Maple在求解推廣的Clairaut型方程中的應用

呂曉靜，趙向東

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

眾所周知，微分方程的學習與研究已進入計算機時代，應用數學軟件中的符號計算功能可以幫助直接求解某些常微分方程，并且還可以通過計算機繪圖生動形象地展示常微分方程解的幾何意義。Maple語言是目前數學界較為通用的數學軟件之一。在大多數的計算中，Maple不僅可以求出數值解，還可以求出解的符號式，繪出函數的二維或三維圖形。

法國數學家Clairaut在1734年得到了Clairaut方程的解法。在文獻[1]中將Clairaut方程作為一類一階隱方程進行了闡述，并且引出方程奇解的定義，給出了求奇解的p-判別曲線和c-判別曲線方法。本文在此基礎上，對Clairaut方程進行推廣，再運用參數求解的技巧推導其通解的表達式，并且指出在推廣的Clairaut方程中，不一定都有奇解，如果有的話本文也給出了奇解的表達式，更重要的是，本文針對每一種類型的方程給出了一種簡便的求解方法，通過Maple程序更全面地分析了方程及方程解的性質。

1 第一類Clairaut型方程的Maple求解

在求解一階隱方程 F（x，y，y′）=0 中，變量 x 和 y如果僅僅以復合變量xy′-y的形式出現，則有如下的結論。

命題1假設二元函數f（u，v）對2個自變量u，v二階可導，如果一階微分方程形如

則方程（1）的通解可表示為：

并且方程有奇解，奇解為下列方程組的解（p為參數）。

證明利用復合函數求導的鏈式法則，對方程（1）兩端關于x求導，令y′=p

結合通解（2）得方程組（3），此時將p看做參數，通過觀察可以發現，方程組（3）中的第2式恰好是第1式中對參數p的導數，因此此類推廣的Clairaut方程與標準的Clairaut方程相同，方程組（3）就是原微分方程（1）的p-判別式得到的奇解。

注1：此類Clairaut型方程在文獻[2]中，對照一階隱方程的類型進行求解時，它既不屬于不顯含變量x或者變量y的類型，也不屬于那種能夠比較容易求解變量x或者變量y的類型。因此，應用Maple的程序設計進行計算很有優勢，它很好地延續了Clairaut方程的求解思想，并且必有參數形式的奇解。

注 2：如果取 f（xy′-y，y′）=（x+a）y′-y+φ（y′）=（xy′-y）+ay′+ φ（y′）時，這里 a 為常數，φ（y′）是可微的，即為文獻[3]中的引理 1，因此本命題的結論是對文獻[3]中引理1的推廣。

例 1求解方程（x2-1）（y′）2-2xyy′+y2-1=0

解將原方程化簡整理為：

（xy′-y）2-（y′）2-1=0

取f（xy′-y，y′）=（xy′+y）2-（y′）2-1，則根據公式（2）和（3）編寫求奇解和通解的程序如下：

解的圖像源程序：

例2求解方程

解將原方程化簡整理為f（xy′-y，y′）=（xy′-y）2+y′-（y′）2，則根據公式（2）和（3）編寫求奇解和通解的程序如下：

解的圖像源程序為：

例1和例2方程的通解和奇解的圖像分別如圖1和圖2所示。

圖1 例1方程的通解和奇解

圖2 例2方程的通解和奇解

2 第二類Clairaut型方程的Maple求解

命題2假設函數φ（u）對自變量u二階可導，a為非零的常數，如果一階微分方程形如

則關于方程的解有以下2種情況：

（1）當a≠1時，有如下的參數式通解

這里（1-a）p-ab≠0，并且

式中：c為任意常數；p為參數。特別是當（1-a）pab=0時方程有特解但非奇解，表達式為：

（2）當a=1時，有如下的參數式通解

這里 b≠0，并且

式中：C為任意常數；p為參數。特別是當b=0時方程可簡化為標準的Clairaut方程。

證明利用微積分中復合函數求導的鏈式法則，對方程（4）兩端關于 x求導，且令p=y′得

從上述表達式（8）可以看出

（1）當a≠1且（1-a）p-ab≠0得到一個關于變量x、p的一階線性方程

因此，其通解為：

結合方程（4）得到方程組（5）；當（1-a）p-ab=0時，意味著，且等式（8）是成立的，并且易驗證函數

是原微分方程（4）的特解，依據文獻[2]的定理3.5.1，可驗證特解（6）不滿足方程（4）的p-判別式。所以，此函數不是原微分方程（4）的奇解。

（2）在上述表達式（8）中，令a=1得到一個關于變量x、p的一階線性方程

因此，其通解為：

結合方程（4）得到方程組（7）。綜合以上論述，命題得證。此類Clairaut型方程無奇解。

例 3求解方程 y=2x（y′+1）+（y′）2

解根據式（5）編寫求奇解和通解的程序如下：

解的圖像的源程序：

當參數p∈[-10 000，0]，任意常數C取值為-10到10之間的整數時，方程通解的圖像如圖3所示，當參數p∈[-100 000，0]時，任意常數C取值為-10到10之間的整數時，方程通解的圖像如圖4所示。從圖3和圖4可以看出，隨著p的絕對值不斷減小，通解的圖像在y軸左側，從x軸上方不斷地靠近x軸，y軸右側的圖像從x軸下方不斷靠近x軸，最終形成直線簇。

當參數p∈[0，10 000]和任意常數C取值為-10到10之間的整數時，方程通解的圖像如圖5所示，當參數p∈[0，100 000]和任意常數 C取值為-10到10之間的整數時，方程通解的圖像如圖6所示。同理，從圖5和圖6也可以看出，隨著p的絕對值不斷減小，通解的圖像在y軸左側，從x軸下方不斷地靠近x軸，y軸右側的圖像從 x軸上方不斷靠近 x軸，最終形成直線簇。

綜合以上情況可以看到，求解此類推廣的Clairaut型方程時，借助Maple可以很好地理解為何此類方程沒有奇解。

圖3 例3方程的通解（參數p∈[-10 000，0]）

圖4 例3方程的通解（參數p∈[-100 000，0]）

圖5 例3方程的通解（參數p∈[0，10 000]）

圖6 例3方程的通解（參數p∈[0，100 000]）

3 第三類Clairaut型方程的Maple求解

命題3假設一元函數φ（u）對自變量u二階可導，ab均為常數且a≠0，n為正整數且n≠0，1，如果一階微分方程形如

則方程有參數式通解：

c為任意常數；p為參數。

注3：此命題的證明方法與命題2相同，不同的是最后在n＝2時求解一個關于變量x、p一階線性方程；在n≠2時求解一個關于變量x、p的Bernoulli方程。

例 4求解方程 y=xy′+x2（2（y′）2+1）

解根據式（10）編寫與例1相同的程序，求奇解和通解的曲線如下，參數p∈[-10，10]，任意常數c取值為-10到10之間的整數時，方程通解的圖像如圖7所示。但是，同樣的題目僅僅改變n=3時，發現此時通解的圖像已經完全不一樣，如圖8所示。可見，這一項在方程中起著至關重要的作用，而且從圖形中也比較容易看出此類方程沒有奇解。

圖7 例4方程的通解圖像（參數n=2）

圖8 例4方程的通解（參數n=3）

4 結語

借助Maple軟件求解以上3類推廣的Clairaut型方程非常便捷，同時利用Maple軟件繪出方程通解（奇解）的圖像可以進一步分析得出參數形式的通解（奇解）的特性。因此，可以看出Maple軟件在求解Clairaut型方程中的強大功能，這是單靠紙和筆求解方程所不能比擬的。

參考文獻：

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