談如何有效借助線段圖建構數學模型

邵國強

【摘要】人教版五年級上冊《數學廣角—植樹問題》，在教學建議中明確指出：教師要指導學生通過線段圖建立植樹問題的數學模型。教學時，要用線段圖的方法幫助學生思考，發展學生的模型思想。然而植樹是直觀的，用線段圖的方法是抽象的，建構植樹問題數學模型，對于小學生的思維來說，可謂是“抽象之中的抽象”。因此，如何運用線段圖，從具體——抽象——具體，深入淺出的教學，顯得尤為重要。以本節課的三個教學環節，談談如何有效借助線段圖，直觀形象地建構植樹問題的數學模型的。

【關鍵詞】線段圖 數學模型 植樹問題

一、生成線段圖——生活問題數學化

線段圖是形象思維過渡到抽象思維的媒介，它可以溝通數學信息與信息之間的聯系。因而，《植樹問題》的教學，必須從學生熟悉的模擬生活植樹入手，讓學生親眼目睹生活中的植樹和數學“植樹”圖形成過程，架起了植樹問題的生活原型抽象成線段圖的橋梁，將二者異曲同工之妙處展現在學生眼前。

在教學中，我在創設情境時引出研究問題，把例1的全長100m改為1000m并出示例題“同學們在全長1000m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”引導學生審題、猜測后，應用課件引發學生再現生活中植樹的場景。

師：我們先模擬生活植樹：1000m長的小路一邊“兩端要栽”，我們從最左端開始栽上一棵，然后隔5 m栽一棵樹，隔5 m栽一棵樹，照這樣一棵一棵地栽下去……（動態形成圖1）師：還可以這樣植樹：把每一棵棵樹都看作一個個點，從最左端開始畫，1棵，每隔5m畫一個點，2棵、3棵……（動態形成圖2），這樣就形成了數學上的“植樹”圖。

這個環節，從直觀的生活中的樹，逐步抽象成數學上的點，鮮活地再現了有趣的植樹的整個過程，從而自然地生成線段圖。植樹中“小路一邊”“栽樹的棵樹”和線段圖上的“一條線段”“分割點數”一一對應起來，讓生活問題得以數學化。學生對線段圖的表示過程，在具體的植樹過程不知不覺的形成，同時也為后續教學中的化繁為簡研究做了孕伏。

二、借助線段圖——復雜問題簡單化

實踐證明，線段圖具有直觀性、形象性、實用性。教學中，有效地借助線段圖，可以使復雜問題簡單化，體驗從特殊到一般，經歷分析、思考、解決問題的全過程。在《植樹問題》教學時，為了讓學生感悟化繁為簡的數學思想，我做了嘗試，課堂教學回放如下：

師：就這樣一直畫下去嗎？你有什么想法？

生1：要畫很久，很麻煩。

生2：如果一直畫下去，也可以找到答案，但很麻煩。

生3：因為1000m里面有200個5m，要畫好多點，得想其他的辦法。

師：也就是說路長1000m在這道題中數據太大，畫圖時比較麻煩。像這樣比較復雜的問題，怎么辦呢？

生：用簡單的路長來研究，找方法。

生：用簡單的路長通過畫圖，看看有沒有什么規律。

師：我們可以先從簡單的路長入手，選取20m來研究。用一條線段表示20m，從最左邊開始種1棵，每隔5m栽一棵（教師板書線段圖過程）。

師：同學們，從圖中你發現了什么？

生：20m平均分成了4份，有4個間隔，可以栽5棵樹。

師：是的，20m長的一條路，間隔長是5m，平均分成了4份，有4個這樣的間隔，可以栽5棵樹（板書：20÷5=4，要栽5棵）。

師：猜猜看，間隔數和棵數可能有什么關系？

生：棵數比間隔數多1。

為了更好地讓學生感悟全長和間隔數及棵數的關系，接著安排學生自主選擇10m、15m、25m、30m的路長進行研究，并填表思考。

從而發現：全長÷間隔長=間隔數（平均分的份數）；棵數=間隔數+1。

在此基礎上提出：現在你知道例1的猜測中哪一種是正確的？你是怎么想的？讓學生在交流中充分感悟到了“難事做于易”的化繁為簡和對應的數學思想，并借助如下線段圖讓學生理解為什么要“+1”的道理。

這個環節的教學，借用線段圖引導學生經歷了解決植樹問題的整個過程。從遇到問題——提出猜測——例子驗證——發現規律——解決問題，教師的教和學生的學始終運用線段圖，在畫線段圖、觀察線段圖、想象線段圖、運用線段圖中，逐步建構數學模型。

三、巧用線段圖——抽象問題模型化

線段圖還可以把抽象問題具體化，讓抽象的植樹問題數學模型通過線段圖變得具體形象。在《植樹問題》教學中，我既引導學生把抽象的植樹問題具體形象地呈現出來，同時通過線段圖引發學生再現生活中的“植樹”原型，豐富了植樹問題的表象，培養學生想象思維能力和抽象概括能力，讓植樹問題模型根植于線段圖中，印在學生腦海里。教學環節再現如下：

師：同學們，我們再回到剛才研究的20m栽樹的線段圖（圖3）。這個線段圖上的每隔5米的點都表示栽1棵樹（圖4），生活中，有沒有類似的植樹問題呢？

生：路燈、燈籠都是類似的植樹問題。

生：還有教室窗戶的安全防護欄、擺放的課桌、走廊的欄桿……

師：同學們說的真好！如果這個點是一盞路燈（課件演示），就是生活中的路燈（圖5），你能用這個線段圖編一道有關的植樹問題？

生：一段路20m，每5m安裝一盞路燈（兩端都裝），可以安裝多少盞？

師：誰還可以學著編的？

師：線段圖上的每個點想象成燈籠（課件演示），就是生活中的燈籠（圖6）

師：路燈、燈籠，這是不容易看見卻能“想象”的樹。

師：還有看不見卻能“聽得見”的樹，請聽（課件鐘聲錄音），植樹的棵樹是什么？間隔是什么？我們利用線段圖再聽一遍（圖7），誰能編一道有關的植樹的問題？

生：鐘聲共響20秒，每5秒響一下，一共響了多少下？

師：生活中還有不容易看見卻能“想象”的樹的植樹問題，請看（課件演示圖片）擺放花盆、同學做操的隊形、一棵棵種下的菜、人行道的斑馬線，等等。

師：橫著畫的線段圖，引發我們這么多的思考，如果將這條線段豎起來（圖8），你又會想到什么類似的植樹問題呢？

以上教學，巧妙地運用抽象的線段圖，引導學生聯系生活實際，引發想象，在編題、交流中，把看視單一的植樹問題，形象、具體、生動地讓學生再現出來，讓抽象的植樹問題模型生動、形象、鮮活，發展了學生的模型思想。