，產品全部在系統內部分配；②每個企業的產量是固定的；③系數矩陣每列元素和等于1，且第j列元素是第j個企業產品的分配比例。

2 企業收支平衡，求各企業產品的價格

有3個房主分別為電工、管子工和木工。他們商定相互協作修理房屋，并對每人付固定的日薪。每人的工作日為10 d（包括為自己家修房在內），工作時間分配如下。

修理木工的房子，木工、電工、管子工的工作日分別為2 d、1 d、6 d；修理電工的房子，木工、電工、管子工的工作日分別為4 d、5 d、1 d；修理管子工的房子，木工、電工、管子工的工作日分別為4 d、4 d、3 d。要使每人的收支平衡，每個人的日薪應為多少（日薪限制在3～4元）？

設木工、電工和管子工的日薪分別為P1，P2，P3元，則

由于每人日薪限制3～4元之間，取k等于0.1，得特解，即木工日薪3.1元、電工日薪3.2元、管子工日薪3.6元。

通過實例，利用閉式投入—產出模型，解決了我們生活中實際的問題。

參考文獻：

［1］David C.Lay.線性代數及其應用［M］.北京：機械工業出版社，2006.

［2］姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型［M］.北京：高等教育出版社，2002.