潛艇推進軸系縱向振動模型與解析研究

徐達，韓保紅，赫萬恒，于金鳳，李維鍇

軍械工程學院車輛與電氣工程系，河北石家莊050003

0 引 言

潛艇艉部結構的非對稱性會引起不均勻伴流場，螺旋槳在其中運轉時，將產生非定常推力，并導致推進軸系產生周期性的縱向拉壓變形，即推進軸系的縱向振動［1-4］。推進軸系縱向振動經推力軸承傳遞到艇體，進而產生水下噪聲。隨著潛艇在現代戰爭中扮演的角色日益重要，為了提高潛艇的聲隱身性能，國內外學者對潛艇推進軸系的縱向振動做了大量研究［5-6］。

推進軸系縱向振動研究的基礎是計算。學者提出的推進軸系縱向振動計算方法包括Holzer表算法、傳遞矩陣法和有限元法。秦春云等［7］采用解析法和有限元法對所建立的船舶軸系縱向振動動力學模型進行了計算。周瑞等［8］利用傳遞矩陣法計算了某型號船的推進軸系縱向振動，同時分析了推力軸承剛度和螺旋槳附加水質量對縱向振動計算結果的影響。張贛波［9］將有限元分析軟件與理論分析相結合，對船舶主推進軸系縱向振動特性進行了計算。肖能齊［10］和李冰融［11］基于系統矩陣法開發了應用于軸系振動的計算軟件。陳志剛等［12］基于均勻有限桿縱向振動計算方法，運用波分析（WPA）法對軸系模型的縱向振動進行了諧響應分析。

以往的研究分析大多采用離散模型，未能較好地描述推進軸系縱向振動能量的傳播與分布，而連續模型可以解決這一問題。本文擬先基于實際推進軸系建立系統動力學簡化模型，采用WPA法詳細推導均勻軸系與階梯軸系的縱向振動方程，根據推進軸系兩端的邊界條件以及各軸段之間的連續條件，分析潛艇推進軸系縱向振動特性。然后建立推進軸系有限元模型，通過有限元分析軟件Workbench進行仿真，分析推進軸系縱向振動特性，并將理論值與仿真值進行對比，驗證基于彈性波理論建立的推進軸系縱向振動動力學模型的準確性。最后推導推進軸系縱向振動固有頻率的無量綱方程。

1 基于WPA法推進軸系縱向振動模型的動力學分析

1.1 推進軸系縱向振動簡化模型

潛艇推進軸系主要包括推力軸、中間軸、艉軸、螺旋槳和法蘭盤等部件。常規潛艇采用的直接傳動的柴電推進軸系與輸出端通常通過彈性聯軸器聯接。彈性聯軸器的縱向剛度遠小于推力軸承的剛度或軸系其他結構的剛度，故在研究推進軸系縱向振動時可不予考慮。螺旋槳的非定常推力通過推力軸承及其基座傳遞到殼體上。因此，在研究螺旋槳激勵力引起的潛艇推進軸系縱向振動問題時，可以只研究推力軸承至螺旋槳之間的主推進軸系［13］。

本文對推進軸系縱向振動模型的簡化方法如下：

1）螺旋槳的質量連同附連水質量作為1個集中質量點，集中在螺旋槳軸錐端的中間處。

2）推力軸承簡化為質量—彈簧系統。

3）中間軸承和艉軸承主要起徑向支撐作用，對軸系的縱向運動的約束較小，可以忽略不計［14］。

4）中間軸、推力軸以及艉軸按縱向剛度等效原則，簡化為具有相同長度的若干階梯均勻軸段。

簡化的推進軸系縱向振動模型如圖1所示。

1.2 推進軸系縱向振動動力學分析

在研究階梯軸系模型之前，先分析任一均勻軸段的縱向振動，假設：

1）軸沿其長度方向是均勻的；

2）軸系的橫截面在振動時始終保持為平面；

3）略去軸系縱向伸縮引起的橫向變形，沿截面方向只有均勻分布的軸向力F(x，t)；

4）均勻軸系的縱向振動為微幅振動（圖2）。

根據機械振動相關理論，分析微段x，得到均勻軸段縱向振動方程為

式中：u(x，t)為軸系縱向振動位移，是截面位置x與時間t的二元函數；η為材料的滯回阻尼比；為彈性縱波沿x軸的傳播速度，ρ(x)為單位體積質量；E為軸材料的彈性模量；A(x)為橫截面面積；q(x，t)為分布載荷；j為復數虛部符號。均勻軸段受分布載荷的作用做縱向振動。

若q(x，t)=0，不計入阻尼力和外力，則均勻軸系固有振動為

這是典型的一維連續波動方程，通常采用分離變量法求解。由歐拉公式得到解的基本形式為

式中：ωp為均勻軸系縱向振動的第p階固有頻率；，為均勻軸系第p階縱向振動波數；Cp和Dp為縱向振動波幅系數。擴展到均勻軸系的強迫振動，可通過拉格朗日方程和振型展開定理結合振型正交性進行分析，在分析時應考慮不同邊界條件下振型正交性表達式的區別。

圖3為由n個均勻軸段組成的多階梯連續軸系，其截面是變化的。為方便分析表達，我們對各軸段進行了編號，格式為1，2，…，n。以階梯軸左端面為x軸坐標零點，各個均勻軸段的接觸分界面位置標號為l1，l2，…，ln，如軸1和軸2分界面位置為l1，軸2和軸3分界面位置為l2，以此類推，其中階梯軸左端面記為l0=0，右端面為ln，各面的橫截面積用Ai（i=1，2，…，n）表示。

階梯軸每一個均勻軸段在形式上是同步縱向振動的。為避免軸系縱向振動的能量在傳遞到分界面處時發生散失，本文直接利用分界面處的力和位移的連續條件，推導相鄰的階梯軸段縱向振動波幅系數的傳遞關系。

任意相鄰軸段分界面處的位移和力滿足的連續條件為

則傳遞關系為

式中：Ti為相鄰均勻軸段縱向振動波幅系數的傳遞矩陣；ki為均勻軸系第i階縱向振動波數。

同理，第n個軸段縱向振動波幅系數傳遞關系為

分析自由振動時，將邊界條件代入后，軸1和軸n的縱向振動波幅系數滿足如下關系：

式中，ai和bi為系數。

將式（6）代入式（7），整理得：

若要得到式（8）的非零解，其系數行列式的值必為0，即

式（9）是關于固有頻率的關系式，可通過圖解法來求解。

由于各個均勻軸段的波幅系數不同，直接通過模態展開定理來求解工作量較大，難以采用統一直觀的表達式表示階梯軸系的強迫振動，而直接求解則比較簡單。階梯軸系各均勻軸段的縱向強迫振動方程為

當激勵為簡諧函數時，階梯軸系各軸段強迫振動響應的頻率相同，即

式中，Qi(x)和Ui(x)為集中力作用下的第i階強迫振動力和位移響應的幅值。將式（11）和式（12）代入式（10），整理得

式中，U＂為集中力作用下的第i階強迫振動位移響應的幅值對軸向變化的二階導數。

由Duhamel積分求解式（13），可得

式中：Yi和Zi是通過階梯軸系分界面連續條件以及邊界條件確定的常數；ξ為阻尼比。通常情況下，階梯軸系集中受力，為便于分析，我們可以借助單位脈沖函數來表示，即

式中，δ(x-L)為單位脈沖函數。進而可得強迫振動響應為

若考慮材料阻尼，可將式（16）中的彈性模量E替換為復彈性模量E'。直接求解方法的優點是省略了在階梯軸系復雜邊界條件下對模態振型表達式的推導。

推進軸系兩端的邊界條件可表示為

式中：Mp為螺旋槳及附連水的質量；Mt為推力軸承質量；Kt為推力軸承縱向當量剛度。將螺旋槳激勵力作為力的邊界條件，得到主推進軸系螺旋槳處的邊界條件表達式為

式中：m為螺旋槳槳葉數；ω為主推進軸系頻率；Q'為激勵力幅值。利用式（18）來校核主推進軸系在螺旋槳葉頻激勵力作用下的動穩態響應。將式（18）中的ω替換為諧次葉頻ω'，即可得到諧次葉頻激勵下的穩態響應。然后，疊加主推進軸系頻率和諧次葉頻的穩態響應，求解螺旋槳激勵力作用下主推進軸系的穩態響應。

2 推進軸系縱向振動有限元模型仿真分析

表1所示為某型號潛艇的推進軸系結構參數，建立的有限元模型如圖4所示。螺旋槳及推力軸承作為集中質量單元布置在軸系兩端，中間軸承與艉軸承用彈簧代替。有限元模型的網格劃分如圖5所示。施加邊界條件進行模態仿真分析，前3階模態分析結果如圖6所示，變形云圖可以表示推進軸系各點縱向振動的位移情況。文獻［15］表明第1階模態為參與推進軸系縱向振動的最主要的模態。現將前兩階模態的有限元模型分析結果與推進軸系理論求解值及實驗測量值進行對比，結果如表2所示。由表可見，三者的第1階固有頻率接近，驗證了建立的有限元模型在分析推進軸系縱向振動問題上的可靠性。

表1 模型結構Table 1 Model structural parameters

表2 推進軸系縱向振動固有頻率對比Table 2 Comparison of natural frequencies of longitudinal vibration of the propulsion shafting

3 結構參數的影響分析

為了便于預測推進軸系縱向振動的固有頻率，分析軸系的質量與螺旋槳的質量比和軸系的剛度與推力軸承的剛度比等參數對其的影響。在上述分析的基礎上，進一步推導適用于推進軸系縱向振動第1階固有頻率的無量綱方程。

為減小工作量，將階梯軸系簡化成連續的均勻軸系，即左端為螺旋槳及其附連水的集中質量，右端為推力軸承質量且與船體彈性連接，中間為均勻軸，如圖7所示。

中間均勻軸的尺寸可通過等效思想，由實際復雜軸系的質量及縱向剛度換算獲得，得到等效面積Ad和等效長度Ld的表達式為：

式中：Li為各均勻軸段長度；Ai為各均勻軸段截面面積。通過表1中的參數，結合式（19）和式（15），求解得到上述模型的推進軸系縱向振動第1階固有頻率為14.93 Hz，與階梯軸系解析值相比，誤差較小。可見，通過上述簡化模型對推進軸系縱向振動第1階固有頻率進行估算具有一定的準確性。

由邊界條件關系式（17）推導出頻率方程為

式中：A為橫截面面積的特征量；L為軸段長度的特征量。進一步簡化得到推進軸系縱向振動第1階固有頻率f的無量綱方程為

4 結 論

1）建立了潛艇推進軸系縱向振動連續體簡化模型，基于彈性波理論，根據各軸段之間力和位移的連續條件，得到集中應力作用下的強迫振動響應；根據推進軸系兩端的邊界條件，得到推進軸系縱向振動的穩態響應，分析了潛艇推進軸系縱向振動的振動特性。

2）建立了推進軸系縱向振動有限元模型，并進行了仿真分析，結果表明，采用該模型得到的理論值與仿真值及實驗測量值之間的誤差較小，證明了簡化模型的準確性，表明彈性波分析法可以較好地描述推進軸系縱向振動的傳遞特性。

3）進一步簡化了階梯軸系模型，通過等效思想轉化為均勻軸，推導了估算縱向振動第1階固有頻率的無量綱方程，分析了對固有頻率的影響，為推進軸系動態設計提供了參考，并為下一步進行推進軸系縱向振動的控制研究打下了理論基礎。

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