Rayleigh-Benard對流中的分歧解

周 洋，李 玫，周 強(qiáng)

(1.成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，成都 610106；2.成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610106)

Rayleigh-Benard對流是研究非線性動力學(xué)特性的典型模型之一。在日常生活中這種對流現(xiàn)象較為多見，例如水庫分層和湖泊分層現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可幫助人們對對流現(xiàn)象的理解。Rayleigh-Benard對流是指在一個封閉的渠槽內(nèi)，下表面均勻或者周期性加熱，上表面溫度保持一定，上下表面形成的溫度差超過某個臨界數(shù)值時，就會導(dǎo)致渠槽內(nèi)流體流動的現(xiàn)象。對于這種流動，Rayleigh與Benard先后進(jìn)行了理論與試驗(yàn)分析，從而被稱作Rayleigh-Benard對流[1-3]。

Rayleigh-Benard對流是傳熱學(xué)中典型的熱對流問題，簡稱RB對流。RB對流可以產(chǎn)生非常有趣的流場時空結(jié)構(gòu)。許多科研工作者在混合流體方面的研究比較深入，并取得了大量而有意義的成果。而對純流體對流研究尚不多見。本文以純流體的Rayleigh-Benard對流為例，經(jīng)過模擬發(fā)現(xiàn)了定常流動解的不唯一性。存在著分歧解。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 流體力學(xué)基本方程組[4]

以一個封閉的渠槽作為研究對象，如果上部平板的溫度固定不變，保持常數(shù)。當(dāng)下部平板的溫度升高到某個數(shù)值時，由于上下表面流體密度的不同，導(dǎo)致了在兩平板之間將會發(fā)生流體對流現(xiàn)象，對流運(yùn)動的流場時空結(jié)構(gòu)隨上下板之間溫度差的變化而變化。假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于底板與左側(cè)壁的交匯處，x軸向右為正，z軸向上為正。流卷的軸線保持平行，在布西涅斯克假設(shè)下，流體力學(xué)方程組如下：

▽U=0

(3)

假設(shè)溫度場 距離平均值波動很小，質(zhì)量密度的狀態(tài)方程可表示為：

ρ=ρ0[1-α(T-T0)]

(4)

式中由加熱引起的體積膨脹系數(shù)可表示為：

(5)

如果把流體層厚度d作為長度的量綱，那么時間可表示為d2/k，速度可表示為k/d，壓強(qiáng)可表示為ρ0k2/d2，流體力學(xué)基本方程組無因次化可表示為：

▽·δU=0

(6)

(7)

(8)

式中：R為瑞利數(shù)；Pr為普朗特數(shù)；δT=(T-T0)/ΔT，ΔT為上下壁面的溫差。

1.2 計算的初始條件和邊界條件

為了準(zhǔn)確求解方程組必須給出合理的邊界條件。研究區(qū)壁面為固體壁面，壁面上速度為0。初始條件，δu=δw=0，初始溫度取上下壁面溫度的平均值。具體邊界條件為，當(dāng)z=0，1時，δu=δw=0；當(dāng)x=0，Γ時，δu=δw=0。

δu為水平流速，δw為垂向流速。

1.3 數(shù)值計算方法

本次對流體力學(xué)方程組的求解使用流體力學(xué)計算軟件FLUENT，計算采用雙精度有限差分法，計算區(qū)域的長高比 =10，計算區(qū)域中采用均勻網(wǎng)格。時間步長取0.01 s。

下面討論P(yáng)r=1和Pr=6.99兩種情況下的定常流動情況下的數(shù)值模擬結(jié)果。

2 模擬結(jié)果與結(jié)論

2.1 Pr=1情況下定常流動的對流結(jié)構(gòu)

圖1 R=1 878.8 對流場空間分布結(jié)構(gòu)Fig.1 The space distribution structure of convection field for R=1 878.8

圖2 R=2 930.6對流場空間分布結(jié)構(gòu)Fig.2 The space distribution structure of convection field for R=2 930.6

初始條件無論怎么變化，就會只有這兩種情況。經(jīng)過計算模擬，當(dāng)R=1 878.8～2 732.8，對流只會出現(xiàn)一種波數(shù)的情況，即出現(xiàn)10個對流滾動圈，當(dāng)R=2 930.6～3 416，流場會出現(xiàn)11個對流滾動圈。參考文獻(xiàn)5也得出，相對瑞利數(shù)在1.1～25，即R=1 878.8～42 700之間，流體的對流滾動圈存在著多種穩(wěn)定的狀態(tài)。這說明對流的解存在了分歧[6-9]，驗(yàn)證了本文計算結(jié)果的正確性。

2.2 Pr=6.99情況下定常流動的對流結(jié)構(gòu)

圖3 R=1 878.8對流場空間分布結(jié)構(gòu)Fig.3 The space distribution structure of convection field for R=1878.8

圖4 R=1 878.8 對流場空間分布結(jié)構(gòu)Fig.4 The space distribution structure of convection field for R=1 878.8

同樣經(jīng)過長時間穩(wěn)定計算，當(dāng)R=1 878.8～2 903.6，對流滾動一直維持著兩種波數(shù)的情況。當(dāng)R=3 074.4～3 416，對流將不在維持兩種波數(shù)的對流滾動圈了，會出現(xiàn)3種波數(shù)的對流圈。給定初始條件出現(xiàn)了9，10，11個3種 對流滾動圈。這也說明了解的不唯一性和不穩(wěn)定性。參考文獻(xiàn)[5]也得出，相對瑞利數(shù)在1.1～25之間，即R=1878.8～42700之間，流體的對流滾動圈存在著多種穩(wěn)定的狀態(tài)。驗(yàn)證了本文計算結(jié)果的正確性。圖5是11個滾動圈的對流結(jié)構(gòu)。

圖5 R=3 074.4對流場空間分布結(jié)構(gòu)Fig.5 The space distribution structure of convection field for R=3 074.4

3 結(jié) 語

本文通過對二維流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬,討論了Pr=1和Pr=6.99兩種流體的對流流場結(jié)構(gòu)。當(dāng)Pr=1時，R在某個范圍內(nèi)R=1 878.8～2 732.8，對流的解是唯一的，超過這個范圍，R=2 930.6～3 416，就會出現(xiàn)分歧現(xiàn)象。解是不唯一的。當(dāng)Pr=6.99時，在某個范圍內(nèi)R=1 878.8～2 903.6出現(xiàn)了兩種波數(shù)的對流滾動圈，當(dāng)R=2 930.6～3 416，這種情況將會出現(xiàn)3種波數(shù)的對流滾動圈。

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[1] Cross M C，Hohenberg P C. Pattern formation outside of equilibrium [J]．Review of Modern Physics, 1993,65(3):998-1 011．

[2] Getling A V. Rayleigh-Benard convection[M]．London: World Scientific，1998．

[3] Chandrasekhar S．Hydrodynamics and hydromagnetic stability[M]． Oxford: Clarendon Press，1961：22-26.

[4] 梅 歡.譜元方法求解不可壓縮流體流動及流動線性穩(wěn)定性分析[D]. 重慶：重慶大學(xué)，2012.

[5] 周 洋.具有水平流動的Rayleigh-Benard對流[D].西安：西安理工大學(xué)，2009.

[6] Ning Lizhong，Harada Y, Yahata H. Transition of convection patterns in a rectangular cell [J]. Journal of Hydrodynamics,2001,13(4):65-71．

[7] 楊 茉,崔曉鈺,陶文銓, 等.低Prandtl數(shù)水平流體層自然對流的振蕩和分歧[J]．工程熱物理學(xué)報，2000，21(4)：461-465．

[8] Ning Lizhong, Harada Y, Yahata H, et al. Fully developed traveling-wave convection in binary fluid mixtures with lateral flows[J]．Progress of Theoretical Physics, 2001,106(3):503-512．

[9] Ning Lizhong, Haradan Y, Yahata H. Modulated Traveling waves in binary fluid convection in an intermediate-aspect-ratio rectangular [J]．Progress of Theoretical Physics,1997,97(6):831-848．