“結構”與“配型”的思維指向性

唐德緒

(云南省蒙自一中 661199)

問題1 設數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數列．求數列{an}的通項公式．

思維試驗:可令n=1，n=2得關系式聯立求a1；

由已知可得n≥2時，2Sn-1=an-2n+1，兩式相減．

解(1)當n=1時，

2a1=a2-4+1=a2-3，

①

當n=2時，2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7，

②

又a1，a2+5，a3成等差數列，所以a1+a3=2(a2+5).

③

由①②③解得a1=1.

(2)因為2Sn=an+1-2n+1+1，所以當n≥2時，有2Sn-1=an-2n+1.

兩式相減得an+1-3an=2n，則可配型為an+1+2n+1=3(an+2n).

又a1+21=3,a2+22=9，所以數列{an+2n}是首項為3，公比為3的等比數列，

所以an+2n=3×3n-1，即an=3n-2n.

問題2 已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=2an+(-1)n(n∈N*)．

解當n=1時，a1=S1=2a1-1，得a1=1.

由Sn=2an+(-1)n，當n≥2時，得Sn-1=2an-1+

(-1)n-1.

兩式相減得an=2an-1-2(-1)n，n≥2.

……

上述(n-2)個式子累加得：

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；

當n≥2時，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

當n=1時，b1=1也適合此通項公式．所以bn=2n-1 (n∈N*)．

參考文獻：

[1]G.波利亞.怎樣解題——數學教學法的新面貌[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2002.