基于無偏灰色馬爾科夫模型的客流量預測

馬彪

(鐵道警察學院 軌道交通安全保衛(wèi)系，河南 鄭州　450053)

近年來，中國的城市軌道交通發(fā)展非常迅速，逐步成為市區(qū)人們日常出行的首選交通工具。截至2016年底，已獲得國務院城市軌道交通建設項目批復的城市有58個，其中已經開通運營地鐵的城市31個，預計到2020年將達到45個，未來5～10 a，我國城市軌道交通建設將進入高峰時期。對未來客流量的預測是影響軌道交通項目規(guī)劃的一個重要指標，它為項目的決策與判斷提供數(shù)據(jù)支持，同時也是后期運營中列車編組、行車密度和運行交路制定的重要參考依據(jù)。此外，隨著各城市軌道交通的不斷開通運營，公共安全問題也漸漸成為社會的熱點話題，由于地鐵處于地下密閉空間，具有聯(lián)動性強、客流量大、救援困難等特點，一旦發(fā)生公共安全問題極易造成人員擁擠踩踏，后果不堪設想。雖然已開通城市軌道交通的城市都已組建了專門安保力量，但都面臨警力不足問題。精確的客流預測能為公安機關科學靈活地用警布警提供科學依據(jù)，實現(xiàn)警力資源優(yōu)化配置，確保城市軌道交通運營安全。

目前關于客流預測的方法和算法有很多種，國外有關學者在此方面做了大量研究，文獻[1]提出目標導向神經網絡預測模型，對公路短時客流進行預測，得到較好的預測效果。文獻[2]結合貝葉斯規(guī)則和條件概率理論對不同的神經網絡進行優(yōu)化，將優(yōu)化后的模型應用到高速公路短時客流預測，表明優(yōu)化后的模型比單個神經網絡模型的預測結果更準確。目前國內在客流預測方面正處于發(fā)展時期，文獻[3]利用小波神經網絡模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的BP神經網絡模型對分解后的低頻信號進行預測，精度有所提高。文獻[4-7]運用灰色理論對城市軌道交通客流、鐵路客流及鐵路貨運量進行預測研究。文獻[8]在GM(1,1)模型的基礎上改進了馬爾科夫算法對城市軌道交通客流的周期時變特點進行研究。文獻[9-10]運用灰色馬爾科夫模型對鐵路貨運量和機場危險品數(shù)量進行預測。文獻[11-15]對城市軌道交通客流預測技術、方法和模型進行研究。文獻[16-18]對城市軌道交通客流特征進行分析研究。

綜合客流預測的國內外研究現(xiàn)狀可以發(fā)現(xiàn)：很多研究者都是針對長期客流預測進行研究，而對于短期客流預測，由于受更多因素的隨機影響，呈現(xiàn)出更強的非線性和波動性，規(guī)律性很難把握，預測難度遠超長期客流。本文以鄭州地鐵1#線為研究對象，重點對城市軌道交通短時客流的預測方法進行研究，以得到更加符合實際情況的城市軌道交通短期客流預測結果。

1　灰色GM(1，1)模型與無偏灰色GM(1，1)模型

1.1　灰色GM(1，1)模型

灰色理論是通過少量的、不完整的信息，建立灰色預測模型，對事物發(fā)展趨勢做出模糊描述。城市軌道交通是一個抽象的系統(tǒng)，影響客流量的因素很多，如天氣、節(jié)日、重大活動等，其中部分因素可知，部分因素未知，因此可將城市軌道交通系統(tǒng)看成一個灰色系統(tǒng)，進行客流預測常采用GM(1，1)模型。

GM(1，1)模型是一種最常用的灰色模型，表示一階、單個變量的微分方程。設X(0)為非負的原始樣本序列，即

X(0)={X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n)},

式中n為樣本個數(shù)。

運用灰色理論對原始數(shù)據(jù)X(0)進行一次累加生成處理，得出新的生成序列X(1)，有

新生成序列近似服從指數(shù)規(guī)律，對其建立預測模型，有

，

(1)

式中a、u為未知待定參數(shù)。

采用最小二乘法求解參數(shù)a、u，有

(2)

將a、u代入式(1)得出X(1)的灰色預測GM(1，1)模型

式中X(1)(k+1)為前(k+1) d的預測客流量累計之和。

累減還原后得到預測客流量

式中X(0)(k+1)為第k+1天預測客流量。

1.2　無偏灰色GM(1，1)模型

傳統(tǒng)灰色GM(1，1)模型雖然計算簡單，所用數(shù)據(jù)較少，但模型精度較低，存在偏差，為了提高精度，文獻[18]提出無偏灰色GM(1，1)模型。與傳統(tǒng)灰色GM(1，1)模型相比，無偏灰色GM(1，1)模型偏差減小，且無需累減還原，簡化了建模步驟。無偏灰色GM(1，1)模型可表示為：

(3)

式中：b=ln((2-a)/(2+a))，A=2u/(2+a)。

由式(2)計算出a、u后，便可求得b、A，帶入式(3)即可得出每日的預測客流量，不用進行累減還原，簡化了計算步驟。

2　無偏灰色GM(1，1)模型檢驗

灰色GM(1，1)模型檢驗常用的有后驗差檢驗和小誤差概率檢驗。

2.1　后驗差檢驗

(4)

(5)

q(0)(k)=X(0)(k)-X＾(0)(k)，

(6)

(7)

(8)

計算后驗差比值

C=S2/S1

。

(9)

2.2　小誤差概率檢驗

(10)

一般情況下，模型的精確度等級劃分如表1所示。

表1　模型檢驗等級表

3　馬爾科夫模型

對于一個隨機的過程，不同時刻下的狀態(tài)之間具有某種聯(lián)系。馬爾科夫模型根據(jù)狀態(tài)之間的轉移概率來描述動態(tài)隨機過程的發(fā)展狀況，轉移概率反映各狀態(tài)之間的聯(lián)系。城市軌道交通客流量的變化具有隨機波動的特性，而馬爾科夫模型可以描述隨機波動的特點，因此可以采用無偏灰色馬爾科夫組合模型，既可以通過無偏灰色GM(1，1)模型對城市軌道交通客流總體趨勢進行預測，又可以利用馬爾科夫模型對客流的隨機性進行預測，使最后得出的預測結果更加符合城市軌道交通客流實際。

時間、狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈，馬爾科夫鏈是隨機過程X1，X2，X3，……的一個數(shù)列，這些變量所有可能的取值集合就稱為馬爾科夫鏈的“狀態(tài)空間”，其中任一狀態(tài)可表示為：

X(0)(n)=X(t)P(n-t),

式中:X(t)為初始時刻t的狀態(tài)概率向量；X(n)為經過n-t個時刻后的狀態(tài)概率向量；P為狀態(tài)轉移概率矩陣。

計算得出無偏灰色預測值后，對其進行馬爾科夫優(yōu)化。首先對預測結果進行狀態(tài)劃分，然后計算狀態(tài)轉移概率，構造狀態(tài)轉移矩陣，最后應用馬爾科夫模型進行優(yōu)化。

3.1　狀態(tài)劃分

狀態(tài)劃分以實際客流量與預測客流量的相對誤差R(k)為標準，分析相對誤差序列的特點，對其進行分類，劃分出不同的狀態(tài)，使得數(shù)據(jù)盡可能均勻地分布在各個狀態(tài)。R(k)的計算公式為：

(11)

若將相對誤差序列劃分為m個狀態(tài)，可表示為E1，E2，E3，……,Em，第i個狀態(tài)區(qū)間Ei=[Qi，Ri],(i=1，2，……，m)，其中Qi，Ri為狀態(tài)Ei的上、下邊界。

3.2　狀態(tài)轉移概率矩陣的構造

計算狀態(tài)轉移矩陣是馬爾科夫模型的關鍵步驟，通過狀態(tài)轉移矩陣，可以清晰地看出各狀態(tài)之間轉移的概率，從而通過概率論方法確定下階段客流量的走向，可以大大提高預測的精確度。分別計算每種狀態(tài)向其他狀態(tài)轉移的概率，匯總得出狀態(tài)轉移矩陣。設狀態(tài)Ei的數(shù)據(jù)個數(shù)為Mi，經過r步轉移到狀態(tài)Ej的數(shù)據(jù)個數(shù)為Mij(k)，則狀態(tài)轉移概率

(12)

式中：i，j=1，2，……，m。

得到狀態(tài)轉移概率矩陣

3.3　馬爾科夫優(yōu)化

(13)

4　實例分析

4.1　選取樣本

選取鄭州地鐵2017-02-03—02-18客流量數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：鄭州地鐵運營公司)如表2所示。

表2　鄭州地鐵1#線客流量　萬人·次

由表2可知：由于春節(jié)假期剛過(2月3日為農歷一月初七)，返程客流不穩(wěn)定，導致客流數(shù)據(jù)波動性較大，但總體呈現(xiàn)上升趨勢；周六(2月11日、2月18日)、周日(2月12日)客流相對于工作日客流減少，周一(2月13日)客流增長幅度最大，基本體現(xiàn)了城市軌道交通的客流特性。

4.2　無偏灰色GM(1，1)模型預測客流量

將表2原始的數(shù)列進行一次累加，根據(jù)式(2)可以得出:

(14)

圖1　無偏灰色預測客流量與實際客流量

通過式(14)得出2月3日至2月18日鄭州地鐵1#線無偏灰色預測客流量，并與原始數(shù)據(jù)進行擬合，結果如圖1所示。

無偏灰色預測客流量雖然擬合了城市軌道交通客流的總體分布特征，呈指數(shù)增長趨勢，但未能反映客流的隨機性和波動性的變化特點，擬合效果較差。根據(jù)式(4)～(10)得出C=0.553 9，p=0.81，由表2可知，擬合精度為三級，勉強合格。

4.3　馬爾科夫模型優(yōu)化

根據(jù)式(11)計算R(k)，并根據(jù)R(k)進行狀態(tài)劃分，共劃分為4個區(qū)間，見表3。

根據(jù)式(13)及各狀態(tài)區(qū)間的劃分，對無偏灰色預測客流量進行馬爾科夫優(yōu)化，優(yōu)化值與實際客流值進行擬合，如圖2所示。

表3相對誤差狀態(tài)劃分

狀態(tài)編號狀態(tài)區(qū)間日期一(-16%,-6%]4、8、18二(-6%,0]3、5、7、9、15三(0,4%]11、12、16、17四(4%,9%]6、10、13、14

圖2　馬爾科夫優(yōu)化客流量與實際客流量

由圖2可知：優(yōu)化后馬爾科夫預測與實際客流量擬合程度較高，同時能夠反映客流的隨機性和波動性，C=0.254 3，較無偏灰色預測量精度提高了54%，p=1，精度達到一級。

4.4　馬爾科夫模型預測

根據(jù)式(12)和表3計算狀態(tài)轉移概率矩陣，分別得到2月16日、17日和18日的狀態(tài)轉移概率矩陣：

根據(jù)2月16日、17日和18日客流量及相應的狀態(tài)轉移概率矩陣P(1)、P(2)、P(3)，對2月19日鄭州地鐵1#線客流量進行預測，其預測客流量最有可能處于的狀態(tài)如表4所示。

表4　狀態(tài)預測計算

通過表4可以看出，各狀態(tài)下的狀態(tài)轉移概率的合計值狀態(tài)二最大，表明通過狀態(tài)轉移，2月19日鄭州地鐵1#線的預測客流量最有可能處于狀態(tài)二，即狀態(tài)區(qū)間為(-6%,0]，同理，對2月20日和21日鄭州地鐵1#線的客流量進行預測，結果見表5。

表52月19日至21日預測客流量

日期狀態(tài)客流量/(萬人·次)2月19日(周日)二45.82月20日(周一)四51.32月21日(周二)二47.4

可以看出，通過馬爾科夫模型計算得出的預測客流量非常符合城市軌道交通客流的特點：周日客流較少，周一處于高峰期，周二相對于周一高峰期有所減少。由此判斷，優(yōu)化后的馬爾科夫模型完全可以對城市軌道交通客流進行預測，效果較好。

5　結語

1)無偏灰色馬爾科夫模型克服了無偏灰色GM(1，1)模型的缺點，既可以擬合城市軌道交通客流的總體發(fā)展趨勢，又可以對隨機性和波動性強的數(shù)據(jù)進行預測，模型精度較高，可以為地鐵企業(yè)制定列車開行方案和公安機關布置警力提供依據(jù)。

2)構建馬爾科夫模型過程中，不同的狀態(tài)劃分對最終預測結果的精度影響較大，因此如何進行科學合理的狀態(tài)劃分值得進一步研究。

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