識得雙變量 且辨構造法

韓長峰 衛小國

(1.安徽省阜陽太和中學 236600; 2.山東省單縣第一中學 274300)

衛小國(1979-)，男，漢，湖北武漢人，山東省單縣第一中學數學教師，主要數學解題教學研究、數學建模與自主招生試題研究.

一、常規的偏移問題—消元構造

例1 (2016年高考課標Ⅰ卷理)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明：x1+x2<2.

解(1)a的取值范圍(0,+∞).

接下來證明：?x∈(-∞,1)g(x)-g(2-x)>0；也即要證?x∈(-∞,1),ex(2-x)-xe2-x>0.令h(x)=ex(2-x)-xe2-x.

則h′(x)=(ex-e2-x)(1-x)，易知當x<1時，ex-e1-x<0.

于是，在(-∞,1)上，h(x)=ex(2-x)-xe2-x單調遞減且h(1)=0，即可證得.

評注解決函數不等式的證明問題，思路是構造適當的函數,利用導數研究函數的單調性或極值破解.而極值偏移問題，要另借對稱和整體思想構造函數；本質上是將雙變量通過消元轉化為極值點一側的單調性研究.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)證明：當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時，x1+x2<0.

二、對數均值不等式——換元構造

(1)求實數a的取值范圍；

當λ2≥1時，可見t∈(0,1)時，h′(t)>0，

所以h(t)在t∈(0,1)上單調增，又h(1)=0，則h(t)<0在t∈(0,1)恒成立，符合題意．

當λ2<1時，可見t∈(0,λ2)時，h′(t)>0，t∈(λ2,1)時h′(t)<0,所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0，不符合題意，舍去．

綜上所述，λ≥1.

類似的試題有: (2014年天津卷)設f(x)=x-aex.已知函數y=f(x)有兩個零點x1,x2，且x1

三、絕對值類雙變量—分離構造

含絕對值型函數，常規是要分類討論,而若與雙變量結合，通法顯然無能為力，只有充分利用函數的性質，將絕對值“剝離”，為分離構造提供條件.具體操作，且以下題為例進行分析.

例3 (2017年山東濰坊市一月檢測)已知函數f(x)=x2-x,g(x)=lnx.

若a∈[e,3],?x1,x2∈[1,2](x1≠x2),

當a∈[e,3]時，2a+1∈[2e+1,7]，故h(x)在[1,2]上單調遞減.

不妨設1≤x1h(x2).

當x∈[1,2]時，2x-2x2≤0，可知只需a∈[e,3]時， 3(2x-2x2)+x3-2x2+x+m≥0?x3-8x2+7x+m≥0,x∈[1,2].

不難求得m的取值范圍是[10,+∞).

評注絕對值的消除，是借函數的單調性進行的，而后將x1,x2分列于不等式兩側，試題化為某一函數的單調性的論證與求參問題.

類似的試題有: ( 2016年皖西十校聯考)已知f(x)=(a+1)lnx+ax2+1; (2)當a≤-2時求證：對任意x1,x2∈(0,+∞)都有 |f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

參考文獻：

[1]邢友寶.極值點偏移問題的處理策略[J]. 中學數學教學參考(上旬),2014(7)：19-22.

[2]藍云波,何洪標.活躍在各類考試中的對數平均不等式[J]. 數學教學,2016(5)：22-25.