CLM相繼故障模型在正常人靜息態fMRI腦網絡上的研究

柯　銘　曹　黎

(蘭州理工大學計算機與通信學院　甘肅 蘭州 730050)

0　引　言

復雜網絡理論以Watts和Strogatz關于小世界網絡[1]，以及Barabasi和Albert關于無標度網絡[2]的開創性工作之后，已經發展成為一個多學科交叉研究的前沿。復雜網絡結合腦的研究已經成為腦科學領域研究的熱點。最早，Stam[3]利用5個健康被試在無任務條件下的腦磁圖數據，建立了人腦功能網絡并研究了不同頻率段下構建的腦網絡的網絡屬性。隨后，Salvador等[4-6]進行了一系列基于fMRI數據構造的復雜網絡分析，其研究的主要結果為：進行了靜息態fMRI的頻率域分析，發現兩兩腦區之間的部分相干譜取決于腦區間的解剖距離；發現靜息態fMRI的低頻條件下的腦網絡具有“小世界”屬性；構建了老年與青年的靜息態fMRI的腦網絡，發現兩個網絡均呈現“小世界”屬性以及較高的全局效率和局部效率等結果。Basset等[7]綜述了近些年該領域的發現并指出“小世界”是適應性復雜動力學問題的一個解決方案。同時，王艷群等[8]構建了正常人的fMRI腦功能網絡，驗證了其具有模塊化結構。復雜網絡結合腦的研究同樣被應用到了疾病的研究。李越等[9]分析了抑郁癥患者腦網絡社團結構的改變，為該疾病提供了重要的應用與臨床診斷價值。Pedersen等[10]發現癲癇患者腦網絡的節點以更離散化的方式變化可能與該疾病相關。

目前，基于fMRI構建的復雜腦網絡旨在研究初始網絡的靜態拓撲屬性等指標。如上文所述的研究成果等，學者們較多關注的是節點并未遭到攻擊時的理想狀態下，腦網絡的各項網絡拓撲屬性。但腦網絡是一個高效的動態的網絡[7]，某個節點的失效可能會引發災難性的后果。尤其負荷最大節點的失效，其承載的信息量將瞬間崩潰，對整個腦網絡的魯棒性將會產生的影響尚不清楚。從保護腦網絡整體性角度，我們認為研究腦網絡負荷最大節點失效引起的動態變化極其重要。因此，本文引入一種相繼故障模型來研究網絡中負荷最大節點失效所引起整個網絡的動態變化。

相繼故障是指在大部分實際網絡中，一個或多個節點的失效(隨機或蓄意)會通過節點之間的耦合關系引起其他節點發生故障，由此產生連鎖反應，導致相當一部分節點甚至整個網絡的崩潰。CLM相繼故障模型[11]為負荷-容量模型中的一種子模型，亦稱為節點與邊混合動態模型。在該模型下，節點過載不是簡單地移除，而是降低該節點與其他節點之間的連接效率，與腦網絡較為符合。Kinney等[12]曾將CLM相繼故障模型應用到北美電力網絡。發現攻擊負荷最大的發電節點或者輸電節點時，網絡的整體性能相對于正常狀態下有所下降，且隨著容量系數的減小，網絡的平均效率亦下降。

本文首次將CLM相繼故障模型應用到正常人腦進行研究。我們旨在關注正常人腦網絡在節點失效后網絡拓撲結構的變化，探索網絡效率的改變，以此研究正常人腦網絡的魯棒性與脆弱性，具有創新意義。首先對正常人的靜息態功能核磁共振圖像進行預處理，利用AAL模板將正常人的大腦分割成90個腦區。然后分別計算兩兩腦區之間的Pearson相關系數。接著設定閾值以獲得鄰接矩陣來描述腦功能網絡。最后設置容量系數，賦予該網絡每個腦區容許值。并對負荷最大腦區進行攻擊，分析人腦功能網絡的魯棒性與脆弱性。

1　方　法

1.1　被　試

采用18例正常人的核磁共振(fMRI)圖像作為被試。其中，7例男性，11例女性，年齡在10～34歲之間，平均年齡19.9歲，且均為右利手。該數據是在Siemens Magnetom Trio 3.0T超導MR儀上進行靜息態功能磁共振數據采集。采用梯度回波-平面回波成像GRE-EPI(gradient echo-echo planar imaging)序列進行掃描，掃描范圍包括全腦，基線平行于前后聯合，掃描參數如下：TR 2 000 ms，TE 30 ms，層厚3.8 mm，層間距0.38 mm，層數34，FOV 240×240 mm ，矩陣64×64，反轉角90°，共采集200個時間點，掃描時間6 min 40 s 。要求受試者平臥，頭部固定，閉目，塞耳，盡量不做意向性思維。

1.2　數據預處理

在matlab環境下利用DPARSF和rest軟件對數據進行處理。其中，DPARSF進行的處理步驟包括：DICOM數據的格式轉換、去除前10個時間點、頭動校正(平動1 mm，旋轉1度)、空間標準化、平滑、去線性漂移、低頻濾波。利用rest提取協變量、再去除協變量。其中，協變量定義的是灰質、白質和腦脊液。

1.3　功能連接

腦區間的時間序列同步性可表示腦區間的功能關系。功能連接關系主要由Pearson相關系數[13]表示。本文Pearson相關系數旨在計算兩兩腦區間的時間相關性，以此表達功能連接關系。由此，采用rest軟件做功能連接。首先，利用AAL模板(共90個腦區)定義ROI，將大腦分割成90個節點，并提取90個節點的時間序列。然后，利用rest軟件的“ROI-wise”功能，計算90個腦區間的Pearson相關系數，可得一90維對稱矩陣，值均在-1～1之間且包括端點值。該矩陣即表示所有腦區之間的Pearson相關系數。Pearson相關系數的計算公式為：

(1)

1.4　腦網絡構建

由功能連接，得到每個被試90個腦區兩兩之間的Pearson相關系數矩陣。首先，Z值化每個被試該相關系數矩陣，使其滿足正態性。然后，將所有被試的相關系數矩陣求和并均值化，得到一個表示所有被試的相關系數矩陣。最后，構建二值網絡時，為消除由噪聲引起的弱連接，需設置閾值a(a>0)將連接強度偏弱的值刪除。若相關系數矩陣中的值大于等于a或小于等于-a，則表示該兩腦區存在連接，即設置為1，否則設為0。鄰接矩陣中對角線的元素設置為0，以避免自連。據文獻[6]報導，腦網絡是一個復雜且稀疏的以大量短程邊為主的網絡。同時，為保證腦網絡的連通性，認為腦網絡中沒有孤立的節點[14]。因此，本文構建腦網絡時，所設閾值對應的鄰接矩陣的平均度(K)必須大于2ln90且網絡密度在10%～50%之間[14]。其中，網絡密度m為：

(2)

式中：N為網絡節點數；Ki為節點i的度數。根據以上規則，可得到描述腦網絡的鄰接矩陣。接著，再根據CLM相繼故障模型，對所構建的腦網絡進行模擬攻擊。

1.5　CLM相繼故障模型

CLM相繼故障模型由一般的無向無權圖G來表示傳輸網絡，各個節點i、j之間的邊權值eij∈[0,1]。eij表示該條邊上的傳遞效率。N×N的關聯矩陣{dij}代表了最短路徑值矩陣；N×N的關聯矩陣{eij}代表了節點之間的效率值矩陣。節點t時刻的負荷定義為：該時刻經過該節點效率(距離)最優(短)路徑的條數(該模型默認信息通過最短路徑傳遞)，其中負荷用Li(0)表示。效率最優路徑定義為，對節點對(i，j)之間的所有路徑，計算該時刻效率值之和的最大值。同理，i、j兩點間最短路徑定義為，該時刻距離之和最小值。效率定義為：εij=1/dij，節點負荷容許值為：Ci=a×Li(0)(a≥1)，其中a代表容量參數。該模型用平均效率來表示整個系統的傳輸機制，即：

(3)

假設在t=0時刻，網絡G的傳輸效率值矩陣為{eij}，每個節點均有一個初始負荷。當對某個節點進行攻擊(在該模型下，攻擊某個節點亦為移除某個節點)時，必然會導致網絡G的效率最優路徑改變，從而導致節點的負荷重新分配。可能引發節點過載，便會引起新一輪的負荷重新分配，最終可能導致相繼故障的發生。只有當每一次重新分配的負荷均小于對應節點的初始容量，該相繼故障才會停止。其中定義節點間的效率eij的演化公式為：

(4)

1.6　網絡特征分析

腦網絡經CLM相繼故障模型攻擊后，其拓撲結構發生變化，全局效率與局部效率對網絡的拓撲結構具有重要描述意義。如下，重點描述全局效率與局部效率(整個網絡)以及某個節點的局部效率。全局效率定義為：

(5)

局部效率定義為：

(6)

式中：N表示網絡節點數，E(Gi)表示第i個節點的局部效率。E(Gi)定義為：第i個節點的所有鄰居節點間的效率均值。因此，整個網絡的局部效率為N個節點局部效率的均值。

2　結　果

2.1　構建腦網絡結果

本文閾值的設置從0.2開始，依次增加0.01，計算出不同閾值下對應的平均度。同時，必須滿足每個閾值對應的平均度(K)大于2ln90且不存在孤立節點。平均度與閾值關系如圖1所示，橫軸r表示閾值，縱軸K表示平均度值。隨著閾值增大，平均度逐漸減小，在閾值>0.31時，腦網絡開始出現孤立節點。同時，閾值為0.3時的平均度與網絡密度分別為14.69與16.5%，滿足平均度大于2ln90與網絡密度在10%～50%的條件。本文取閾值為0.3構造復雜腦網絡。由此，得到一個無權無相的鄰接矩陣，即表示構造的腦網絡模型。

圖1　閾值與平均度關系圖

2.2　負荷最大節點攻擊結果

負荷最大節點表示在t時刻最短路徑經過該節點的次數最多。由于此節點的網絡拓撲較豐富，且具有高于全腦水平的局部效率，該節點對于整個網絡具有重要意義。本文構建的腦網絡中，負荷最大節點對應的腦區為左側眶內額上回。

在不同容量系數下，對負荷最大的腦區進行攻擊，分析攻擊該節點之后的平均效率、整個網絡的局部效率、負荷最大節點的局部效率，得到圖2中所示的三條曲線。

圖2　不同容量系數下攻擊得到的全局效率、局部效率(整體、單個節點)變化趨勢

在圖2中，橫軸的a代表閾值，縱軸的E、表示效率值。其中，Eglob、Eloc、Eloc(nod)分別表示全局效率、整個網絡的局部效率、攻擊之后負荷最大節點的局部效率。三條曲線隨著容量系數a的增加幾乎均逐漸增加，且均逐漸逼近各自的初始效率(攻擊該節點后，網絡拓撲結構沒有發生改變時的效率)。同時，發現攻擊之后得到的全局效率、整個網絡的局部效率與負荷最大節點的局部效率在不同容量系數下依然具有較大值。在不同容量系數下，整個網絡的局部效率值高于全局效率值。且負荷最大節點的局部效率值在不同容量系數下高于全局效率值但小于整個網絡的局部效率值。

全局效率聚焦于整個網絡拓撲結構的變化，圖2中全局效率的變化趨勢顯示，容量系數與全局效率呈正相關。隨著容量系數遞增，腦網絡的全局效率越接近初始全局效率(0.503 1)。經計算，當容量系數為1時，該腦網絡的全局效率較初始全局效率值降低52.6%。同時，發現容量系數為1.06時，該大腦全局效率較初始全局率值僅降低了8%，同比容量系數為1的大腦遭遇攻擊時的全局效率竟提高了93.7%。

3　討　論

攻擊結束之后，具有較高的全局效率與局部效率表明，整個腦網絡節點之間的信息交互在整個網絡與局部間具有較好的平衡。同時表明，腦網絡是一個具有較穩定拓撲結構以及高效性能的網絡。該結論與Salvador等[15]的研究結果吻合。攻擊之后，整個網絡具有較高的局部效率表明正常人的腦網絡具有較好的容錯性[16]。結果中，全局效率在不同容量系數下均具有較高的效率值，表明腦網絡在全局網絡層面表現出較強的魯棒性。綜上所述，腦網絡對于抵抗相繼故障表現出較強的魯棒性且該網絡具有較穩定的拓撲結構。對于整個腦網絡的局部效率高于全局效率的結果，表明局部節點間的路徑(效率)較短(較優)，在局部節點間的效率傳遞自然較高。但整個網絡間相對于局部節點間的路徑就變得較長，造成全局效率低于局部效率。進一步證明了腦網絡確實是一個稀疏且以大量短程邊為主的網絡[6]。同時，結果顯示攻擊結束后，新的負荷最大節點的局部效率低于整個網絡的局部效率。與初始網絡中負荷最大節點的局部效率高于整個網絡的局部效率截然相反。由此表明，攻擊該節點對于腦網絡的正常拓撲結構確實產生了一定的破壞，使腦網絡拓撲結構產生了較大的變化。提示，腦網絡雖具有較強魯棒性，但需注意保護腦網絡中負荷最大的節點，以維持較正常的拓撲結構。

此外，結果顯示，腦網絡中容量系數對于提升全局效率的效果顯著。表明，容量系數增強腦網絡的魯棒性。該結果與Kinney等[12]研究北美電力網絡時，發現容量系數對于平均效率的作用趨于一致。同時，Crucitti等[11]認為，容量系數相當于對一個復雜網絡進行“保護”，這種保護機制可以看作是相繼故障被系統本身“容納”和“吸收”了。從該相繼故障模型的角度，進一步分析容量系數的這種“容納”和“保護”機制。發現，每個節點均對應一個負荷，再乘以容量系數即是初始容量。因此，增加容量系數亦增加了該網絡的容負荷能力。而負荷是由經過該節點的所有最短路徑次數決定。顯然，增大容量系數相當于縮短了該節點到達其他節點間的最短距離。這種距離的縮短可通過增加網絡冗余容量來實現。由此，增大容量系數，即增加網絡冗余容量，從而增強網絡的魯棒性。綜上可知，增加網絡冗余容量是一種抵抗相繼故障的有效手段。該結論與徐野等[17]發現小世界網絡的網絡冗余越大，其魯棒性越強的結論基本一致。因此，間接增加的網絡冗余容量才是“容納”和“吸收”機制的根源。不失一般性，增加腦區之間的冗余容量，復雜腦網絡的魯棒性必然增強。由腦區間功能連接強度來構造網絡可知，網絡冗余與功能連接強度成呈正相關。即增強某些腦區間的連接強度必然增強腦網絡的魯棒性。該研究結果可為腦網絡連接異常的疾病治療提供參考。

4　結　語

本文首次將CLM相繼故障模型應用到正常人腦網絡，該模型與腦網絡降低腦區間效率的方式較符合。利用Pearson相關系數構建腦網絡，分析它的功能連接水平并對其進行攻擊。本文發現，基于負荷最大攻擊策略下，腦網絡的魯棒性隨著容量系數的增大而增強。

對腦網絡的網絡拓撲屬性進行分析，發現腦網絡冗余越多，腦網絡魯棒性越強。提示增強腦區間的功能連接強度，可增強整個腦網絡的魯棒性。該結果為相關腦連接異常的疾病提供了治療參考。同時，發現整個腦網絡具有穩定的拓撲結構以及較強魯棒性。并且提示注意保護腦網絡中負荷最大節點。

本文也存在諸多不足。比如，正常人樣本量較少。構建復雜腦網絡時，90個節點過于粗糙。未來的研究可從細分腦網絡節點著手研究。同時，本文構建的復雜腦網絡為無相無權圖。未來的研究可構建無相有權圖，使功能連接的劃分層次更精細。CLM相繼故障模型，在正常人腦網絡上的研究還需進一步推進。

[1] Watts D J,Strogatz S H.Collective dynamics of ‘small-world’ networks[J].Nature,1998,393(6684):440-442.

[2] Barabasi A L,Albert R.Emergence of scaling in random networks[J].Science,1999,286(5439):509-512.

[3] Stam C J.Functional connectivity patterns of human magnetoencephalographic recordings:a ‘small-world’ network?[J].Neuroscience Letters,2004,355(1):25-28.

[4] Salvador R,Suckling J,Schwarzbauer C,et al.Undirected graphs of frequency-dependent functional connectivity in whole brain networks[J].Philosophical Transactions of the Royal Society B Biological Sciences,2005,360(1457):937-946.

[5] Achard S,Salvador R,Whitcher B,et al.A resilient,low-frequency,small-world human brain functional network with highly connected association cortical hubs[J].Journal of Neuroscience,2006,26(1):63-72.

[6] Achard S,Bullmore E.Efficiency and cost of economical brain functional networks[J].PLoS Comput Biol,2007,3(2):17.

[7] Bassett D S,Bullmore E.Small-world brain networks[J].Neuroscientist,2006,12(6):512-523.

[8] 王艷群,李海芳,郭浩,等.靜息態腦功能網絡的社團結構研究[J].計算機應用,2012,32(7):2044-2048.

[9] 李越,郭浩,陳俊杰,等.抑郁癥功能腦網絡社團結構差異分析研究[J].計算機應用與軟件,2013,30(7):46-50.

[10] Pedersen M,Omidvarnia A H,Walz J M,et al.Increased segregation of brain networks in focal epilepsy:An fMRI graph theory finding[J].Neuroimage Clinical,2014,8(1):536-542.

[11] Crucitti P,Latora V,Marchiori M.Model for cascading failures in complex networks[J].Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics,2004,69(4 Pt 2):045104.

[12] Kinney R,Crucitti P,Albert R,et al.Modeling cascading failur es in the North American power grid[J].The European Physical Journal B,2005,46(1):101-107.

[13] Song X W,Dong Z Y,Long X Y,et al.REST:A Toolkit for Resting-State Functional Magnetic Resonance Imaging Data Processing[J].Plos One,2011,6(9):e25031.

[14] 薛紹偉,唐一源,李健,等.一種基于fMRI數據的腦功能網絡構建方法[J].計算機應用研究,2010,27(11):4055-4057.

[15] Salvador R,Suckling J,Coleman M R,et al.Neurophysiological architecture of functional magnetic resonance images of human brain[J].Cerebral Cortex,2005,15(9):1332-1342.

[16] Sivan E,Parnas H,Dolev D.Fault tolerance in the cardiac ganglion of the lobster[J].Biological Cybernetics,1999,81(1):11-23.

[17] 徐野,王瑤.復雜網絡相繼故障的節點動態分析[J].沈陽理工大學學報,2015,34(1):17-21.