直線系方程在處理函數問題中的作用

紀建靈 吳寶樹

(福建省泉州市第七中學 362000)

吳寶樹，泉州市第七中學數，中學一級教師，教育碩士.

普通高中課程標準試驗教科書數學必修2》在《3.3直線的交點坐標與距離公式》一節中，給出了如下探究題：當λ變化時，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點？這一探究題給出了一種特殊的直線系方程，即過定點的直線系方程.對直線的斜截式方程y=kx+b進行研究，我們同樣可以得到當b為定值，k為參數時，直線為過定點(0,b)的直線系方程，當k為定值，b為參數時，直線為一組斜率為k的平行直線系方程.對直線系方程的研究是解析幾何中的一個熱點問題，同時，在函數與導數的試題中，我們發現，有大量的試題，也是基于直線系方程背景命制的，洞悉了直線系方程的背景，無疑對解決此類函數與導數試題有很大的幫助.

一、過定點的直線系函數試題

例1 (2014新課標Ⅱ文21)已知函數f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線在點(0,2)處的切線與x軸交點橫坐標為-2.

圖1

(1)求a；

(2)證明：當k<1時，曲線與直線y=kx-2只有一個交點.

二、平行直線系函數試題

圖2

三、直線系和動曲線方程互相轉化的試題

在實際問題中，經常能碰到動曲線問題，在處理過程中，動曲線問題往往比較繁瑣，不易解決.如果能夠對試題的條件加以轉化，將復雜的動曲線問題，轉化為熟悉的動直線問題，無疑將大大簡化試題的難度.

A.當a<0時，x1+x2<0,y1+y2>0

B.當a<0時，x1+x2>0,y1+y2<0

C.當a>0時，x1+x2<0,y1+y2<0

D.當a>0時，x1+x2>0,y1+y2>0

參考文獻：

[1]姚承佳，楊蒼洲.揭秘一類壓軸試題的命題技巧[J].數學通訊，2015(3)：55-57.

[2]吳寶樹，楊蒼洲.一類具有部分周期性質的函數試題探究[J].中學數學研究，2016(8):21-22.