一類沖擊振動系統的動力學三維數值模擬分析

王永祥

摘 要 建立了一類沖擊振動系統的力學模型，對其動力學行為使用龐加萊映射法進行了研究。并在三維空間中發現了混沌運動存在關于相位角 =0的虛擬平面空間對稱的兩部分混沌形態結構圖，當激振頻率發生變化時，其 >0的部分不復存在，僅保留 <0的部分。

關鍵詞 沖擊振動 龐加萊映射 混沌運動

中圖分類號：TH113.1文獻標識碼：A

許多工程實際問題涉及到沖擊振動。近幾十年來，沖擊振動系統的分岔與混沌研究取得了驕人的成績。羅冠煒和謝建華分析了雙質體沖擊振動成型機的亞諧分岔與Hopf分岔。羅冠煒和張艷龍研究了沖擊振動成型機的周期運動穩定性，分析了相關范式映射的局部分岔特征。

本文建立了一類三自由度沖擊振動系統的力學模型。推到了系統周期運動的解析解，使用四階龍格庫塔法和龐加萊映射法，數值模擬了系統隨激振頻率變化而由周期一運動向混沌運動演化的過程。

1力學模型及運動微分方程

圖1是一類三自由度沖擊振動系統的力學模型，質量為M1、M2和M3的振子分別由剛度為K1、K2和K3的線性彈簧和阻尼系數為C1、C2和C3的線性阻尼器相聯接，3個振子只作垂直的運動，并分別受到簡諧激振力Pisin（ T+ ） （i=1，2，3）的作用（P2和P3可以等于零，此時振子M2和M3不受力）。以3個質量塊的靜平衡位置為各自的坐標原點建立動力學方程。以X1、X2和X3為M1、M2和M3的位移，向上為正方向，當質量塊M1和M3的位移之差等于等于間隙△時，M1和M3將發生相互碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運動，然后再次碰撞。假設模型中的阻尼滿足：（K1/K2/K3=C1/C2/C3），碰撞過程由碰撞恢復系數R確定。

2系統的周期運動及混沌演化

選擇該沖擊振動系統的一組參數： m2=2.5， m3=5， k2=3.2， k3=8， =0.02，f10=1，f20=0，f30=0， =1。其振子M1的龐加萊映射圖隨 的的變化過程如圖2-1、圖2-2所示。

3結論

（1）當 =3.96時，系統做穩定的周期一運動，每次碰撞時，M1的無量綱位移，x1=0.895，無量綱速度v1=1.99，碰撞M1時所受簡諧力的相位角 =2.0576;

（2）隨 的增大，當 =3.98時，系統做q=1/1的準周期運動;當 =4.027時，系統做多周期運動;

（3）當 =4.0376時，系統處在結構離散的混沌運動狀態;當 =4.0378時，離散的混沌結構連接在一起，形成連續的混沌結構;

（4）隨著 的不斷增大，振子M1的混沌結構圖發生了很大的變化，其中當 =4.15時，形成了“蛇”型混沌結構;

（5）當 =4.2時，振子M1的龐加萊映射圖中產生了兩個全等的三維混沌結構圖，上下兩部分關于 =0的虛擬平面對稱;

（6）當 =4.3時，三維混沌結構圖中 >0的上面部分消失，僅保留 <0的下面部分。

參考文獻

[1] 羅冠煒，謝建華.強共振情況下沖擊成型機的亞諧與Hopf分岔[J].力學學報， 2003，35（05）： 92-98.

[2] 羅冠煒，張艷龍.沖擊振動成型機周期運動的Hopf-flip余維二分岔與混沌[J].工程力學，2007， 24（09）： 140-147.