利用函數及等價轉化法證明二元不等式問題之一

張貴元

(內蒙古包頭市薩拉齊第二中學 014100)

(1)若函數f(x)在(0,+∞)上為單調遞增函數，求a的取值范圍；

又因為f(x)在(0,+∞)上為單調增函數，

所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，

即x2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立，

(2)證法1 由于交換m,n不影響不等式的結構，故可以設m>n.

所以x∈(1,+∞).

所以只需證明g(x)>2即可.

而g′(x)=

令h(x)=x2-2xlnx-1，x∈(1,+∞)，

所以h′(x)=2x-2(lnx+1)=2x-2-2lnx，

反思與歸納二元不等式有兩種形式，一種形式是對于同一個函數的兩個自變量而言，另一種形式則是對不同函數的不同自變量而言.利用導數解決第一種形式的二元不等式的基本思想是：把這個二元不等式轉化為一元不等式，通過構造函數，然后按照導數研究一元不等式的方法來解決.一般來說，轉化的基本思想有兩種，一是利用函數的單調性，把不等式轉化為一個函數在指定區間上的單調性問題，二是通過"奇次變換"把二元不等式變為一元不等式.

對于第二種形式的不等式，則是轉化為不同函數的最值問題加以解決，即證明 .(特別注意：在把不等式轉化為一元不等式時，要注意變換的等價性以及變換后函數的定義域.)

參考文獻：

[1]韓清海.新課標高中總復習導與練:第一輪[M].廣州：新世紀出版社，2016.