廣義統計的參數及其相互關系

郭麗娜

（天津職業技術師范大學理學院，天津 300222）

著名物理學家玻爾茲曼在19世紀提出了經典的玻爾茲曼統計規律，歷經眾多實驗驗證，已在很多領域得到了應用。但是，近些年的研究發現，有些情況下，如存在長程相互作用的非平衡系統，玻爾茲曼統計表現出極大的局限性，因而人們開始對經典的玻爾茲曼熵進行推廣，其中最具代表性的就是Tsallis熵。這一全新形式的熵不再像玻爾茲曼熵那樣具有廣延性，而是一種非廣延性的熵。這使得Tsallis統計具有了很多玻爾茲曼統計所不具備的性質，并因此而應用到很多不同的領域。除此之外，通過引入參數，以不同的形式推廣玻爾茲曼熵后可以得到不同的廣義熵，進而得到很多不同種類的廣義統計。本文研究了Tsallis非廣延性熵、κ熵、Abe熵以及更為廣泛的雙參數廣義熵函數的參數同系統的溫度梯度和外場力之間的關系式，分析了各種統計中參數的物理意義，并由此得到不同的廣義統計之間的關系和各自適用范圍，為進一步尋找廣義統計的應用領域提供幫助。

1 經典玻爾茲曼統計

1.1 玻爾茲曼統計

19世紀發展起來的統計物理學將物體的宏觀性質和微觀狀態聯系起來，從微觀的角度解釋了物體的宏觀性質。由于從宏觀角度無法區分每一個微觀粒子，所以對于某一物理系統而言，同一個宏觀狀態其實對應了許多個不同的微觀狀態。對于孤立系統來說，不管系統的初始狀態如何，經過一段時間后，系統總是趨向于幾率分布不再發生變化的狀態，也就是宏觀平衡態。而統計物理學中的一個根本問題正是孤立系統處于平衡態時各個微觀狀態出現的幾率是多少。玻爾茲曼作為統計物理學中里程碑式的科學家，提出了等幾率假設：系統中所有可能的微觀狀態出現的幾率都是相同的，或者說任何一個微觀狀態都是彼此平權的。因此，對于理想氣體系統而言，如果處于宏觀狀態下的統計平衡態，那么理想氣體分子間的碰撞相互作用、氣體分子與容器壁的碰撞相互作用等都是隨機的。因此，沒有理由認為某一個微觀狀態出現的幾率比其他的微觀狀態更大。從這一假設出發，它的各種推論都和實驗相符合，因而它也成為了統計物理學中的一個基本假設，被廣為接受。

麥克斯韋-玻爾茲曼分布律就是從這一假設出發，描述密閉容器中孤立系統的理想氣體分子處于平衡態時，按能量分布的分布函數，即

式中：C為歸一化系數。玻爾茲曼分布是熱力學幾率的最大的宏觀分布。

1.2 玻爾茲曼統計力學具有局限性

自19世紀玻爾茲曼統計物理學問世以來，由于其所描述的系統宏觀特征和實驗能夠很好地符合，因而獲得廣泛應用，成為最重要的統計工具。但是，麥克斯韋-玻爾茲曼統計所描述的是處于平衡態下的理想氣體模型，也就是說，對于某些非平衡系統[1～3]，如長程相互作用系統[4]，它是不適用的。

恩里克·費米在《熱力學》一書中指出[5]：一個由幾部分組成的系統的熵正好等于其的各個部分的熵之和。當系統的能量為其他各部分能量之和，或者是一個系統在其變換過程中做的功等于其各個部分做的功總和時，這種表述是正確的。例如，某一系統是由系統A和系統B所組成的，那么該系統的熵就等于原來系統A 和系統B的熵之和，即S（A+B）=S（A）+S（B）。但是，特別要注意的是它所說的前提條件并不是對于所有的系統都一定滿足。也就是說，對于存在著長程相互作用的系統，各個分系統的能量相加并不等于組合系統的能量。這時，總系統的熵就不再是分立系統A和系統 B 的熵之和，即 S（A+B）≠S（A）+S（B）。假如還是利用麥克斯韋-玻爾茲曼統計進行描述，就會有所局限[6]。對于玻爾茲曼統計力學所遇到的困難，英國物理學家蘭茲伯格在1978年提出[7]：為了描述長程力，有必要對熱力學進行修正，其中的一些問題還需要進一步的研究。

正是經典的麥克斯韋-玻爾茲曼統計力學具有的局限性[8]，說明某些具有長程相互作用的物理系統超出了它的適用范圍。所以，必須對這一經典理論進行推廣，從而能夠描述更多更復雜的物理系統。同時，推廣后的理論通過取得某些特定值，還應該能夠回到原來的玻爾茲曼理論，從而使得新理論具有更為普遍的應用范圍。

1.3 熵

為在物理上實現對經典玻爾茲曼統計力學的推廣，就需要在傳統統計中尋找一個出發點，而傳統熱力學中最為重要的核心概念就應當是熵。將熵作為這個出發點，那便是最大熵原理。

作為信息論的創始人，香農于20世紀從信息論的角度提出香農熵：

式中：pi為物理系統第i個微觀態的概率，滿足

W為系統微觀狀態的總數。所以一個物理系統的內能可以定義為：

式中：Ei為系統的第i個微觀態的能量本征值。在等幾率原理假設下，pi=1/W，此時香農熵就可以回到平衡態下的玻爾茲曼熵：

因此，熵的概念更加豐富，無論是在平衡態時，還是非平衡態時，甚至是不可逆過程中，熵都有了物理意義。后來，杰尼斯提出：最大熵原理不具任何物理意義，而僅僅是一個推論的工具。可以利用對熵取極值的方法，并在條件（2）和（3）的限制下，人們能夠從熵的角度，分別在系綜論和分子運動論中重新推導出整個傳統統計力學。

既然最大熵原理并不局限于某一類物理系統，而是普適的，那么就可以將它直接作為新統計理論的基本原理。通過推廣熵函數的數學形式，建立新的廣義統計理論。玻爾茲曼熵，可寫為：

顯然，式中的對數函數滿足可加性

這就使得玻爾茲曼熵也具有了這種可加性

即由系統A和系統B所組成的新系統的熵等于原來系統A和系統B的熵之和，所以在玻爾茲曼統計理論中，熵是廣延量。正如之前所說，人們可以從推廣玻爾茲曼熵的形式出發得到新的統計理論，但是對于推廣后新的熵，則可能就不再滿足該可加性了。

2 非廣延性q熵及其參數

對經典廣延性的熵推廣時，可以把方程（5）推廣為：

這正是1988年由巴西物理學家Tsallis[9]提出的推廣后的熵。其中，定義廣義對數函數此時，對于A和B兩個相互獨立的系統，它們的微觀態概率和經典統計一樣，都可以滿足

但不同的是，此時它們總系統的熵卻不滿足可加性，即Sq（A+B）≠Sq（A）+Sq（B），而只滿足一種偽可加性

顯然，在q≠1時，Tsallis熵不是廣延的。而取極限q→1時，Tsallis熵函數回到了經典的玻爾茲曼熵，重新成為廣延量。所以，引入的參數q就是物理系統非廣延性的量度，其取值同1偏離的程度表示了系統的非廣延性程度。

獲得了推廣后的非廣延熵，就可以對廣義對數函數取反函數，得到廣義的e指數函數，exp（x）=[1+，從而得到Tsallis分布函數

式中：C為歸一化系數。

自從Tsallis非廣延性統計力學提出后，眾多不同領域的研究都取得了新的進展。在自引力系統、非線性動力學系統[10]、金斯判據[11]、鐵磁系統[12]、一維Ising模型[13]、純電子等離子體系統[14]、量子氣系統[15]、Lévy奇異分布[16]及核反應[17]等方面成功解釋了某些經典統計無法解釋的現象，從而獲得了廣泛的認同。

然而，這些大量的關于Tsallis非廣延統計應用的研究，卻更加需要對其參數q的物理意義的深入理解，從而能夠更好地分析非廣延性統計和玻爾茲曼統計之間的關系。因此，通過廣義的玻爾茲曼方程，研究具有一定溫度梯度的非平衡定態系統，可以得到參數q的關系[18～19]與系統的溫度梯度和外場力F=e▽φ之間的數值關系

從方程（12）中可以發現參數q同1之間的差異表示了系統溫度梯度的大小，也就是系統偏離平衡態的程度，這也印證了之前所說的參數q可以反映系統的非廣延性的大小。另一方面，方程（2）～（5）也說明了在非廣延q統計下，要求系統的溫度梯度的方向和系統所受到的外場力F=e▽φ的方向平行。這也就是說，非廣延性q統計更適用于描述溫度梯度方向和外場力方向相平行的系統，例如自引力天體系統[20]。

3 κ熵及其參數

除了Tsallis非廣延性q統計，還有多種不同的廣義統計，通過不同的方式推廣玻爾茲曼熵，引入不同的參數，對經典的玻爾茲曼統計進行推廣，從而描述不同的非平衡態系統。其中最為常見的是由Kaniadakis提出的κ統計[21～22]，其熵函數可以寫為：

式中：C為歸一化系數。當參數κ=0時，方程（13）中的κ熵函數回到經典的玻爾茲曼熵，方程（14）中的κ分布函數回到玻爾茲曼分布。

同樣利用廣義的玻爾茲曼方程，考慮一個由N個粒子組成的系統，處在外力場F的作用下。對于該非平衡定態系統，可以在κ統計下分析其參數κ同溫度梯度和外場力F之間的關系為[23]：

這意味著參數κ同樣能表示非平衡系統溫度梯度的大小，κ同0的偏離值表明了該系統偏離平衡態的程度，即κ統計偏離玻爾茲曼統計的大小。然而，與非廣延q統計不同的是方程（15）說明了在κ統計下，系統所受到的外場力F的方向和溫度梯度是彼此垂直的。因此，κ統計更適合于描述外場力F的方向和溫度梯度垂直的非平衡系統。

非廣延q統計和κ統計雖然都可以描述非平衡定態系統，但它們所適用的系統卻不同。這表明不同的非平衡系統可能需要不同的廣義統計來描述，因此有必要研究不同廣義統計參數的物理意義，由此推斷它們各自所適用的系統。

4 雙參數廣義統計

為了理清不同種類的廣義統計之間的關系，Kaniadakis[24]提出了一種雙參數的廣義統計，其熵函數中的廣義對數函數可寫為：

從方程（17）中可以發現，在取極限ζ→0時，可以得到廣義的q對數函數；或者也可以令ζ=1，從而得到κ統計中的廣義對數函數lnκ（x）=也就是說，從這種雙參數廣義統計出發，可得到Tsallis統計、κ統計，或者更多的不同形式的廣義統計。

另外，利用廣義的玻爾茲曼方程，分析這種雙參數廣義統計中的2個參數κ、ζ，就可得到[25]

從方程（18）中，可以看到雙參數中的參數κ表示了系統的溫度梯度的大小，也就是表示了系統偏離平衡態的程度，即該廣義統計偏離經典玻爾茲曼統計的程度。方程（19）表示了溫度梯度和外場力F之間夾角的余弦值。也就是說，雙參數廣義統計可以描述具有一定溫度梯度的非平衡定態系統，并且系統溫度梯度的方向和其所受到的外場力的方向之間夾角的余弦值可以用表示。

作為這種雙參數廣義統計的2個特例，Tsallis非廣延q統計和κ統計同樣可以描述非平衡定態系統，各自的特征參數可以作為它們偏離經典玻爾茲曼統計的量度。然而，不同形式的廣義統計，其可以是不同的，這就使得它們能夠描述的系統的溫度梯度和外場力F之間的夾角可以不同，即不同形式的廣義統計所適用的系統可能不同。這對于尋找廣義統計所適用的應用領域具有非常重要的指導意義。

5 Abe廣義熵函數

從雙參數廣義統計可知，當其參數κ、ζ取不同值時，可得到不同的廣義統計，經過一系列代數運算[26]得到Abe在1997年提出的另一種廣義熵[27]

式中：當參數qA→1時，廣義對數函數式（21）回到標準自然對數函數形式。由此，可以將分布函數寫為：

為了分析參數qA在熵函數中的物理意義，首先研究一個由N個粒子所組成的廣義動力學系統。假設該系統中每個粒子的質量為m，則其分布函數表示粒子處在相空間（x，v，t）處的幾率。如果系統處于外場力F的作用下，那么它就滿足描述系統動力學規律的廣義玻爾茲曼方程

式中：C（fqA）為碰撞項。當系統處于廣義平衡態時，方程（23）中的碰撞項為零，即滿足：

方程（25）兩邊同時對坐標求梯度，可得到：

方程（25）兩邊同時對速度求梯度，可得到：

由方程（26）可得到：

將方程（27）和（28）代入到方程（24），可得到：

經整理化簡后，利用方程（25），可得到：

參數qA的方程，雖然不像非廣延性q統計和κ統計那樣，能夠得到關于其參數的簡單的數學關系，但從這個方程中，仍可以看到參數qA將系統的溫度梯度和外場力F聯系起來，表明它們之間的數值關系。因此，參數qA既是反應系統偏離平衡態程度的一個特征量，也是該廣義統計的一個核心參量。

6 結語

通過對經典的玻爾茲曼熵的推廣，引入不同的參數，得到了不同的廣義熵函數，進而得到相應的廣義統計。本文詳細分析了Tsallis非廣延q統計熵、κ統計熵、雙參數廣義統計熵及Abe熵中的參數。并從廣義的玻爾茲曼方程出發，研究了它們各自的物理意義。不同的廣義統計的參數都可以看做是它們和經典玻爾茲曼熵之間偏離程度的量度，且這些參數還可以表示出相應的廣義統計的適用范圍。本研究既可理清不同的廣義統計之間的關系，又可為更多的應用領域打開通道。

參考文獻：

［1］CHAVANIS P H，VATTEVILLE J，BOUCHET F.Dynamics and thermodynamics of a simple model similar to selfgravitating systems：The HMF model［J］.European Physical Journal B，2005（46）：61-99.

［2］CAMPA A，GIANSANTI A，MORONI D，et al.Classical spin systems with long-range interactions：Universal reduction of mixing［J］.Physics Letters A，2001，286（4）：251-256.

［3］CABRAL B J C ，TSALLIS C.Metastability and weak mixing in classical long-range many-rotator systems［J］.Physical Review E，2002，66：065101.

［4］CHAVANIS P H.Quasi-stationary states and incomplete violent relaxation in systems with long-range interactions［J］.Physica A，2006，365（1）：102-107.

［5］FERMI E.Thermodynamics［M］.New York：Courier Dover Publications，1956.

［6］Robertson H S.Statistical Thermophysics［M］.New Jersey：Prentice Hall，1993.

［7］LANDSBERG P T.Thermodynamics and Statistical Mechanics［M］.Oxford：Oxford University Press，1978.

［8］TSALLIS C，Menes R S，Plastino A R.The role of constraints within generalized nonextensive statistics［J］.Physica A，1998，261：534-554.

［9］TSALLIS C.Possible generalization of boltzmann-gibbs statistics［J］.Journal of Statistical Physica，1988，52：479-487.

［10］TIRNAKLI U，LYRA M L.Critical dynamics of anisotropic Bak-Sneppen model［J］.Physics A，2004，342：151-157.

［11］DU J.Jeans’criterion in nonextensive statistical mechanics［J］.Physica A，2004，335：107-114.

［12］ANDRADE R F S，PINHO S T R.Tsallis scaling and the long-range Ising chain：A transfer matrix approach［J］.Physical Review E，2005，71（026126）：1-8.

［13］TIRNAKLI U，DEMIRHAN D，BUYUKKILIC F.Comparison of the standard statistical thermodynamics with the generalized statistical thermodynamics results for the Ising chain［J］.Acta Physica Polonica A，1997，91（6）：1035-1042.

［14］HUANG X P，ANDEREGG F，HOLLMANN E M，et al.Steady-state confinement of non-neutral plasmas by rotating electric fields［J］.Physical Review Letters，1997，78：875-878.

［15］OU C J，CHEN J C.Nonextensive thermostatistic properties of a q-generalized Fermi system ［J］.European Physical Journal B，2005，43：271-277.

［16］VIGNAT C，NAUDTS J.Stabilily of families of probability distributions under reduction of the number of degrees of freedom［J］.Physica A，2004，350：296-302.

［17］PEREIRA F I M，SILVA R，ALCANIZ J S.Nonextensive effects on the relativistic nuclear equation of state［J］.Physical Review C，2007，76：251-266.

［18］DU J.Nonextensivity and the power-law distributions for the systems with self-gravitating long-range interactions［J］.Astrophysics and Space Science，2007，312：47-55.

［19］DU J.The nonextensive parameter and Tsallis distribution for self-gravitating systems［J］.Europhysics Letters，2004，67（6）：893-899.

［20］DU J.What does the nonextensive parameter stand for in selfgravitating systems［J］.Astrophysics and Space Science，2006，305（3）：247-251.

［21］KANIADAKIS G.Non-linear kinetics underlying generalized statistics［J］.Physica A，2012，296：405-425.

［22］KANIADAKIS G.Statistical mechanics in the context of special relativity［J］.Physical Review E，2002，66（056125）：361-362.

［23］GUO L，DU J，LIU Z.The property of κ-deformed statistics for a relativistic gas in an electromagnetic field：κ parameter and κ-distribution［J］.Physics Letters A，2007，367：431-435.

［24］KANIADAKIS G.Statistical mechanics in the context of special relativity II［J］.Physical Review E，2005，72（036108）：1-14.

［25］GUO L.Physical meaning of the parameters in the twoparameter（κ，ζ）generalized statistics［J］.Modern Physics Letters B，2012，26（1250064）：1378-1388.

［26］KANIADAKIS G.Maximum entropy principle and power-law tailed distributions［J］.European Physical Journal B，2009，70（1）：3-13.

［27］ABE S.A note on the q-deformation-theoretic aspect of the generalized entropies in nonextensive physics［J］.Physics Letters A，1997，224：326-330.