排列組合中的幾對互否問題

柳 華

(山東省臨沂市中醫藥職工中等專業學校 276017)

一、“一”與“多”

例1 三封信投入4個信箱，有____種不同的投法；三名運動員爭奪四個項目的金牌，有____種不同的方法.

分析可以利用公式“一”的“多”次冪進行求解.

“一”個信箱可以容納“多”封信，故信箱數為“一”，信的封數為“多”，故有43種不同的投法；

“一” 名運動員可以拿“多” 枚金牌，故運動員數為“一”，金牌數為“多”，故有34種不同的爭奪方法.

評注辨清“一”與“多”是解題的關鍵.

二、鄰與不鄰

例2 有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位.現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同的排法種數為____.

分析若直接從正面解答，較為復雜.可從反面考慮，總的坐法中減去這兩人左右相鄰的情況即可.

評注相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，這兩類問題可互相轉化，相互為用.

三、在與不在

例3 數學、語文、外語、物理、化學、體育；六門科目，安排在一天的六節課內，要求體育不在第一節，數學不在第六節，共有____種不同的排法.

分析數學可排在除第六節外的五節課內，但數學是否排在第一節將影響到體育課的排法.故應分成兩類：

評注在與不在問題應優先考慮限制條件，當條件發生沖突時，應分類解決.

四、含與不含

例4 從1、3、5、7中任取2個數字，從0、2、4、6、8中任取2個數字組成沒有重復的四位數，能被5整除的共有____個.

分析取出的數字含5或0的情況影響到排法，故分三類：(1)四位數中含5和0的情況：

(2)四位數中含5不含0的情況：

(3)四位數中含0不含5的情況：

綜上，四位數總數為120+108+72=300.

評注含與不含問題按取舍分類討論.

五、平均分組與非平均分組

例5 將4名教師分配到3所學校任教，每所學校至少1名教師，則不同分配方案有____種.

分析將4名教師分成3組，全排列即可.

評注理解平均分組的特殊性.

六、有序與無序

例6 某校高二共6個班，現從外地轉入4名學生，安排到2個班中，每班2名，不同安排方法種數為____種.

七、同與不同

例7 將4個相同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，恰有一個空盒的放法種數為____.

評注球相同時，僅注意個數就可以了.

八、至少與至多

例8 在100件產品中有2件次品，抽出的3件至少有1件次品的抽法有____種.

分析題中至少有1件次品包含兩類，1件次品和2件次品，其反面為沒有次品，因此有以下兩種方法.

參考文獻：

[1]張金良.數列錯解典例剖析[J].中學理科,2005(08).

[2]李軍.高中數學數列問題常見錯解簡析[J].學園,2014(09).