向量數(shù)量積不等式的多種應用

鮑人燈

(浙江省天臺育青中學 317200)

由平面向量的數(shù)量積a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,可以得到數(shù)量積不等式：①a·b≤|a||b|(當且僅當a與b同向時取等號)；②a·b≥-|a||b|(且僅當a與b反向時取等號)；③|a·b|≤|a||b|(當且僅當a與b共線時取等號).在解題中如果能設法構(gòu)造出上述不等式的一端，然后利用數(shù)量積不等式，那么就可以求解諸多數(shù)學問題.下面分類舉例說明.

一、求最值

例1 求下列函數(shù)的最大值：

總之，解題的關鍵是恰當?shù)淖冃危沟脩脭?shù)量積不等式后，消去變元，得出常數(shù).

二、求值域

解(1)原式化成1×sin2x+1×cos2x=y-2.構(gòu)造向量a=(1,1),b=(sin2x,cos2x).由|a·b|≤|a|

(2)去分母，可化成ysinx+(y-1)cosx=1-2y.

構(gòu)造向量a=(y,y-1),b=(sinx,cosx),則由向量不等式得

化成y2-y≤0,從而解得值域是0≤y≤1.

點評(1)題是關于sinx、cosx的二次齊次式，(2)題是關于sinx、cosx的一次分式.這些類型的三角式值域問題，都可用本例的方法求解.

三、證明不等式

點評(1)題在運用數(shù)量積不等式后，汪意條件a+b=1,使得一端出現(xiàn)常數(shù)而獲證.(2)題構(gòu)造出m·n=2,這是解題的閃光點.

四、證明

即1≤(m2+n2)[2-(m2+n2)],(m2+n2)2-2(m2+n2)+1≤0,(m2+n2-1)2≤0,從而m2+n2=1.

點評本例變形中，關注目標式，始終把m2+n2視為一個整體，使得過程順利.

五、解方程

點評本例運用數(shù)量積不等式取等號的條件，得到兩個向量a與b同向是求解x的關鍵.

六、求值

點評本例使用數(shù)量積不等式的目的是減元(消去α)化簡，因此構(gòu)造向量a，b時，應使角α、β分別在向量a、b中.

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參考文獻：

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