基于優先權排隊的顧客均衡行為

岳艷萍

（山西大學經濟與管理學院，太原030006）

一、模型描述

本文就是否具有強占優先權的兩類客戶進行討論。為了研究的方便，針對所研究的模型進行了一些假設。

（一）模型假設

（1）假設系統中存在兩類潛在客戶，即客戶1和客戶2，客戶1是指具有優先權的客戶，而客戶2是指不具有優先權的客戶。

（2）兩類客戶的平均到達率為λ1和λ2，總的到達率為λ1+λ2=λ。

（3）該排隊模型為M/M/1模型。每個客戶的服務時間是隨機的，且都服從負指數分布。記每個客戶的服務時間為S，平均服務時間為μ-1。

（4）記有優先權客戶在系統中的平均排隊等待時間為Wq1，平均逗留時間為Ws1；沒有優先權的客戶在系統中的平均排隊等待時間為Wq2，平均逗留時間為Ws2。

（5）每類客戶在服務完成后所獲得的價值為vi，等待成本為di且d1＞d2；客戶為擁有優先權所支付的價格為P，且P＜W1。

（二）模型分析

據上述假設可以求得有優先權的顧客在系統中的逗留時間Ws1以及沒有優先權的顧客在系統中的逗留時間Ws2。此外，還可以推斷出顧客選擇進入系統的條件。

1.顧客的逗留時間

（1）當有優先權的顧客到達系統時，他所需的等待時間由兩部分構成，一部分是正在排隊等待服務的有優先權顧客的服務時間，另一部分是等待正在服務的服務窗空出來的時間（有優先權的顧客）。

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（2）當沒有優先權的顧客到達系統時，若記Ws1～2表示有優先權和沒有優先權顧客在系統中時每一名顧客的平均逗留時間，則：

2.顧客進入系統的條件

根據上述假設，我們可以得到兩類客戶的預期效用值分別為：

當ui≥0時，顧客選擇進入系統，且當ui=0，顧客以任意概率進入系統。令ui（λi，p）時，所求得的λi（P）為第i類客戶選擇進入系統的最大到達率。因為第一類客戶為有優先權的的客戶，所以第二類客戶是否選擇進入系統受到第一類客戶的影響。

對λ1（P）求一階導數以及二階導數可得λ′1（P）＜0，λ″1（P）＜0。故λ1（P）是嚴格遞減的，且關于P是凹函數。

二、均衡客戶行為

在這一部分中，主要探討的問題是兩類客戶在不同的到達率以及效用情況下的進入概率。首先我們可以依據兩類客戶效用值的大小分為兩種情況：u1＞u2和u1＜u2。本文中我們只考慮u1＞u2的情況。由于第一類客戶是具有優先權的客戶，因此，第二類客戶是否選擇進入與第一類客戶的選擇有很大的關系。

令 u1=u2，則：

構造函數F（λ）=u1-u2，對F（λ）求導，可得F′（λ）＞0，由于λ＜λ?且 F（λ?）=0；又因為 F（λ）為增函數，因此可得 F（λ）＜0，也即u1＜u2。根據u1，u2之間的相對大小，可以判定兩類客戶選擇進入系統的意愿的強弱。若u1＜u2，那么不具有優先權的顧客選擇進入系統的意愿更強；反之，具有優先權的顧客選擇進入的意愿更強。

因為u1（λ1，P）關于λ1遞減且u1=0時，λ1=λ1（P）。根據u1和0之間的相對大小，我們可以判定λ1和λ1（P）之間的相對大小。當0＜λ1＜λ1（P）時，具有優先權的客戶選擇進入系統；反之，則不進入系統。

定理 當 λ＞λ?，也即u1＞u2時，可以將兩類客戶的效用值大小分為三種情況：

（a）當 u1＜0，u2＜0 時，兩類客戶都不進入系統。

（b）當 u1＞0，u2＞0 時，第二類客戶選擇不進入系統，且當λ1≥λ1（P）時，客戶的均衡進入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（λ1（P）/λ1，0）；

當λ1＜λ1（P），客戶的均衡進入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（1，0）。

（c）當 u1＞0，u2≥0 時，第一類和第二類客戶都可以選擇進入，但第二類客戶進入概率取決于第一類客戶的進入率。

I.當λ1＜λmax＜λ1（P）或λ1＜λ1（P）＜λmax時，客戶的均衡進入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（1，（λmax-λ1）/λ2）。

II.當λmax＜λ1＜λ1（P）時，客戶的均衡進入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（λmax/λ1，0）。

當某類客戶在完成服務后所得的效益值小于零時，該類客戶沒有進入系統的意愿。故（a）情況下兩類客戶都選擇不進入系統。因為u1＞u2，故相較于第二類客戶來說，第一類客戶進入系統的意愿更強，所以應該首先考慮讓第一類客戶進入。在（b）情況下，因為第二類客戶沒有進入系統的意愿，故只需要考慮第一類客戶的情況。當第一類客戶的進入率大于系統可容納的該類客戶的最大進入率時，第一類客戶部分進入；反之，則全部進入。在（c）情況下，第一類和第二類客戶都有選擇進入的意愿。當第一類客戶的到達率沒達到系統可容納的該類客戶的最大進入率時，或已到達系統可容納的該類客戶最大進入率，但未達到總的最大進入率時，也即系統仍有能力服務第二類客戶時，再考慮讓第二類客戶進入。（c）I情況下，由于第一類客戶的到達率既未達到系統可容納的該類客戶的最大進入率，又未達到總的最大進入率，所以第一類客戶全部進入，第二類客戶部分進入。（c）II情況下，第一類客戶的到達率小于第一類客戶進入的臨界值而大于總的最大進入率，所以第一類客戶部分進入而第二類客戶不進入。

三、結論與擴展

從這項研究中所獲取的信息是：潛在的市場結構對顧客的決定都起著關鍵的作用。因此，顧客在做出決定之前必須要充分研究潛在的市場結構。這是由于不同類別的消費者對于價格、等待時間、服務預期收益等的不同而導致的。

參考文獻：

[1]Wenhui Zhou，Xiuli Chao，Xiting Gong．Optimal Uniform Pricing Strategy of a Service Firm WhenFacing Two Classes of Customers[J]．Productionand Operations Management，2014，（4）：676-688．

[2]陸傳賚．排隊論（第2版）[M]．北京：北京郵電大學出版社，2009．