廣義系統(tǒng)的有限頻域故障估計器設計

王振華　沈毅

故障診斷技術為提高系統(tǒng)安全性和可靠性提供了一條有效的途徑,在過去的幾十年里得到了國內外學者的廣泛關注.故障診斷的主要任務可以分為故障檢測、故障分離和故障估計.由于故障的幅值信息是后續(xù)容錯處理的重要基礎,近年來,故障估計問題得到了一定的重視,文獻中出現(xiàn)了自適應故障診斷觀測器[1?2]、滑模故障估計[3]、基于狀態(tài)增廣的故障估計[4]等諸多故障估計方法.另一方面,考慮到廣義系統(tǒng)比常見的狀態(tài)空間系統(tǒng)更具有一般性,一些學者們對廣義系統(tǒng)的故障診斷問題展開了研究[5?9].在廣義系統(tǒng)的故障估計方面,文獻[5]提出了基于高增益觀測器的故障估計方法,文獻[7]利用比例積分觀測器進行故障估計,文獻[8]和文獻[9]分別提出了自適應神經網絡觀測器和自適應觀測器,用于廣義系統(tǒng)的故障估計.

近年來,有些學者考慮到故障通常處于有限頻域范圍內,并利用這一特點研究了一系列有限頻域故障診斷方法[10?14].由于有限頻域設計能夠有效降低故障診斷算法的設計保守性,該設計思想在Takagi-Sugeno(T-S)模糊系統(tǒng)、網絡控制系統(tǒng)等復雜系統(tǒng)的故障診斷中得到了進一步的推廣應用與深入研究[15?17].文獻[18]針對線性時滯系統(tǒng)提出了一種基于狀態(tài)觀測器的故障估計器,文獻[19]進一步研究了故障處于有限頻域范圍時的故障估計與容錯處理問題.與一些其他故障估計方法(例如高增益觀測器[5]、自適應神經網絡觀測器[8])相比,這種方法的優(yōu)點是結構更加簡單且運算量更小.但是文獻[19]只研究了常規(guī)狀態(tài)空間系統(tǒng)的情況.雖然有限頻域故障診斷方法在常義系統(tǒng)中得到了深入研究,但是在廣義系統(tǒng)的有限頻域故障估計方面的研究還非常少見,目前只有文獻[20]利用有限頻域設計法研究了廣義系統(tǒng)的故障估計問題,但是文獻[20]研究的是存在有限頻域擾動時的故障估計問題,并且需要假設故障的高階導數(shù)為零.受文獻[19]的啟發(fā),本文將基于觀測器的故障估計器設計思想推廣到廣義系統(tǒng),提出了一種非奇異形式的故障估計器,并基于廣義Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)引理推導了一種新的魯棒性設計條件,以抑制故障和擾動對故障估計誤差的影響.需要指出的是,本文研究的是故障處于有限頻域范圍內時的故障估計方法,對故障的具體動態(tài)并無要求,也不要求擾動處于有限頻域范圍內.

1　問題描述

考慮如下描述系統(tǒng)

另外,假設故障的頻率范圍是已知的,即

這表明故障處于低頻范圍內.

注1.需要說明的是,系統(tǒng)(1)中的d(t)集成了系統(tǒng)中的不確定性,它可以是既包含過程擾動又包含測量噪聲的.例如,如果所考慮的系統(tǒng)本來具有如下形式

則可通過令

將其寫成式(1)的形式,其中

對于系統(tǒng)(1),提出如下形式的故障估計器

其中,In表示n×n維的單位矩陣.

本文的目標是使故障估計盡可能地近似真實故障.為了分析故障估計的準確程度,定義狀態(tài)估計誤差e(t)和故障估計誤差(t)如下

由式(1),式(7)和式(8)可得

根據(jù)式(11)和式(12),可以得到如下的誤差系統(tǒng)代入式(10)可得

現(xiàn)在我們可以將故障估計器的設計問題描述為設計矩陣T,N,L和V(其中T和N滿足條件(8))使得誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定,且滿足如下性能指標

2　故障估計器設計

本節(jié)介紹故障估計器(7)的設計方法.首先,設計T和N使之滿足等式約束(8).由文獻[21]可知,滿足式(8)的T和N可由下式確定

其中,S∈Rn×(n+m)是可以任意選取的矩陣,矩陣Θ∈R(n+m)×n,αT∈R(n+m)×n,αN∈R(n+m)×m為

得到滿足式(8)的T和N之后,可以基于誤差系統(tǒng)(14)分析故障估計器(7)滿足穩(wěn)定性及性能指標(15)和(16)要求的條件.

在給出本文的主要結果之前,先給出下面的有用引理.

引理1(廣義KYP引理)[22].對于傳遞函數(shù)G(s)=C(sI?A)?1B+D和給定一個對稱矩陣Π,下面的兩個條件是等價的:

1)下面的有限頻域不等式成立

其中,?由表1給出.

表1　不同頻率范圍的?和ΞTable 1　? and Ξ corresponding to different frequency ranges

2)存在共軛對稱矩陣P和Q,Q＞0滿足

其中,Ξ由表1給出,且?c=(?1+?2)/2.

引理2(Finsler引理)[23].對于Q∈Ra×a,U∈Ra×b,下面的兩個條件是等價的:

1)矩陣不等式

成立,其中U⊥是任意滿足U⊥U=0的矩陣.

2)存在一個矩陣Y∈Rb×a,使得

引理3[24].連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)

是穩(wěn)定的,并且其傳遞函數(shù)

滿足‖G(s)‖∞＜γ的充分必要條件是存在一個對稱矩陣P＞0,使得如下矩陣不等式成立

引理1是廣義KYP引理,它是有限頻域設計的重要基礎.引理3則是著名的有界實引理,是全頻域H∞分析與設計的重要工具.若令Q=0,Π=diag｛I,?γ2I｝,P＞0,則廣義KYP引理退化為有界實引理.所以,有界實引理是廣義KYP引理在全頻域條件下的特殊形式.

為了保證性能指標(15),本文基于引理1和引理2給出如下定理.

定理1.對于傳遞函數(shù)G(s)=C(sI?A)?1B+D和一個給定的對稱矩陣Π,我們有如下結果:1)G(s)滿足如下有限頻域不等式

的充分必要條件是存在共軛對稱矩陣P和Q,Q＞0以及具有適當維數(shù)的矩陣M1,M2,G,使得如下矩陣不等式成立

其中

2)G(s)滿足如下有限頻域不等式

的充分必要條件是存在共軛對稱矩陣P和Q,Q＞0以及具有適當維數(shù)的矩陣M1,M2,G,使得如下矩陣不等式成立

3)G(s)滿足有限頻域不等式

的充分必要條件是存在具有適當維數(shù)的共軛對稱矩陣P和Q,Q＞0以及矩陣M1,M2,G,使得

證明.根據(jù)引理1,頻域不等式(18)在低頻范圍內成立等價于

易知式(32)可以寫成如下形式

取

則有

此時,矩陣不等式(33)可以表示為

根據(jù)引理2,式(35)成立的充分必要條件是存在一個矩陣Y,使得

成立.

令

并將式(34)和式(37)代入式(36),即可得到式(24).

利用相同的原理,可以證明中頻范圍和高頻范圍內的結論.此處從略.□

注2.定理1基于廣義Kalman-Yakubovich-Popov引理和Finsler引理,給出了廣義KYP引理的一種等價形式,為有限頻域設計過程中的參數(shù)選取提供了更方便、更直觀的條件.這一結果不僅可以用于故障診斷觀測器設計,也可用于其他有限頻域設計,例如有限頻域H∞濾波和有限頻域魯棒控制器設計.因此,定理1是本文的主要貢獻之一.

基于定理1,我們提出下面的定理,用于設計故障估計器使其滿足性能指標(15).

定理2.給定γf＞0,故障估計器(7)使得誤差系統(tǒng)(14)滿足有限頻域性能指標(15)的充分條件是存在對稱矩陣P1∈Rn×n,Q∈Rn×n,Q＞0,以及矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,L∈Rn×m,使得矩陣不等式(38)成立.

其中,

這里的α1∈R和V1∈Rn×q是事先確定的設計參數(shù).在本文中,為了形式更加緊湊,我們用?表示矩陣中可由對稱性得到的項,用He{M}表示M+MT.

證明.若將式(18)中的Π取為

則有限頻域不等式(18)即可成為式(15).由定理1可知,式(18)成立的充分必要條件是存在對稱矩陣P,Q＞0和矩陣M1,M2,G,使得不等式(39)成立.

令

并將A,B,C,D,Q,P,M1,M2,G代入條件(39)中可得

其中,

然后,利用Schur補引理[25]可得式(40)等價于式(38).

綜上,如果式(38)成立,則誤差系統(tǒng)(14)滿足有限頻域性能指標(15).□

下面的定理基于有界實引理給出誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定,且滿足性能指標(16)的條件.

定理3.給定γd＞0,故障估計器(7)使得誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定且滿足有限頻域性能指標(16)的充分條件是存在對稱矩陣P2∈Rn×n和矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,L∈Rn×m,使得矩陣不等式(41)成立.

其中,

這里α2∈R是事先確定的設計參數(shù).

證明.在引理1中,令

則可得到引理3中的矩陣不等式(22).因此,我們也可以利用定理1將矩陣不等式(22)轉化為不等式(42)形式.

令并利用Schur補引理可知由式(41)可以推出式(22).因此,如果式(41)成立,則誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定且滿足性能指標(16).□

基于定理2和定理3的結果,下面的定理給出了故障估計器的設計方法.

定理4.對于給定的γf＞0和γd＞0,如果存在對稱矩陣P1,P2,Q∈Rn×n,Q＞0,以及矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,W∈Rn×m,使得如下線性矩陣不等式成立

其中,

則故障估計器(7)使得誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定且滿足性能指標(15)和(16).另外,在求解出線性矩陣不等式(43)和(44)之后,故障估計器(7)的矩陣L可由L=G?1W確定.

證明.結合定理2和定理3,并令W=GL,即可得到定理的結論.□

注3.需要說明的是,由于篇幅所限,本文只給出了低頻故障時的有限頻域故障估計觀測器設計方法,但是,所提出的方法并不限于故障為低頻的情況.對于故障具有帶通頻率特性的情況,應用定理1中關于中頻段的結果即可得到相應的故障估計觀測器設計方法.

由于常義系統(tǒng)是廣義系統(tǒng)的一種特例,所以本文所提出的方法也適用于如下形式的狀態(tài)空間系統(tǒng)

對于系統(tǒng)(45),通過令T=In,N=0,可將所提出的故障估計器(7)變?yōu)槿缦滦问?/p>

另外,基于定理4可以得到如下的設計方法.

定理5.對于給定的γf＞0和γd＞0,如果存在對稱矩陣P1,P2,Q∈Rn×n,Q＞0,以及矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,W∈Rn×m,使得如下線性矩陣不等式成立

其中,

則式(46)是系統(tǒng)(45)的一個具有穩(wěn)定誤差動態(tài)且滿足性能指標(15)和(16)的故障估計器,其中的矩陣L可由L=G?1W確定.

3　仿真結果

以圖1所示的一個電路來說明本文說明所提出方法的有效性.其中,uS(t)=u0(t)+f(t)是電源電壓,R1是電阻,L1是電感,C1,C2是電容,u1(t),u2(t)分別是電容C1和C2兩端的電壓,i1(t),i2(t)分別是通過C1和C2的電流.考慮此電路中的電源可能發(fā)生故障,設相關參數(shù)為R1=1+?R1,L1=1+?L1,C1=1+?C1,C2=1+?C2,其中?R1,?L1,?C1和?C2代表系統(tǒng)中的參數(shù)不確定性.設u2(t),i1(t)+i2(t)可測,測量方程為

圖1　一個含電源故障的兩回路電路系統(tǒng)Fig.1　A two-loop circuit system with source fault

其中,v1(t),v2(t)是均值為零、標準差為0.01的測量噪聲.根據(jù)文獻[8]可知上述電路是一個廣義系統(tǒng).令

即可得到式(1)的形式,其中f(t)代表電源故障,d(t)中集成了模型偏差和測量噪聲,相應的參數(shù)矩陣為

令

通過式(17)可以得到

考慮處于|ω|＜0.2的低頻范圍內的故障,在定理4中設γf=0.2,γd=6.5,并選取α1=1,V1=?0.8TBf,α2=1可以求出

在仿真中,假設參數(shù)R1,L1,C1和C2都存在10%以內的不確定性,并且測量輸出信號受標準差為0.01的噪聲的影響.在電源發(fā)生如下形式的故障時

利用所設計的故障估計器可以得到如圖2所示的結果.可以看出,雖然故障信號具有時變特性,但是所提出的故障估計器仍然能夠得到比較準確的故障估計.

圖2　實際故障在設計頻域范圍內時的故障估計結果Fig.2　Fault estimation results when the fault is actually in the designed frequency range

為了探討所設計的有限頻域故障估計器在故障頻率超過設計頻率?時的性能,在仿真中進一步考慮如下形式的故障

此時的故障估計結果如圖3所示.可以看出,在實際的故障頻率太大的情況下,故障估計器的估計準確性有所下降.這是由于故障的實際頻率超出了設計范圍,導致根據(jù)有限頻域范圍設計的故障估計器無法達到既定的魯棒性指標(γf=0.2).

圖3　實際故障頻率超出設計頻域范圍時的故障估計結果Fig.3　Fault estimation results when the fault is not actually in the designed frequency range

4　結論

本文針對具有執(zhí)行器故障和未知擾動的連續(xù)線性廣義系統(tǒng),提出了一種新的故障估計器設計方法.在故障屬于低頻范圍的條件下,利用廣義KYP引理和有界實引理分析了誤差系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足給定故障估計性能指標的條件,并且將故障估計器設計問題轉化為線性矩陣不等式形式.最后通過一個受故障影響的電路系統(tǒng)的仿真算例說明了本文所提出方法的有效性.由文中的推導可知,基于廣義KYP引理所得到的有限頻域故障估計器設計條件實際上是存在設計變量耦合的非線性矩陣不等式,本文是通過對設計變量施加限制得到了線性矩陣不等式形式的設計條件,因而所提出的設計方法仍然存在一定的保守性.如何進一步放寬對于設計變量的限制,得到更為松弛的設計條件,是有待繼續(xù)研究的方向之一.

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