含各向異性左手材料一維光子晶體微腔的Wannier-Stark態

康永強

(1. 山西大同大學 固體物理研究所， 山西 大同 037009； 2. 西安夢溪筆談信息科技有限公司， 陜西 西安 710049)

1 引 言

2000年，Smith成功制造出來第一塊左手材料[1-4]，使得左手材料迅速成為科學家們的研究熱點[5-6]。但實際中，各向同性的左手材料制作起來比較困難，因為人工制備的特異性材料多是由兩種子結構(金屬諧振環陣列和金屬細導線陣列)組合在一起實現負的介電常數和負的磁導率，所以人工制備的左手材料多是各向異性的，或者說是單軸各向異性的。1968年，Veselogo在其論文中首次提到各向異性左手材料概念[7]。Smith對各向異性左手介質進行了系統的描述，并命名主軸上不同符號的介質為不確定媒質(Indefinite media)，將不確定媒質分為4類，來表征其切向波矢量，從而代表不同的電磁波傳播特性[8]。各向異性左手材料要描述其介電常數和磁導率需要用張量形式表示。相對于各向同性左手材料，各向異性左手材料更容易制作。在特定條件下，各向異性左手材料可以代替各向同性左手材料呈現出奇特的電磁特性[9-11]，例如含各向異性左手材料的光子晶體中存在類似于各向同性左手材料和右手材料組成光子晶體的零均值折射帶隙[12-15]。

光子晶體中存在有許多與電子晶體中類似的現象[16-17]。跟電子相比，光子具有更多的優點，如光子不帶電且無相互作用，具有較長的相干時間。理論研究報道光子中存在類似電子晶體中的Wanier-Stark態[18-19]，實驗中在線性啁啾Moire光柵中也觀察到了Wannier-Stark 態。光子的Boch振蕩也成為近幾年的研究熱點。 Malpuech等理論上研究了光子晶體結構中的光學Bloch振蕩[20-21]。人們還在實驗上對不同結構中的光學Bloch振蕩進行研究，例如多孔硅光學超晶格、介質與特異性材料交替排列的準周期結構、Bose-Einstein凝聚體等。但是含各向異性左手材料一維光子晶體耦合微腔結構中的Wannier-Stark態，至今未見報道。本文提出了含各向異性左手材料一維光子晶體耦合微腔結構，計算結果表明Wannier-Stark態存在于該結構的兩類微帶中。

2 理論模型

眾所周知，在普通的光子晶體中，如果含有一個缺陷，在它的帶隙中會出現一個透射峰，如果光子晶體中包含一系列相等的微腔，它的禁帶中會出現一系列透射峰，形成微帶[6,8]。在由正常材料和各向異性左手材料組成的一維光子晶體中周期性地插入一系列微腔，由于存在兩個帶隙[8,16]，一個是零均值折射帶隙，一個是Bragg帶隙，所以會在這兩個帶隙中，同時出現一系列微帶。圖1 是一維光子晶體耦合微腔結構示意圖，其中，A為正常材料，B為各向異性左手材料，C為正常材料，且和材料A具有相同的介電常數和磁導率，但是厚度不同。這樣光子晶體BABA和微腔C交替排列，整個結構可以表示成(B(AB)mC)nB(AB)m,m和n表示光子晶體和微腔的周期數。

假設電磁波由真空垂直入射到一維光子晶體耦合微腔(B(AB)mC)nB(AB)m，材料A電介質參數和磁導率為εA=4，μA=1，材料層C和材料層A有相同的介電常數和磁導率，描述各向異性左手材料層B的介電常數和磁導率取下列對角化的張量形式[17]:

(1)

材料C的厚度變化滿足dCn+1=δdCn，δ為厚度變化的梯度因子。對于厚度梯度因子δ=1時，無厚度梯度調制，這時整個結構可以看作由電介質材料和各向異性左手材料組成的一維光子晶體與一系列等厚的微腔交替排列。

圖1 一維光子晶體耦合微腔結構示意圖，其中A為常規電介質材料，B為各向異性左手材料，C為常規電介質材料。

Fig 1 Schematic representation of the photonic crystal photonic crystal coupled microcavity (CMC) structure. B and A are anisotropic left handed material (ALHM) and conventional material, respectively. C has the same permittivity and permeability as A.

各向異性左手材料的電介質參數和磁導率的態矢量用傳輸線模型描述[16]，TE偏振為

εBy=1-100/ω2，μBx=1.21-100/ω2,μBz=2，

(2)

TM偏振為

μBy=1.21-100/ω2,εBx=1-100/ω2,εBz=2，

(3)

式中ω=2πf為角頻率。從式(2)、(3)可以發現，對于TE模，當f<1.447 GHz時，材料參數εBy、μBx是負的；當f>1.591 5 GHz時，材料參數是正值。對于TM模，材料參數εBx、μBy也類似。我們所取得的材料參數與參考文獻[12]一致，在文獻[12] 中曾提到由正常材料和各向異性左手材料組成的一維光子晶體中存在兩類帶隙，一類是普通的Bragg帶，大約出現在5 GHz附近；另一類為零平均折射率，帶隙大約出現在1 GHz附近。該零均值折射率帶隙在入射角為0°～90°范圍內變化時，受入射角和偏振的影響不敏感。本文只考慮TE波的情形，即電場E沿y方向；對于TM波的情形，只需通過對偶原理，簡單的代換就可以得到。

實驗中通常通過測量高斯脈沖在光子晶體耦合多微腔中傳輸時的透射系數來證明光學的Bloch諧振存在。為了研究高斯脈沖通過該光子晶體耦合微腔的動力學行為，假定一高斯脈沖入射到該光子晶體耦合微腔結構，其譜函數形式為[19-21]：

(4)

其中，Δω為脈沖寬度，ω0為高斯脈沖的中心頻率。透射系數可通過下面的公式計算[20]：

(5)

式中，a(ω)是通過傳輸矩陣計算的頻率為ω時的透射系數，t是時間。

3 結果與討論

3.1 Bragg 帶隙中的Wannier-stark 態

首先考慮頻率范圍位于4.65～4.8 GHz，該帶隙位于Bragg帶隙中[11]，通過傳輸矩陣法計算的光子晶體耦合多微腔的散射態圖(電磁波在傳播方向上對應不同頻率的電場分布)和傳輸譜如圖2所示。一維光子晶體耦合微腔(B(AB)mC)nB(AB)m的周期數取m=6，n=5。其中，圖2(a)和圖2(b)為厚度梯度δ=1的散射態圖和對應的透射譜。從圖2(b)看到有5條傳輸峰位于Bragg帶隙中，并且5條傳輸峰的最大值近似相等，進一步可以發現傳輸譜中透射峰的數目等于結構中微腔的數目。圖2(a)中的亮線是5條透射峰對應的散射態圖。圖2(c)和圖2(d)是厚度梯度δ=1.005的散射態圖和對應的透射譜。為了使透射峰清晰，在圖2(d)中將傳輸譜取對數表示。可以發現圖2(d)中的傳輸譜相對圖2(b)中的傳輸譜發生了明顯的變化，在透射譜中，中間的傳輸峰值明顯高于兩邊的傳輸峰值。

圖2 Bragg帶隙內光子晶體耦合微腔的電場分布和透射譜。(a)和(b)為厚度梯度δ=1.0的散射態圖和對應的透射譜；(c)和(d)為厚度梯度δ=1.005的散射態圖和對應的透射譜。

Fig.2 Electric field distribution and transmission spectrum in the Bragg gap. (a) and (b) are the scattering state map and transmission spectrum forδ=1.0. (c) and (d) are the scattering state map and transmission spectrum forδ=1.005.

3.2 Bragg帶隙中的 Bloch 振蕩

圖3給出了由式(5)計算的在Bragg帶隙(4.65～4.8 GHz)內高斯脈沖通過該光子晶體耦合微腔結構時透射系數的絕對值隨時間的變化行為；取高斯脈沖的中心頻率ω0=4.75 rad/s，高斯脈沖寬度Δω=0.015 rad/s。從圖3中可以看到，隨著微腔厚度梯度的增加，Bloch振蕩的周期縮短，并且隨著耦合微腔厚度梯度的增加透過率減小。

圖3 Bragg帶隙中，高斯光束通過光子晶體耦合微腔時透射系數隨時間的變化。(a)微腔厚度梯度δ=1.002；(b)微腔厚度梯度δ=1.007；(c) 微腔厚度梯度δ=1.009。

Fig.3 Calculated time-resolved transmissions in the Bragg gap with different thicknesses gradientδ. (a)δ=1.002. (b)δ=1.007. (c)δ=1.009.

3.3 零均值折射帶隙中的Wannier-Stark 態

含各向異性左手材料的零平均折射帶隙大約位于0.75～1.1 GHz 范圍內，該帶隙對入射角變化和偏振不敏感[12]，材料B的結構參數εBy和μBx在該范圍內是負值。對于光子晶體耦合微腔結構，一系列微帶出現在零均值折射率帶隙中。圖4(a)和4(b)為零均值折射率帶隙內光子晶體耦合微腔厚度梯度δ=1時的散射態圖和傳輸譜；4(c)和4(d)為對應的調制指數δ=1.12時的散射態圖和傳輸譜。從圖4(d)看到接近中心部位的透射峰能量間隔近似相等，位于邊緣處透射峰的能量間隔明顯比中心部位的透射峰能量間隔大。眾所周知，傳統的Wannier-Stark-ladder能量間隔是相等的，而我們得到的透射峰能量間隔不一致，這可以解釋為我們的光子晶體耦合微腔結構是有限的，而經典的Wannier-Stark-ladder要求滿足周期性邊界條件。

圖4 零均值折射率帶隙內光子晶體耦合微腔的電場分布和透射譜。(a)和(b)為厚度梯度δ=1.0的散射態圖和對應的透射譜；(c)和(d)為厚度梯度δ=1.12的散射態圖和對應的透射譜。

Fig. 4 Electric field distribution and transmission spectrum in the zero mean refractive index gap. (a) and (b) are the scattering state map and transmission spectrum forδ=1.0. (c) and (d) are the scattering state map and transmission spectrum forδ=1.12.

3.4 零均值折射帶隙中的Bloch 振蕩

圖5給出了由式(5)計算的在零均值折射率帶隙(0.75～1.1 GHz)內高斯脈沖通過該光子晶體耦合微腔結構時透射系數的絕對值隨時間的變化，其中，圖5(a)微腔厚度梯度δ=1.12；圖5(b)微腔厚度梯度δ=1.15；圖5(c) 微腔厚度梯度δ=1.2。計算中取高斯脈沖的中心頻率ω0=0.861 rad/s,高斯脈沖寬度為Δω=0.015 rad/s。從圖中同樣看到，隨著微腔厚度梯度因子的增加，Bloch振蕩的周期縮短，并且透過率減小。這個特性與傳統的Bragg帶隙內的Bloch振蕩一致。這是預料之中的，因為光子晶體微腔厚度梯度調制類似于超晶格中的直流電場調制，在超晶格中，隨著外部直流電場的增大，Bloch振蕩的周期減小。該結果論證了Bloch諧振能發生在電介質材料和各向異性左手材料組成一維光子晶體的耦合微腔中。

圖5 零均值折射率帶隙中高斯光束通過光子晶體耦合微腔時透射系數隨時間的變化。(a)微腔厚度梯度δ=1.12；(b)微腔厚度梯度δ=1.15；(c) 微腔厚度梯度δ=1.2。

Fig.5 Calculated time-resolved transmissions in the zero mean refractive index gap with different thicknesses gradientδ. (a)δ=1.12. (b)δ=1.15. (c)δ=1.2.

4 結 論

通過傳輸矩陣法研究了各向異性左手材料和常規電介質材料組成的一維光子晶體耦合微腔結構，結果表明該結構在常規的Bragg 帶隙和零均值折射率帶隙中，同時形成兩類Wannier-Stark 態。當高斯脈沖通過該耦合微腔結構時，隨著耦合微腔厚度梯度因子的增大，兩類帶隙中Bloch振蕩周期都減小，并且透過率降低。

參考文獻：

[1] RAO X S， ONG C K. Amplification of evanescent waves in a lossy left-handed material slab [J].Phys.Rev. B， 2003 ,68:113103.

[2] RAMAKRISHNA S A. Physics of negative refractive index materials [J].Rep.Prog.Phys., 2005, 68(2):449.

[3] 羅黎平, 劉念華. 含負折射率材料的Thue-Morse序列結構的光學透射譜 [J]. 光子學報, 2005, 34(11):1615-1619.

LUO L P, LIU N H. Tranmittance in Thue-Morse quasicrystal containing negative-index materials [J].ActaPhoton.Sinica, 2005, 34(11):1615-1619 . ( in Chinese)

[4] SMITH D R， PADILLA W J， VIER D C. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity [J].Phys.Rev.Lett., 2000, 84:4184.

[5] GAO P, ZHANG C M, AI J J,etal.. Multiple frequency bands of squares split resonant rings and metal wire metamaterials [J].Appl.Opt., 2013, 25:6309-6315.

[6] KANG Y Q, ZHANG C M, MU T K, Resonance modes and inter-well coupling in photonic double quantum well structure with single negative materials [J].Opt.Commun., 2012, 285:4821-4824.

[7] VESELAGO V. Electrodynamics of substa simultaneously negative electrical and magnetic properties [J].SovietPhys.Uspekhi, 1968, 10(4):509-517.

[8] SMITH D, SCHURIG D. Electromagnetic wave propagation in media with indefinite permittivity and permeability tensors [J].Phys.Rev.Lett., 2003, 90(7):077405.

[9] SMITH D, PENDRY J, WILTSHIRE M. Metamaterials and negative refractive index [J].Science, 2004, 305(5685):788-792.

[10] SMITH DR, KOLINKO P, SCHURIG D. Negative refraction in indefinite media [J].JOSAB, 2004, 21(5):1032-1043.

[11] SMITH D R, SCHURIG D, MOCK J J,etal.. Partial focusing of radiation by a slab of indefinite media [J].Appl.Phys.Lett., 2004, 84(13):2244-2246.

[12] XIANG Y J, DAI X Y, WEN S C,etal.. Properties of ominidirection gap and defect mode of one dimensional photonic crystal containing indefinite metamaterials with a hyperbolic dispersion [J].J.Appl.Phys., 2007, 102:093107.

[13] WANG S, GAO L. Omnidirectional reflection from the one dimensional photonic crystal containing anisotropic left handed materials [J].Eur.Phys.J. B, 2005, 48:29-36.

[14] 劉文莉, 唐婷婷, 何修軍. 微波段左手材料光子晶體帶隙特性研究 [J]. 光子學報, 2016, 45(2):169-172.

LIU W L, TANG T T, HE X J. Band gap characteristics of photonic crystals consisted of left-hand material in the microwave band [J].ActaPhoton.Sinica, 2016, 45(2):169-172. (in Chinese)

[15] 康永強， 高鵬， 劉紅梅， 等. 含各向異性左手材料的一維Thue-Mores準周期結構的反射帶隙 [J]. 光子學報， 2015, 44(3):0319004-06.

KANG Y Q, GAO P, LIU H M,etal.. Reflection band gap in Thue-Morse quasicrystal containing anisotropic left handed material [J].ActaPhoton.Sinica, 2015, 44(3):0319004-06. (in Chinese)

[16] KOHMOTO M, SUTHERLAND B, TANG C. Critical wave functions and a Cantor-set spectrum of a one-dimensional quasicrystal model [J].Phys.Rev. B, 1987, 35(3):1020.

[17] DULEA M, SEVERIN M, RIKLUND R. Transmission of light through deterministic aperiodic non-Fibonaccian multilayers [J].Phys.Rev. B, 1990, 42(6):3680.

[18] DULEA M, JOHANSSON M, RIKLUND R. Localization of electrons and electromagnetic waves in a deterministic aperiodic system [J].Phys.Rev. B, 1992, 45(1):105.

[19] KAVOKIN A, MALPUECH G, DI CARLO A,etal.. Photonic bloch oscillations in laterally confined Bragg mirrors [J].Phys.Rev. B, 2000, 61:4413-4416.

[20] WANG T B, LIU N H, DENG X H,etal.. Bloch oscillations in one-dimensional coupled multiple microcavities containing negative-index materials [J].J.Opt., 2011, 13(9):095705.

[21] CALOZ C, ITOH T.ElectromagneticMetamaterials:TransmissionLineTheoryandMicrowaveApplications[J]. New York: Wiley & Sons, 2006.

康永強(1979-)，男，山西文水縣人，博士，副教授，2014年于西安交通大學獲得博士學位，主要從事光子晶體、超材料、石墨烯等方面的研究。

E-mai: kyq_2000@sohu.com

Supported by Fundamental Research Funds for The Univeresities(2016MS132)