例析“顯零點(diǎn)”“隱零點(diǎn)”解答函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題

蔡旭平

(重慶市秀山高級中學(xué)校 409900 )

在解答函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，很多時(shí)候都需要借助某一函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)x0進(jìn)行解題.若零點(diǎn)x0容易求出，就叫做“顯零點(diǎn)”，若零點(diǎn)x0不易求出或無法求出(當(dāng)然有時(shí)候是可以求出，但無需求出)，就叫做“隱零點(diǎn)”.

部分學(xué)生對于“顯零點(diǎn)”的應(yīng)用比較順手，但對于“隱零點(diǎn)”的應(yīng)用卻束手無策.實(shí)際上，“顯零點(diǎn)”問題我們可以直接求值進(jìn)行解答，而“隱零點(diǎn)”問題我們可以類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行處理. 本文舉例說明如何運(yùn)用“顯零點(diǎn)”與“隱零點(diǎn)”解答函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題.

一、“顯零點(diǎn)”在函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用——直接求值

例1 (2016年全國高考丙卷，理科21題改編)已知函數(shù)k(x)=lnx-x+1,

(1)求函數(shù)k(x)的最大值，并求相應(yīng)的x的取值；

(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，1+(c-1)x>cx.

解析(1)易求當(dāng)x=1時(shí)，k(x)max=0.

(3)由題設(shè)c>1，構(gòu)造函數(shù)g(x)=1+(c-1)x-cx(0

所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g′(x)>0;當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，g′(x)<0.

所以函數(shù)g(x)在(0,x0)單調(diào)遞增，在 (x0,1)單調(diào)遞減.

又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)00.

所以x∈(0,1)時(shí)，1+(c-1)x>cx.

二、“隱零點(diǎn)”在函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用——設(shè)而不求

(1)

參考文獻(xiàn)：

[1]謝芬芳,任北上，劉立明.中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)與培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的研究[J].課程教育研究，2015(4).

[2]江志杰.用零點(diǎn)領(lǐng)域探析不等式恒成立問題[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015(10).