關于空間觀念及教學的思考

摘 要：空間觀念是小學數學教學的重要內容，是小學階段重要的數學核心素養之一。正因不如此，空間觀念的培養一直是小學數學教學研討的重要話題。文章從空間觀念的本質出發，探討如何在小學階段培養學生的空間觀念，以及對空間觀念教學的思考。

關鍵詞：空間觀念;小學數學

作者簡介：董文彬，現就職于北京市中關村第一小學。（北京 100190）

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）04-0087-06

空間觀念是小學數學教學的重要內容，是小學階段重要的數學核心素養之一。正因為如此，空間觀念的培養一直是小學數學教學研討的重要話題。筆者認為，首先要思考這樣幾個問題：第一，空間觀念的本質是什么？特別是對義務教育階段的兒童來說，他們空間觀念的形成與發展是教出來的嗎？先天因素與后天養成哪個重要？第二，空間觀念教學中，我們的數學教育能為后天培養起什么作用？如何幫助學生很好地發展空間觀念？

一、關于空間觀念

1. 空間觀念的本質是什么？空間觀念作為數學學習中重要的核心概念，已經有很多研究。史寧中教授曾明確指出：“空間觀念是對空間中物體的位置以及位置之間關系的感性認識。”

關于空間觀念，《義務教育數學課程標準（2011年版）》是這樣界定的：“空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據語言的描述畫出圖形等。”

在對“什么是空間觀念”的論述中，出現頻率最高的一個詞語是“想象”。由此可見，空念觀念的本質是空間想象力。這種想象力既包含現實世界物體到數學世界圖形的數學化過程的抽象，也包含數學化的平面圖形到現實世界物體的想象。小學數學中的空間觀念還有對空間方位的認識，以及想象和判斷物體所在的位置及位置關系。

2. 空間觀念是“教”出來的嗎？下面以“北師大版”三年級（下冊）第二單元“觀察物體”第二課時“看一看（二）”中的一個問題為例（如下圖）：

課始，出示情境圖和問題后，教師提問：“請同學們先想一想，做出選判斷和選擇。需要時可與同伴合作，模擬題目中的情景做一做，看看你的選擇對不對？”一位學生想了半天，自言自語：“我就是想不出來！”這位學生極不情愿地操作，嘴里嘟噥著：“這回我是選擇出來了，可是有什么意義呢？考試的時候會讓我模擬操作嗎？”課堂鞏固環節，學生做一道與此題目類似的課后習題，這位學生又說：“我還是想不出來！”課后，教師也很沮喪：“想也想了，模擬著做也做了，學生獨自解決問題時還是想象不出來，我也沒辦法了！想象力是學生天生的，后天沒法培養，空間觀念這東西本身就不是教出來的！”也有的教師一聲嘆息：“空間觀念，想說愛你不容易。”

空間想象力是先天具備的還是后天習得的？或者說空間觀念是“教”出來的嗎？空間觀念既然是一種空間想象力，“想象”這個詞似乎與生俱來，也的確因人而異。空間觀念有先天的因素，這種先天因素主要是人的一種直觀想象能力。有些人的直觀想象能力天生要強一些，他們往往能夠直觀洞察到事物的本質，他們原初的想象和判斷往往也能夠直接抓住事物的核心，而有些人先天的直觀想象能力則要偏弱一些。我們必須承認，學生的直觀想象能力的確與先天有關，但也有后天培養的因素。作為教育者，我們要思考的是我們的數學教育能為空間觀念的后天培養起什么作用。筆者認為，這種作用主要體現在分析思辨、數學推理與數學表達能力。

二、關于空間觀念的培養及教學思考

1. 空間觀念教學，應當全面而深入地認識其學習載體及階段性發展區別。在小學階段，空間觀念的培養一般是伴隨著對核心概念的本質認識而呈階段性發展的。比如，小學數學五年級（下冊）“展開與折疊”就是借助正方體與展開圖之間對應的關系，完成二維圖形與三維圖形進行相互間的轉化，以培養空間觀念。而這里空間觀念的發展是伴隨對正方體這個核心概念，是在對其本質特征的再認識中進行的。再比如，小學數學五年級（上冊）“軸對稱的再認識”就是借助對軸對稱這個核心概念的本質認識而發展空間觀念的，而這里空間觀念是在三年級初步認識軸對稱的基礎上在第二階段再認識中進一步發展的。

正是因為空間觀念發展的這種階段性特征，教師只有在教學前提前思考一些重要的核心問題，才能更好地幫助學生培養空間觀念。比如，教學五年級（上冊）“軸對稱的再認識”一課前，教師就需要思考以下問題：

（1）和三年級相比，五年級的軸對稱再認識有哪些變化？需要再認識些什么？如何進行整體把握？

（2）五年級的軸對稱再認識，承載的主要教學目標是什么？（知識目標和素養目標）

首先，三年級認識軸對稱主要是判斷結果，判斷一個圖形到底是不是軸對稱圖形，這種判斷主要是基于動手操作的實踐經驗積累的基礎上進行的感性判斷;而五年級認識軸對稱除了判斷結果外，還要探究原因，主要從軸對稱的特征去探究的理性辨析。比如，為什么菱形和正方形是軸對稱圖形，平行四邊形就不是？菱形和正方形都是四邊相等，為什么對稱軸條數不一樣？其次，三年級對軸對稱圖形主要是初步的整體認識，軸兩邊圖形一樣即可（對折后能完全重合），五年級還需要對軸對稱圖形有細致觀察，更加注重軸兩邊圖形的點、線、角等構成元素的位置關系。在補全軸對稱圖形的過程中，能用距離、角度等數學語言量化和描述軸兩邊的對應點、對應線間的關系。再次，三年級時主要是認識軸對稱本身的特點，而五年級還需要從運動（翻轉）的角度再次認識圖形，以及圖形之間的關聯。也就是說，相對于三年級時從靜態的角度觀察圖形，五年級軸對稱（包括平移、旋轉）的再認識學習，拓展了觀察圖形的新角度——從動態的角度觀察、認識和深入理解圖形。軸對稱是學習的具體載體，除了軸對稱本身的核心本質特征要理解外，“核心素養——空間觀念”的培養是這部分內容承載的重要目標。對軸對稱的認識的學習，從三年級到五年級，從操作想象到思維想象，從感性認識到理性探究，學生經歷了逐次深入的階段，空間觀念的發展也經歷了從建立到深入發展的階段。然而，這種空間觀念的培養，從感性上看容易，從理性上看卻很困難。因為從感性上看，學生有與生俱來的對圖形結果的平面視覺和模糊感覺;從理性上看，學生需要對圖形運動過程的空間想象和數學語言的精準表達，而這些恰恰是需要后天培養的。在教學中，教師只有全面而深入地認識了空間觀念的學習載體和階段性發展的區別，才能更好地培養空間觀念。

2. 空間觀念教學，應當幫助學生在數學活動中積累想象的經驗，逐步發展高階思維。比如“展開與折疊”一課，認識長方體與正方體的展開圖，是小學階段促進學生空間觀念發展的一項重要內容。但是三維圖形與二維圖形之間的互相轉化，對于學生的空間想象能力要求較高，并不是教師給了學生想象的時間，學生就能想象出來的。需要教師將想象的過程進行分解，分層遞進，幫助學生在活動中積累想象的經驗，逐步發展空間觀念。例如，通過操作展開圖在立體與平面的轉換過程中建立表象，從而實現在不操作的前提下去想象動態折疊的樣子形成想象的經驗，再通過表達來解釋自己想象的結果，從而發展學生的空間觀念。

另外，在教學中教師要特別注意在培養學生的高階思維中發展空間觀念。空間想象力就是一種高階思維，從操作表征到思維表征是學生空間想象力發展的一般途徑，但教師切忌在教學中不要一上來就進入動手操作，相比于想象、思辨、推理，動手操作是一種低階思維，如果用這種操作性的低階思維代替了想象的高階思維，學生空間觀念的建立和發展必然大打折扣。如前文提到的“觀察物體”的學習活動，不是以“我”為基準，而是以“他”為基準判斷方位或者位置關系。在教學中，教師更應注重讓學生先想象觀察、猜想思辨、合情推理，必要時再通過模擬場景、動手操作等對之前的高階思維結果進行驗證，以在有條理的數學思考中發展空間觀念。

3. 空間觀念教學，應當基于學情，注重進行充滿智慧與挑戰的有價值的學習活動設計。空間觀念的培養，需要教師基于學情設計有價值的學習活動，這種學習活動應該是充滿智慧與挑戰的，是一個讓學生的學習獲得從“有”到“更有”的過程。下面以“軸對稱的再認識（二）”教學為例，簡析之。

教學前，對兩個班的80名學生進行了前測，前測結果發現98%的學生對于教材“問題串”中的三個題目都能畫對。而在絕大多數學生學前已經“會”了的前提下，這節課該學什么？對于那些表面會畫但實際對問題一知半解的學生，如何達到對軸對稱圖形本質的深入理解？對于那些已經真正理解了問題本質的學生，如何創設認知沖突發展他們的高階思維，進而發展空間觀念？于是教師在教學中，整合教材資源，改編“問題串”，重新設計學習活動。