一道數學考題的多種解法

蘇保明

(云南省蒙自市蒙自一中 661100)

(1)求a；

(2)已知p,q,r是正實數，且滿足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值.

分析這是一道貌似題目平和，內容樸實，給人以輕車熟路之感，但是認真仔細品味，卻非同一般，其蘊含著靈活多樣、妙處橫生的解題思路與方法.

因為a是f(x)的最小值，所以a=1.

針對第(2)問有以下十一種解法.

方法一利用基本不等式

解法1 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因為p,q,r是正實數，所以由公式a2+b2≥2ab,得

2pq≤p2+q2,2pr≤p2+r2,2qr≤q2+r2.

所以(p+q+r)2=p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr≤3(p2+q2+r2).

即32≤3(p2+q2+r2)，所以p2+q2+r2≥3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注用均值不等式a2+b2≥2ab的目的是使不等式中含有代數式p2+q2+r2和p+q+r,從而使問題得到圓滿解決.因此利用均值不等式是解決某些不等式問題的一種最基本的方法，同學們應熟練掌握.

方法二利用完全平方公式

解法2 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因為p2-2p+1=(p-1)2≥0，即p2-2p+1≥0，所以p2+1≥2p.

同理，q2+1≥2q,r2+1≥2r,

所以p2+q2+r2+3≥2(p+q+r)，當且僅當p=q=r=1時取等號，

所以p2+q2+r2+3≥6，所以p2+q2+r2≥3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注利用完全平方公式中的特性“非負數”解題，要特別注意不等式中取等號的條件.

方法三利用公式

解法3 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

解法4 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3，即p+q=3-r.

所以p2+q2+r2≥3(當且僅當p=q=r=1時取等號)，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

解法5 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3，

因為p,q,r是正實數，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

方法五空間向量法

解法6 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3,

因為p,q,r是正實數，

所以可設m=(p,q,r)，n=(1,1,1)，則由m·n≤

|m|·|n|得

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注用向量法的關鍵就是正確構造向量m和n，并使得m·n≤|m||n|中出現p2+q2+r2和p+q+r才行.因此利用向量不等式m·n≤|m||n|(或|m·n|≤|m||n|)是解決某些不等式問題的一種新方法，它能使解題過程簡單明了.

方法六柯西不等式法

解法7 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因為p,q,r是正實數，

所以由柯西不等式可知(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=9(當且僅當p=q=r=1時等號成立)，

所以p2+q2+r2≥3，所以p2+q2+r2的最小值為3.

方法七構造等差數列

解法8 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3(p>0,q>0,r>0),

所以p2+q2+r2≥3(當且僅當p=q=r=1時取等號)，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

方法八化圓法

解法9 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3(p>0,q>0,r>0).

設x=p，y=q，則x+y+r-3=0.

化簡得2m≥3r2-6r+9=3(r-1)2+6≥6(當且僅當r=1時取等號)，

所以m≥3，即p2+q2+r2≥3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注先令p2+q2+r2=m，并化為x2+y2=m-r2，再根據直線與圓的位置關系d≤r求出p2+q2+r2的最小值，這就充分體現了化歸與轉化的數學思想方法在解題中的作用.

方法九利用方差的性質

解法10 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因為p,q,r是正實數，所以構造離散型隨機變量X的分布列：

X3p3q3rP131313

所以由EX2≥(EX)2得3(p2+q2+r2)≥9，即p2+q2+r2≥3，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注用此法解決問題的關鍵就是能正確構造離散型隨機變量的分布列，而是否正確構造的關鍵又在于EX2與(EX)2中是否出現所需要的式子.此法是一種帶有很強的技巧性，必須熟練掌握才能運用自如.

方法十判別式法

解法11 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3，所以p+q=3-r.

所以(p+q)2=(3-r)2，所以p2+2pq+q2=9-6r+r2.

令p2+q2+r2=m，則p2+q2=m-r2,所以2pq+m-r2=9-6r+r2.

所以p2+q2+r2≥3(當且僅當p=q=r=1時取等號)，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社,2003(2-3)．